轴对称的教材分析

轴对称的教材分析学习与分享

假期系统的学习了《义务教育数学课程标准（2011版）解读》，其中介绍了10个核心概念。与我们几何教学相关的概念有“空间观念”和“几何直观”。学习之后我个人觉得在某些方面有所“顿悟”，希望借此机会在这里先和大家分享一下第2页,共74页，2024年2月25日，星期天空间观念

1.空间观念：空间想象力一直地认为是数学诸多能力中的重要组成部分。空间观念作为空间想象力发展的基础受到普遍的重视，也成为我国义务教育阶段几何课程的重要目标之一。中学生的空间想象力包括平面几何和立体几何图形的运动、变换和位置关系的认识，以及数形结合、代数问题的几何解释等。主要体现在对诸如一维、二维、三维空间中方向、形状、大小等空间慨念的理解水平及几何特征的内化水平上、体现在简单形体空间位置的想象和变换（平移、旋转、以及分割和叠合等）\第3页,共74页，2024年2月25日，星期天2、空间观念所包含的内容：（1）根据物体抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的设计物体；（2）想象出物体的方位和相互之间的位置关系；（3）描述图形的运动和变化；（4）依据语言的描述画出图形。第4页,共74页，2024年2月25日，星期天3.促进空间观念发展的教学策略（1）现实情景和学生经验是发展空间观念的基础；（2)利用多种途径发展学生的空间观念（生活经验的回顾与再现，实物观察和描述，拼摆和画图、折纸与展开、分析与推理）（3）学生在思考、想象过程中发展空间观念。第5页,共74页，2024年2月25日，星期天（二）几何直观1、几何直观：顾名思义，几何直观直观所指有两点，一是几何，在这里几何是指图形；二是直观，这里的直观不仅仅是指直接看到的东西（直接看的的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西，以前看到的东西进行思考想象，综合起来，几何直观就是依托、利用图形进行思考和想象。爱因斯坦曾说过一句名言“想象比知识更重要”第6页,共74页，2024年2月25日，星期天2几何直观的培养（1）在教学中逐步让学生养成画图的习惯。（2）重视变换，让图形动起来，几何变换和图形运动是几何也是整个数学的重要内容，它既是学习的对象，也是认第7页,共74页，2024年2月25日，星期天识图形的思想和方法(1)在数学中，我们接触的最基本的图形都是“对称”图形,例如，球、圆锥、圆台、正多边形、长方形、长方体菱形、平行四边形等都是不同程度的对称图形(2)在认识学习研究不对称图形时，又往往运用这些对称图形为工具。充分的利用变换去认识、理解几何图形是培养几何直观的好办法（3）学会从数和形两个角度认识数学；（4）掌握、运用一些基本图形解决问题，不断的运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中关注的目标。第8页,共74页，2024年2月25日，星期天9二、课程标准、考试说明三、各节教材的分析及教学建议一、本章地位与作用第9页,共74页，2024年2月25日，星期天一、本章地位与作用第10页,共74页，2024年2月25日，星期天课标解读《在义务教育数学课程标准2011版》对图形和几何内容分析如下：图形与几何课程内容，以发展学生的空间观念、几何直观、推理能力为核心展开，主要包括：空间和平面基本图形的认识，图形的性质、分类和度量；图形的平移，旋转、轴对称，相似和投影；平面图形的基本性质的证明；物体和图形的位置及运动的描述，运用坐标描述图形的位置和运动。第11页,共74页，2024年2月25日，星期天

