高中数学数系的扩充与复数的引入.1.1数系的扩充和复数的概念课件新人教A版选修122

第三章数系的扩充与复数的引入数系的扩充和复数的概念数系的扩充和复数的概念

1.复数的有关概念

全体复数所成的集合C叫做_______.必备知识·自主学习复数集【思考】复数m+ni的实部是m,虚部是ni,对吗提示:不对.由复数实部和虚部的概念可知,复数m+ni,只有m,n∈R时,m才是m+ni的实部,复数m+ni的虚部是实数n,而不是ni.2.复数的分类(1)对于复数z=a+bi(a,b∈R)而言,①z为实数⇔b=0,②z为虚数⇔b≠0,③z为纯虚数⇔

(2)集合表示:

【思考】虚数为什么不能比较大小提示:引入虚数单位i后,规定i2=-1,但i与0的大小关系不能确定.理由如下:假设i>0,那么2i>i,两边同乘i,得2i2>i2,即-2>-1,与实数系中数的大小规定相矛盾;假设i<0,那么-2<-1⇒-2i>-i⇒-2i·i<-i·i⇒2<1,与实数系中数的大小规定也是矛盾的.故虚数不能比较大小.3.复数相等的充要条件设a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+di⇔_________.a=c且b=d【根底小测】1.辨析记忆(对的打“√〞,错的打“×〞)(1)假设a,b为实数,那么z=a+bi为虚数. ()(2)复数z1=3i,z2=2i,那么z1>z2. ()(3)复数z=bi是纯虚数. ()(4)实数集与复数集的交集是实数集. ()提示:(1)×.只有当b不等于零时z=a+bi为虚数.(2)×.复数不能比较大小,只有相等和不等之分.(3)×.只有当b不等于零时z=bi才为纯虚数.(4)√.因为实数集和虚数集统称为复数集,故实数集与复数集的交集是实数集.2.假设全集C={复数},Q={有理数},P={虚数},那么(∁CQ)∪(∁CP)是 ()A.C B.无理数集 【解析】选A.在全集C中,有理数集Q的补集是虚数集P和无理数集;虚数集P的补集是实数集,所以(∁CQ)∪(∁CP)是全集C.3.假设(x-2y)i=2x+1+3i,那么实数x,y的值分别为________.

答案:-,-关键能力·合作学习类型一复数的概念(数学抽象)【题组训练】1.给出以下四个命题:①两个复数不能比较大小;②假设x,y∈C,那么x+yi=1+i的充要条件是x=y=1;③假设实数a与ai对应,那么实数集与纯虚数集一一对应;④纯虚数集在复数集中的补集是虚数集.其中真命题的个数是________.

【解析】①中当这两个复数都是实数时,可以比较大小;②由于x,y都是复数,故x+yi不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件;③假设a=0,那么ai不是纯虚数;④由纯虚数集、虚数集、复数集之间的关系知,所求补集应是非纯虚数集与实数集的并集.答案:02.复数z=a2-(2-b)i的实部和虚局部别是2和3,那么实数a,b的值分别是________.

【解析】由题意得:a2=2,-(2-b)=3,所以a=±,b=5.答案:±,5【解题策略】1.复数的实部与虚部确实定方法首先将所给的复数化简为复数的代数形式,然后根据实部与虚部的概念确定实部、虚部.2.判断与复数有关的命题是否正确的方法(1)举反例:判断一个命题为假命题,只要举一个反例即可,所以解答这种类型的题时,可按照“先特殊,后一般,先否认,后肯定〞的方法进行解答.(2)化代数形式:对于复数实部、虚部确实定,不但要把复数化为a+bi的形式,更要注意这里a,b均为实数时,才能确定复数的实、虚部.提醒:解答复数概念题,一定要紧扣复数的定义,牢记i的性质.类型二复数的分类(数学抽象、逻辑推理)【典例】1.假设(y2-3y)+yi(y∈R)是纯虚数,那么 ()=3,或y=0C.y≠0 D.y≠32.复数z=+(a2-1)i是实数,那么实数a的值等于________.

