辽宁省丹东市第七中学2024年中考三模数学试题含解析

辽宁省丹东市第七中学2024年中考三模数学试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知，用尺规作图的方法在上确定一点，使，则符合要求的作图痕迹是（）A． B．C． D．2．已知x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（）A．x1≠x2 B．x1+x2＞0 C．x1•x2＞0 D．x1＜0，x2＜03．下列运算不正确的是A．a5+C．2a24．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，则∠AOC的度数是（）A．150° B．140° C．130° D．120°5．如图，已知△ABC中，∠C=90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90° B．135° C．270° D．315°6．如图，是由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图没变，则拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是（）A． B． C． D．7．设a，b是常数，不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（）A． B． C． D．8．已知y关于x的函数图象如图所示，则当y＜0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜0 B．﹣1＜x＜1或x＞2 C．x＞﹣1 D．x＜﹣1或1＜x＜29．如果一组数据6、7、x、9、5的平均数是2x，那么这组数据的方差为（）A．4 B．3 C．2 D．110．如图，在四边形ABCD中，∠A=120°，∠C=80°．将△BMN沿着MN翻折，得到△FMN．若MF∥AD，FN∥DC，则∠F的度数为（）A．70° B．80° C．90° D．100°11．对于代数式ax2+bx+c(a≠0)，下列说法正确的是（）①如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c=aq2+bq+c，则a+bx+c=a（x-p）（x-q）②存在三个实数m≠n≠s，使得am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c③如果ac＜0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c④如果ac＞0，则一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+cA．③ B．①③ C．②④ D．①③④12．如图，在平行四边形ABCD中，都不一定成立的是（）①AO=CO；②AC⊥BD；③AD∥BC；④∠CAB=∠CAD．A．①和④ B．②和③ C．③和④ D．②和④二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，点D在的边上，已知点E、点F分别为和的重心，如果，那么两个三角形重心之间的距离的长等于________．14．分解因式2x2﹣4x+2的最终结果是_____．15．计算×3结果等于_____．16．某次数学测试，某班一个学习小组的六位同学的成绩如下：84、75、75、92、86、99，则这六位同学成绩的中位数是_____．17．已知关于x的一元二次方程（k﹣5）x2﹣2x+2=0有实根，则k的取值范围为_____．18．有下列各式：①；②；③；④．其中，计算结果为分式的是_____．（填序号）三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）已知如图，在△ABC中，∠B＝45°，点D是BC边的中点，DE⊥BC于点D，交AB于点E，连接CE．（1）求∠AEC的度数；（2）请你判断AE、BE、AC三条线段之间的等量关系，并证明你的结论．20．（6分）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物AB的高度他们在C处仰望建筑物顶端A处，测得仰角为，再往建筑物的方向前进6米到达D处，测得仰角为，求建筑物的高度测角器的高度忽略不计，结果精确到米，，21．（6分）均衡化验收以来，乐陵每个学校都高楼林立，校园环境美如画，软件、硬件等设施齐全，小明想要测量学校食堂和食堂正前方一棵树的高度，他从食堂楼底M处出发，向前走6米到达A处，测得树顶端E的仰角为30°，他又继续走下台阶到达C处，测得树的顶端的仰角是60°，再继续向前走到大树底D处，测得食堂楼顶N的仰角为45°，已如A点离地面的高度AB＝4米，∠BCA＝30°，且B、C、D三点在同一直线上．（1）求树DE的高度；（2）求食堂MN的高度．22．（8分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长线交于点E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若BE=3，CE=3，求图中阴影部分的面积．23．（8分）已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s（km）与时间t（h）的函数关系的图象，根据图象解答下列问题：（1）请用t分别表示A、B的路程sA、sB；（2）在A出发后几小时，两人相距15km？24．（10分）2018年“植树节”前夕，某小区为绿化环境，购进200棵柏树苗和120棵枣树苗，且两种树苗所需费用相同．每棵枣树苗的进价比每棵柏树苗的进价的2倍少5元，每棵柏树苗的进价是多少元.25．（10分）如图，已知AD是的中线，M是AD的中点，过A点作，CM的延长线与AE相交于点E，与AB相交于点F.（1）求证：四边形是平行四边形；（2）如果，求证四边形是矩形.26．（12分）如图，在菱形ABCD中，E、F分别为AD和CD上的点，且AE=CF，连接AF、CE交于点G，求证：点G在BD上．27．（12分）如图1，定义：在直角三角形ABC中，锐角α的邻边与对边的比叫做角α的余切，记作ctanα，即ctanα＝角α的邻边角（1）如图1，若BC＝3，AB＝5，则ctanB＝_____；（2）ctan60°＝_____；（3）如图2，已知：△ABC中，∠B是锐角，ctanC＝2，AB＝10，BC＝20，试求∠B的余弦cosB的值．