轴对称——建立不同几何图形之间的联系的重要途径。1、线、角等基本图形与轴对称的联系2、平行（主要是平移）与轴对称的联系引入轴对称的知识，使得我们可以从图形变换的角度重新认识平移，把平移纳入图形变换，形成新的研究几何的体系中；3．轴对称与全等三角形之间的联系引入轴对称知识，使得我们可以从轴对称的角度再认识有关全等三角形的问题，体会用全等三角形来研究经过一次轴对称变换后的图形与原图形之间的关系的作用．建立两者的联系，可以加强轴对称等知识的运用，可以为图形之间的图形变换提供除平移之后的第二种变换方式－－轴对称．第12页,共74页，2024年2月25日，星期天轴对称为培养几何直观和几何观念提供新的角度和方法，实现以多种途径发展学生的空间观念的构想；作为《数学课程标准》规定的四个内容领域之一，“空间与图形”主要研究现实世界中物体和几何图形的形状、大小、位置关系及其变换。那么，什么是变换？中学数学中所涉及的基本变换有哪些？各种不同变换的数学内涵是什么？它们之间又存在怎样的关系？第13页,共74页，2024年2月25日，星期天（1）变换、保距变换、保角变换

通常，几何学家是按照集合的法则，通过在原图形的点与新图形（称为映象）的点之间建立一种对应关系来描述有关变换的概念的。如果一个平面图形的每一个点只对应于它在此平面内的映象中的一个点，并且映象中的每一个点也只对应于原图形中的一个点，这样的对应就叫做变换能够保持图形的大小和形状不变的变换称为保距变换。而只改变图形的大小，不改变图形的形状的变换称为保角变换。第14页,共74页，2024年2月25日，星期天平移变换、旋转变换和轴对称变换平移变换是最简单的保距变换。如果原图形中的点都沿着平行的途径运动一个恒等的距离而到达映象，这样的变换称为平移。对平移来说，原图形中所有的点到它的映象的距离彼此相等。距离和方向是平移的两个要件轴对称变换是第二种保距变换。如果在一张纸上画一个图形，把一面平面镜的末端放在纸上，并且在镜子里看到这个图形，那么原图形就被反射了。由反射产生一个图形的映象的过程，也叫轴对称变换。反射由一条反射线所确定，反射线也叫对称轴。反射线是连接图形中的任意一点与该点映象之间的所有线段的垂直平分线轴对称图形，也可以用反射来定义。如果一个图形的一部分被某一条直线反射后，得到的映象恰好等同于原图形的其余部分，这个图形即被称为轴对称图形。该直线叫做对称轴。第15页,共74页，2024年2月25日，星期天图形变换是研究几何问题发现结合结论的有效工具；有助于激发学生学习数学的兴趣，感悟数学的美即应用价值。第16页,共74页，2024年2月25日，星期天17

第五章相交线与平行线—5.4平移（七年级下）第十二章轴对称（八年级上）第二十三章旋转（九年级上）本套教材在不同阶段安排了图形变换的内容：第17页,共74页，2024年2月25日，星期天本章知识结构图作轴对称图形用坐标表示轴对线段、直线、角等腰三角形四边形多边形圆图形投影生活中的轴对称轴对称图形旋转图形相似图形轴对称图形平移图形变化图形运动变化（不改变现状大小）第18页,共74页，2024年2月25日，星期天本章知识结构图图形变化图形运动变化（不改变现状大小）图形相似图形投影图形平移图形轴对称图形旋转生活中的轴对称轴对称作轴对称图形用坐标表示轴对多边形圆线段、直线、角等腰三角形四边形第19页,共74页，2024年2月25日，星期天二、课程目标和考试说明第20页,共74页，2024年2月25日，星期天课程目标（原）

借助图形直观了解和认识轴对称、轴对称图形的概念。（义务教育阶段不可能也没必要给出图形变换的严格定义）通过图形的运动变化和具体的实例，探索了解轴对称、理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称。能按要求作出简单平面图形经过一次或两次对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴。第21页,共74页，2024年2月25日，星期天课程目标（新）

会用尺规作图作线段的垂直平分线（了解作图的道理，保留作图的痕迹），理解和掌握线段垂直平分线的两个性质定理。了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，探索并掌握它们的轴对称性及其相关性质。能运用轴对称的知识解决简单的问题。如（1）简单的极值问题（2）在等腰三角形中运用对称简单的图形构造解决几何问题（3）图形分割等认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形，认识它们在自然界和现实生活中的应用；激发学生答的学习兴趣，感悟数学的美及其应用价值。第22页,共74页，2024年2月25日，星期天23中考说明·轴对称、等腰三角形轴对称