3.当m为何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i.(1)是虚数. (2)是纯虚数.【思路导引】1.复数z=a+bi(a,b∈R)是纯虚数的充要条件是a=0且b≠0.2.复数z=a+bi(a,b∈R)是实数的充要条件是a∈R,b=0.3.复数z=a+bi(a,b∈R)是虚数的充要条件是a∈R,b≠0;解决复数分类问题的关键是找出等价条件,列出方程(组).【解析】1.选A.因为(y2-3y)+yi(y∈R)是纯虚数,所以解得y=3.2.因为复数z=+(a2-1)i是实数,且a为实数,那么解得a=-1.答案:-13.(1)当即m≠5且m≠-3时,z是虚数.(2)当即m=3或m=-2时,z是纯虚数.【解题策略】解决复数分类问题的方法与步骤(1)化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.(2)定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为代数形式,列出实部和虚部满足的方程(组)或不等式(组)即可.【跟踪训练】1.假设复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,那么实数a的值为 ()或【解析】选B.根据复数的分类知,需满足解得即a=2.2.m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时,(1)z为实数(2)z为虚数(3)z为纯虚数【解析】(1)要使z为实数,m需满足m2+2m-3=0,且有意义,即m-1≠0,解得m=-3.(2)要使z为虚数,m需满足m2+2m-3≠0,且有意义,即m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)要使z为纯虚数,m需满足=0,且m2+2m-3≠0,解得m=0或-2.类型三复数相等(数学抽象、数学运算)【典例】1.假设(x+y)+yi=(x+1)i(x,y∈R),那么x-y=________.

2.a2+(m+2i)a+2+mi=0(m∈R)成立,那么实数a=________.

3.假设关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,求实数a的值.【思路导引】根据复数的概念及充要条件的判断进行求解.【解析】1.由复数相等的充要条件,得解得那么x-y=-1.答案:-12.因为a,m∈R,所以由a2+am+2+(2a+m)i=0,可得解得或所以a=±.答案:±3.设方程的实根为x=m,那么原方程可化为3m2-m-1=(10-m-2m2)i,所以解得a=11或-.【解题策略】与复数有关的两个数的大小比较(1)复数中只有两个实数才能比较大小,两个虚数或一个实数与一个虚数是不能比较大小的,假设两个复数有大小关系,那么这两个复数必同时为实数.(2)两个复数的大小求解参数值时,一般先由复数的虚部为0,求得参数的值,再进一步检验所得实数的大小关系即可.【跟踪训练】1.复数z1=(2m+7)+(m2-2)i,z2=(m2-8)+(4m+3)i,m∈R,假设z1=z2,那么m=________.

【解析】因为m∈R,z1=z2,所以(2m+7)+(m2-2)i=(m2-8)+(4m+3)i.由复数相等的充要条件得解得m=5.答案:52.假设log2(m2+3m)+(m2-3m)i>1,那么实数m的值为________.

【解析】因为log2(m2+3m)+(m2-3m)i>1,那么可知log2(m2+3m)+(m2-3m)i是大于1的实数,故解得m=3.答案:33.集合M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},假设M∪P=P,求实数m的值.【解析】因为M∪P=P,所以M⊆P,即(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,或(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1得解得m=1;由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i得解得m=2.综上可知m=1或m=2.课堂检测·素养达标1.“a=0〞是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数〞的 ()A.必要不充分条件 B.充分不必要条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数⇔a=0且b≠0,所以“a=0〞是“复数a+bi(a,b∈R)是纯虚数〞的必要不充分条件.2.在复数集C={a+bi|a,b∈R}中的两个数2+bi与a-3i相等,那么实数a,b的值分别为 ()A.2,3 B.2,-3 C.-2