参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解析】试题分析：D选项中作的是AB的中垂线，∴PA=PB，∵PB+PC=BC，∴PA+PC=BC．故选D．考点：作图—复杂作图．2、A【解析】分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x1≠x2，结论A正确；B、根据根与系数的关系可得出x1+x2=a，结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确；C、根据根与系数的关系可得出x1•x2=﹣2，结论C错误；D、由x1•x2=﹣2，可得出x1＜0，x2＞0，结论D错误．综上即可得出结论．详解：A∵△=（﹣a）2﹣4×1×（﹣2）=a2+8＞0，∴x1≠x2，结论A正确；B、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1+x2=a，∵a的值不确定，∴B结论不一定正确；C、∵x1、x2是关于x的方程x2﹣ax﹣2=0的两根，∴x1•x2=﹣2，结论C错误；D、∵x1•x2=﹣2，∴x1＜0，x2＞0，结论D错误．故选A．点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．3、B【解析】(-2a4、A【解析】

直接根据圆周角定理即可得出结论．【详解】∵A、B、C是⊙O上的三点，∠B=75°，∴∠AOC=2∠B=150°．故选A．5、C【解析】

根据四边形的内角和与直角三角形中两个锐角关系即可求解.【详解】解：∵四边形的内角和为360°，直角三角形中两个锐角和为90°，∴∠1+∠2=360°﹣（∠A+∠B）=360°﹣90°=270°．故选：C．【点睛】此题主要考查角度的求解，解题的关键是熟知四边形的内角和为360°.6、B【解析】

俯视图是从上面看几何体得到的图形，据此进行判断即可．【详解】由7个相同的小立方体木块堆成的一个几何体，拿掉1个小立方体木块之后，这个几何体的主（正）视图没变，得拿掉第一排的小正方形，拿掉这个小立方体木块之后的几何体的俯视图是，故选B．【点睛】本题主要考查了简单几何体的三视图，解题时注意：俯视图就是从几何体上面看到的图形．7、C【解析】

根据不等式的解集为x＜即可判断a,b的符号,则根据a,b的符号,即可解不等式bx-a<0【详解】解不等式,移项得:∵解集为x<∴，且a<0∴b=-5a>0，解不等式,移项得:bx＞a两边同时除以b得:x＞,即x＞-故选C【点睛】此题考查解一元一次不等式，掌握运算法则是解题关键8、B【解析】y<0时，即x轴下方的部分，∴自变量x的取值范围分两个部分是−1<x<1或x>2.故选B.9、A【解析】分析：先根据平均数的定义确定出x的值，再根据方差公式进行计算即可求出答案．详解：根据题意，得：=2x解得：x=3，则这组数据为6、7、3、9、5，其平均数是6，所以这组数据的方差为[（6﹣6）2+（7﹣6）2+（3﹣6）2+（9﹣6）2+（5﹣6）2]=4，故选A．点睛：此题考查了平均数和方差的定义．平均数是所有数据的和除以数据的个数．方差是一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数．10、B【解析】