了解图形的轴对称，理解对应点所连的线段被对称轴垂直平分的性质；了解物体的镜面对称

能按要求作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；掌握简单图形之间的轴对称关系，并能指出对称轴；掌握基本图形的轴对称性及其相关性质能运用轴对称的知识解决简单问题等腰三角形

了解等腰三角形、等边三角形的概念，会识别这两种图形；理解等腰三角形、等边三角形的性质和判定

能用等腰三角形、等边三角形的性质和判定解决问题

会运用等腰三角形、等边三角形的知识解决有关问题第23页,共74页，2024年2月25日，星期天24三、教材的分析及教学建议本章的主要内容是从生活中的图形入手，学习轴对称及其基本性质，欣赏、体验轴对称在现实生活中的广泛应用。在此基础上，利用轴对称变换，探索等腰三角形的性质，学习它的判定方法，并进一步学习等边三角形.

轴对称是现实生活中广泛存在的一种现象，是密切数学与现实联系的重要内容。第24页,共74页，2024年2月25日，星期天12.1节“轴对称”中，根据学生的生活经验和数学活动经历，从观察现实生活中的对称现象开始，引出轴对称图形和图形的轴对称的概念，从整体上概括出轴对称的特征。结合探索对称点的关系，归纳得出对应点连线被对称轴垂直平分的性质，并结合这一性质，讨论了线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.第25页,共74页，2024年2月25日，星期天12．2节“轴对称变换”中，通过观察一系列的图形，引出了轴对称变换并归纳其特征，通过作轴对称图形、简单的图案设计、确定最短路线等活动，使学生进一步体会轴对称的应用价值和丰富内涵。用坐标表示轴对称，从数量关系的角度刻画了轴对称变换。教科书从观察和实验入手，归纳得出坐标平面上一个点关于x轴或y轴对称的点的坐标的规律，并进一步探讨了如何利用这种规律在平面直角坐标系中作出一个图形关于x轴或y轴对称的图形.第26页,共74页，2024年2月25日，星期天

12.3研究的是等腰三角形的相关知识.等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质.由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛.等腰三角形的许多特殊性质，都和它是轴对称图形有关.利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角”、“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容.第27页,共74页，2024年2月25日，星期天本章重点难点

论证线段相等、角相等的重要依据，应用广泛。

对应点所连的线段被对称轴垂直平分。

学生刚开始接触用符号表示推理，推理的依据多，图形、题目的复杂程度增加。

本章重点：轴对称的性质等腰三角形的性质和判定本章难点：推理证明

第28页,共74页，2024年2月25日，星期天课时安排

八年级上册“轴对称”一章，主要包括轴对称和等腰三角形的相关内容。本章共安排了三个小节和两个选学内容，教学时间约需13课时(建议16课时），具体分配如下（仅供参考）：12.1轴对称3课时12.2作轴对称图形3课时12.3等腰三角形5课时

数学活动、小结2课时能力与方法提升（建议）3课时第29页,共74页，2024年2月25日，星期天课时建议12.1轴对称第一课时：学习目标：1.认识轴对称、轴对称图形，了解相关概念，知道轴对称图形与两个图形关于某条直线对称的区别和联系；（为了讨论的方便，教科书区分了轴对称图形和两个图形成轴对称的慨念，其实二者的本质是一致的：折叠重合）

2.通过对轴对称图形和两个图形关于对称的探究，了解图形的本质特征，发展抽象与概括的能力；会用观察、折叠的方法判定一个图形的轴对称性和两个图形的对称性.3.通过本课的学习，感悟生活与数学的联系，提高学习探究的欲望，主动参与课堂学习活动.第30页,共74页，2024年2月25日，星期天31设为主页加入收藏夹当前位置：首页>>初中数学>>教师中心>>八年级上册>>电子课本

教师中心学生中心数学学会资源下载最新文章数学论坛

【目录】

【上一页】

【下一页】

第31页,共74页，2024年2月25日，星期天32第32页,共74页，2024年2月25日，星期天33

包括镜面对称、立体图形的对称等，并不仅仅是平面上的轴对称图形.第33页,共74页，2024年2月25日，星期天第二课时：学习目标：1.了解垂直平分线的概念及轴对称图形的性质，知道线段垂直平分线的性质及判定，并会进行简单应用；2.通过对图形对称性质及线段垂直平分线性质、判定的学习，认识图形的内在联系和特征；3.通过对本课的学习，提高观察、探究、思考的主动性好积极性.第34页,共74页，2024年2月25日，星期天35教材P37第35页,共74页，2024年2月25日，星期天36

【目录】

【上一页】

【下一页】

教材P38/12第36页,共74页，2024年2月25日，星期天第三课时：学习目标：1.能依据轴对称的性质找出两个成轴对称图形及轴对称图形的对称轴；2.掌握作轴对称图形的对称轴的方法，发展动手作图能力；3.通过动手画图、折叠等操作，激发学习欲望，主动参与课堂学习活动.第37页,共74页，2024年2月25日，星期天38

教材P34第38页,共74页，2024年2月25日，星期天第39页,共74页，2024年2月25日，星期天40

如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝4cm，将△ABC折叠，使点C与A重合，得折痕DE，则△ABE的周长等于_________cm.

考察:轴对称性质的应用1.求：AE的长？2.求：DE的长？第40页,共74页，2024年2月25日，星期天12.2作轴对称图形

第一课时

学习目标：1.了解轴对称变换的相关定义，知道轴对称变换的性质，会作简单平面图形经过一次或二次轴对称变换后的图形；2.经历轴对称变换的画图、观察、交流等活动，通过实例认识轴对称变换，了解轴对称变换在精美图案设计中运用，发展观察、思维、实践能力和创新精神；

3.通过对轴对称变换图案的赏析，提高应用数学的意识.第41页,共74页，2024年2月25日，星期天42

对称轴的作法：两个图形的对称轴；一个轴对称图形的对称轴第42页,共74页，2024年2月25日，星期天第43页,共74页，2024年2月25日，星期天第二课时

学习目标：1.知道点关于轴、轴对称点的坐标的表示规律，会画简单图形关于轴、轴的对称图形；2.经历用坐标表示轴对称变换的过程，会用坐标表示轴对称变换中对应点的坐标.感悟数的变换与形变换的内在联系；3.通过对轴对称变换与数变换关系的探索，增强数形结合意识.第44页,共74页，2024年2月25日，星期天第三课时学习目标：1.会利用平面直角坐标系表示轴对称，会用坐标表示点关于某些特殊直线的对称点；2.通过用坐标表示轴对称的学习，加深对轴对称变换性质及点与点对应的理解；3.通过生活中问题的数学解答，体会生活中处处有数学，感受学习数学的乐趣.第45页,共74页，2024年2月25日，星期天12.3等腰三角形第一课时