首先利用平行线的性质得出∠BMF=120°，∠FNB=80°，再利用翻折变换的性质得出∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，进而求出∠B的度数以及得出∠F的度数．【详解】∵MF∥AD，FN∥DC，∠A=120°，∠C=80°，

∴∠BMF=120°，∠FNB=80°，

∵将△BMN沿MN翻折得△FMN，

∴∠FMN=∠BMN=60°，∠FNM=∠MNB=40°，

∴∠F=∠B=180°-60°-40°=80°，

故选B．【点睛】主要考查了平行线的性质以及多边形内角和定理以及翻折变换的性质，得出∠FMN=∠BMN，∠FNM=∠MNB是解题关键．11、A【解析】设（1）如果存在两个实数p≠q，使得ap2+bp+c=aq2+bq+c，则说明在中，当x=p和x=q时的y值相等，但并不能说明此时p、q是与x轴交点的横坐标，故①中结论不一定成立；（2）若am2+bm+c=an2+bn+c=as2+bs+c，则说明在中当x=m、n、s时，对应的y值相等，因此m、n、s中至少有两个数是相等的，故②错误；（3）如果ac＜0，则b2-4ac>0，则的图象和x轴必有两个不同的交点，所以此时一定存在两个实数m＜n，使am2+bm+c＜0＜an2+bn+c，故③在结论正确；（4）如果ac＞0，则b2-4ac的值的正负无法确定，此时的图象与x轴的交点情况无法确定，所以④中结论不一定成立.综上所述，四种说法中正确的是③.故选A.12、D【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，故①成立；AD∥BC，故③成立；利用排除法可得②与④不一定成立，∵当四边形是菱形时，②和④成立．故选D.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、4【解析】

连接并延长交于G，连接并延长交于H，根据三角形的重心的概念可得，，，，即可求出GH的长，根据对应边成比例，夹角相等可得，根据相似三角形的性质即可得答案．【详解】如图，连接并延长交于G，连接并延长交于H，∵点E、F分别是和的重心，∴，，，，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：4【点睛】本题考查了三角形重心的概念和性质及相似三角形的判定与性质，三角形的重心是三角形中线的交点，三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的2倍．14、1（x﹣1）1【解析】

先提取公因式1，再根据完全平方公式进行二次分解．【详解】解：1x1-4x+1，=1（x1-1x+1），=1（x-1）1．故答案为：1（x﹣1）1【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，难度不大．15、1【解析】

根据二次根式的乘法法则进行计算即可.【详解】故答案为：1．【点睛】考查二次根式的乘法，掌握二次根式乘法的运算法则是解题的关键.16、85【解析】

根据中位数求法,将学生成绩从小到大排列,取中间两数的平均数即可解题.【详解】解：将六位同学的成绩按从小到大进行排列为：75,75,84,86,92,99,中位数为中间两数84和86的平均数,∴这六位同学成绩的中位数是85.【点睛】本题考查了中位数的求法,属于简单题,熟悉中位数的概念是解题关键.17、【解析】

若一元二次方程有实根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，且k-1≠0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围．【详解】解：∵方程有两个实数根，∴△=b2-4ac=（-2）2-4×2×（k-1）=44-8k≥0，且k-1≠0，解得：k≤且k≠1，故答案为k≤且k≠1．【点睛】此题考查根的判别式问题，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．18、②④【解析】

根据分式的定义，将每个式子计算后，即可求解.【详解】=1不是分式，=，=3不是分式，=故选②④.【点睛】本题考查分式的判断，解题的关键是清楚分式的定义.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）90°；（1）AE1+EB1＝AC1，证明见解析．【解析】

（1）根据题意得到DE是线段BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到EB＝EC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可；（1）根据勾股定理解答．【详解】解：（1）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴DE是线段BC的垂直平分线，∴EB＝EC，∴∠ECB＝∠B＝45°，∴∠AEC＝∠ECB+∠B＝90°；（1）AE1+EB1＝AC1．∵∠AEC＝90°，∴AE1+EC1＝AC1，∵EB＝EC，∴AE1+EB1＝AC1．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．20、14.2米；【解析】