学习目标：1.知道等腰三角形的性质1和性质2，并初步能用其进行与等腰相关的证明和计算；2.通过对等腰三角形性质和对称性的探究，发展形象思维，增强推理能力；3.通过折纸、剪纸等运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，提升学习的自信心.第46页,共74页，2024年2月25日，星期天第二课时学习目标：1.知道等腰三角形的判定方法，并初步能用其进行与等腰相关的证明和计算；2.通过对例题1、2的探究与证明，发展合情推理能力和演绎推理能力；3.通过对问题的猜想、思考、证明等数学活动，感受探求问题解决的途径，增强分析能力.第47页,共74页，2024年2月25日，星期天第三课时学习目标：1.知道等边三角形的性质和等边三角形的判定，能用等边三角形的相关知识进行简单的计算和论证；2.在探究等边三角形性质与判定的过程中，加深对等腰三角形相关知识的理解，通过相关问题的计算和推证，提高灵活运用知识的能力；3.积极参与数学问题的探究活动，在活动中获得成功的体验.第48页,共74页，2024年2月25日，星期天第四课时学习目标：1.知道含30°角的直角三角形的性质，能用所对直角边等于斜边一半的性质进行相关的计算；2.在探究含30°角的直角三角形性质的过程中，体会对称性质在解决问题中的运用，通过性质其他方法证明的探究，加深对角的直角三角与等边三角形相互转化的理解，并能把这种转换应用在相关的问题的解决上；3.通过等边三角形与直角三角形相关性质的探究，感受事物有特殊到一般的认知规律第49页,共74页，2024年2月25日，星期天教学建议1.加深对数学教学本质的基本看法的研究，领会教材编写意图。如数学教学教材的三节中，设计编排了观察、探究、思考、讨论、归纳等栏目，这些栏目的设置既符合学生学习的认知特点，又为学生的自主学习与合作学习起到了导学的作用，教学中要充分挖掘这些栏目的导学作用，即不包办学生对这些问题的探究，又加强引导与点拨，进而培养学生的分析、观察、猜想、思考、推理能力。

第50页,共74页，2024年2月25日，星期天

新课标解读：新的课程标准对数学教学本质的基本看法。

（1）数学教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。（2）有效的教学活动是学生学和教师教的统一。（3）学生和教师在教学活动中的角色定位。“学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者”这种角色的转换是对数学教师教学技能和素养的挑战，也应该成为数学教师专业发展的目标。第51页,共74页，2024年2月25日，星期天2．处理好过程与结果的关系（1）联系实际，引导学生经历知识形成的过程.如，轴对称现象在生活中是很常见的，教材选用了从天安门到故宫图作为章头图，在第1节的开头，也举出了如自然景观、分子结构、建筑物、艺术作品、日常生活用品、窗花等实际例子，通过对实际例子观察，既可让学生感受对称现象在生活中存，又可让学生经历轴对称概念引入的过程.

第52页,共74页，2024年2月25日，星期天（2）注意让学生经历观察实验归纳论证的过程

例如，对于等腰三角形“等边对等角”“三线合一”的性质的得出，教科书通过设置一个“探究”“思考”栏目，让学生剪出等腰三角形，并进一步利用轴对称的性质思考其中相等的线段和相等的角，进而发现等腰三角形的性质。接下来，从上面的操作过程启发，通过做出等腰三角形的对称轴，得到两个全等的三角形，从而利用三角形的全等证明等腰三角形的这两个性质。这种处理，将实验几何与论证几何有机的整合在一起，使学生经历了一个观察、实验、探究、归纳、推理、证明的认识图形的全过程，把推理证明作为学生观察、实验、探究得出结论之后的自然延续，完成好由实验几何到论证几何的过渡.第53页,共74页，2024年2月25日，星期天新课标解读过程与结果：在传统教学中，我们习惯把数学课程内容是为一系列的事实性结论。他们是静态的、客观的、也是内涵确定的、边界明晰的。这些事实性结论成为“双基”的主题，也成为课程内容的知识点，他们当然成为课程教学的重点。但这有同时带来另一个方面的问题，即不关注知识的来龙去脉，不关注数学思想的产生和发展。数学课程的组织与呈现应该知识过程。其实，数学教育领域，很早就有这样的观点：数学教学如其说是数学活动结果的教学，不如说是数学活动的教学。这里的活动就是指最终得到数学结论的数学活动过程。通过这样一个过程，学生不仅能获得知识技能，而且能体会感悟到这些知识技能背后更为本质的东西-----知识的产生与发展，以及数学思想、方法，积累起一定的数学活动经验。同时，通过这一过程也可以是学生掌握一定的学习方法，养成良好的学习习惯，从整体上促进数学素养第54页,共74页，2024年2月25日，星期天3.注意数学思想方法的渗透

本章的主要思想方法有数形结合、转化、方程等.在轴对称变换之后，教科书安排了用坐标表示轴对称的内容，从数的角度刻画轴对称的内容。包括关于坐标轴对称的点或图形的坐标的变化以及由点或图形坐标的变化引起点或图形轴对称变换的内容。这里的关键是要让学生感受图形轴对称变换之后点的坐标的变化，把“形”和“数”紧密的结合在一起，把坐标思想和图形变换的思想联系起来。第55页,共74页，2024年2月25日，星期天4．满足学生多样化的学习需求，为学生提供个性化学习的时间和空间，加强针对指导

本章内容中有许多需要发挥学生想象和个性的活动，如欣赏轴对称图案，利用轴对称进行图案设计，探究对称轴是与坐标轴平行（垂直）时轴对称的坐标特点，发现等腰三角形中相等的线段等等，这些内容都为学生个性化的学习提供了空间。教学时应有意识地满足学生多样化的学习需求真正为学生提供个性化学习的时间和空间。例如，对于利用轴对称设计图案，不同学生可能会有不同的创意，也会有不同的操作方法（如折叠、剪纸、扎眼、计算机等）完成自己的创意，教师应该鼓励学生大胆想象、大胆尝试，不能用唯一的标准判断全体学生的成果，要把关注点放在活动中的数学层面上，看学生是否真正理解了轴对称变换的特点。第56页,共74页，2024年2月25日，星期天课程标准解读数学课堂教学中最需要做的事：（1）是“激发学生的兴趣”。数学好玩。教师要更多的在激发学生学习兴趣上下功夫，通过自己的智慧和教学艺术，充分展示数学的亲和力，拨动学生的好奇心，激发学生学习的原动力。（2）是引发“数学思考”。有思考才会有问题，才会有反思，才会有思想，才能真正感悟数学的本质和价值，也才能在创新意识上得到发展。数学思考是数学教学中最有价值的行为。（3）培养学生良好的数学学习习惯。良好的学习习惯能帮助学生逐步实现由“学会”到“会学”的转变，他的养成与日常教学行为是紧密相关的。认真听讲、善思好问、预习复习、认真作业、质疑反思、合作交流。。。。这些学习习惯需要在教学中刻意诱导，潜移默化，点滴积累，通过较长时间的磨练，最后方能习以为常，形成习惯。（4）“使学生掌握恰当的数学学习方法”第57页,共74页，2024年2月25日，星期天5.注意培养推理能力不仅通过观察、实验、探究得出一些有关图形的结论，还要对这些结论进行证明，使推理证明成为实验探究的自然延续，进一步体会证明的必要性

加强证明题前分析的教学纠正不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势，学会选择简便方法。添加辅助线的问题第58页,共74页，2024年2月25日，星期天学过等腰三角形后，推理的依据逐渐多了，题目的复杂程度也增加了，因此，如何寻找证明的思路也成为本章教学的一个难点。教学时，要克服这一难点，关键是要加强证明题前分析的教学，帮助学生学会分析证题思路，找出证明的途径。因为学过的定理多了，从已知出发可以有多种途径选择，分析问题时要结合结论一起考虑，采用“两头凑”，教学时可向学生介绍这种方法第59页,共74页，2024年2月25日，星期天另外，以前学生证明问题时，主要考虑利用全等三角形，也总习惯于找全等三角形。虽然涉及利用等腰三角形性质的问题都可以利用全等三角形来解决，但要注意纠正这种不顾条件，一概依赖全等三角形的思维定势。可结合具体问题让学生自己分析，寻找证明方法。对于可以直接利用等腰三角形性质、判定，垂直平分线的性质的问题，应当让学生选择简便方法。在与等腰三角形有关的一些命题的证明过程中，会遇到一些添加辅助线的问题，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线。虽然“三线和一”，但添加辅助线时，有时作那条线都可以，有时不同的做法引起解决问题的复杂程度也不同，需要具体问题具体分析，这一点要注意。第60页,共74页，2024年2月25日，星期天6．及时整合“空间与图形”领域的相关内容如：在学习轴对称过程中可以将前面学习的