Rt△ADB中用AB表示出BD、Rt△ACB中用AB表示出BC，根据CD=BC-BD可得关于AB的方程，解方程可得．【详解】设米∵∠C=45°在中，米，，

又米，在中Tan∠ADB=，Tan60°=解得答，建筑物的高度为米．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是利用数形结合的思想找出各边之间的关系，然后找出所求问题需要的条件．21、（1）12米；（2）（2+8）米【解析】

（1）设DE＝x，先证明△ACE是直角三角形，∠CAE＝60°，∠AEC＝30°，得到AE＝16，根据EF=8求出x的值得到答案；（2）延长NM交DB延长线于点P，先分别求出PB、CD得到PD，利用∠NDP＝45°得到NP，即可求出MN.【详解】（1）如图，设DE＝x，∵AB＝DF＝4，∠ACB＝30°，∴AC＝8，∵∠ECD＝60°，∴△ACE是直角三角形，∵AF∥BD，∴∠CAF＝30°，∴∠CAE＝60°，∠AEC＝30°，∴AE＝16，∴Rt△AEF中，EF＝8，即x﹣4＝8，解得x＝12，∴树DE的高度为12米；（2）延长NM交DB延长线于点P，则AM＝BP＝6，由（1）知CD＝CE＝×AC＝4，BC＝4，∴PD＝BP+BC+CD＝6+4+4＝6+8，∵∠NDP＝45°，且∠NPD＝90°，∴NP＝PD＝6+8，∴NM＝NP﹣MP＝6+8﹣4＝2+8，∴食堂MN的高度为（2+8）米．【点睛】此题是解直角三角形的实际应用，考查直角三角形的性质，30°角所对的直角边等于斜边的一半，锐角三角函数，将已知的线段及角放在相应的直角三角形中利用三角函数解题，由此做相应的辅助线是解题的关键.22、（1）证明见解析；（2）【解析】

（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC=∠ACO，加上∠ACO=∠CAO，从而得到∠DAC=∠CAO；（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27=（r+3）2，解得r=3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60°，然后根据扇形的面积公式，利用S阴影=S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．【详解】解：（1）连接OC，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴CO⊥CD，∵AD⊥CD，∴AD∥CO，∴∠DAC=∠ACO，∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）设⊙O半径为r，在Rt△OEC中，∵OE2+EC2=OC2，∴r2+27=（r+3）2，解得r=3，∴OC=3，OE=6，∴cos∠COE=，∴∠COE=60°，∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=•3•3﹣．【点睛】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．23、（1）sA＝45t﹣45，sB＝20t；（2）在A出发后小时或小时，两人相距15km．【解析】

（1）根据函数图象中的数据可以分别求得s与t的函数关系式；（2）根据（1）中的函数解析式可以解答本题．【详解】解：（1）设sA与t的函数关系式为sA＝kt+b，，得，即sA与t的函数关系式为sA＝45t﹣45，设sB与t的函数关系式为sB＝at，60＝3a，得a＝20，即sB与t的函数关系式为sB＝20t；（2）|45t﹣45﹣20t|＝15，解得，t1＝，t2＝，，，即在A出发后小时或小时，两人相距15km．【点睛】本题主要考查一次函数的应用，涉及到直线上点的坐标与方程，利用待定系数法求一次函数的解析式是解题的关键．24、15元．【解析】

首先设每棵柏树苗的进价是x元，则每棵枣树苗的进价是(2x－5)元，根据题意列出一元一次方程进行求解.【详解】解：设每棵柏树苗的进价是x元，则每棵枣树苗的进价是(2x－5)元.根据题意，列方程得：，解得：x=15答：每棵柏树苗的进价是15元.【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．25、（1）见解析；（2）见解析.【解析】

（1）先判定，可得，再根据是的中