高二数学期望

8.2.6离散型随机变量的数学期望高二数学组2021/10/1011、什么叫n次独立重复试验？一.复习一般地，由n次试验构成，且每次试验互相独立完成，每次试验的结果仅有两种对立的状态，即A与，每次试验中P(A)＝p＞0。称这样的试验为n次独立重复试验，也称伯努利试验。2、什么叫二项分布？X0

1

…k

…n

PCn0p0qnCn1p1qn-1…Cnkpkqn-k…Cnnpnq0若X～B(n，p)2021/10/102一般地，设离散型随机变量X可能取的值为

x1，x2，……，xi，…，

X取每一个值xi(i＝1，2，…)的概率P(X＝xi)＝pi，则称下表为随机变量X的概率分布，

由概率的性质可知，任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质：(1)pi≥0，i＝1，2，…；(2)p1＋p2＋…＝1．3、随机变量的概率分布Xx1x2…xi…Pp1p2…pi…2021/10/103引例p69全年级有n=300个学生，其中有ni

同学的身高是xicm身高xi156157158...184185人数nin1n2n3…n29n30比例ni/nn1/nn2/nn3

/n…n29

/nn30

/nP(xi)=ni/nn1/nn2/nn3

/n…n29

/nn30

/n全年级同学身高总和为多少，平均身高u为多少？二、引例从班中任选一位同学，用X代表身高，则｛X=156｝的概率分布有多少？2021/10/1042021/10/105数学期望的定义若离散型随机变量X的分布列为：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称：EX=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平。三、新课讲解2021/10/106小练习在篮球比赛中，如果某运动员罚球命中得1分的概率为0.7，那么他罚球一次得分设为X，X的均值是多少？解：该随机变量X服从两点分布:P(X=1)=0.7、P(X=0)=0.3所以：EX=1×P(X=1)+0×P(X=0)=0.7X01p0.30.72021/10/107四、应用例题2021/10/108例2.在只需回答“是”“不是”的知识竞赛时，每个选手回答两个不同的问题，都回答失败，输1分，否则赢0.3分，用X表示甲的得分，如果甲随机猜测“是”“不是”，计算X的概率的分布和数学期望。解：｛X=-1｝的充分必要条件是两次猜错，所以

p(X=-1)=1/4=0.25

｛X=0.3｝是｛X=-1｝的对立事件，所以

p(X=0.3)=3/4=0.75X只取-1和0.3，于是

E(X)=-1×p(X=-1)+(0.3)×p(X=0.3)=-1×0.25+0.3×0.75=-0.0252021/10/1092、如果随机变量X服从两点分布，那么

EX=p3、若X～B(n，p)，则EX=np4、超几何分布五、性质1、若Y=aX+b,a,b常数，则E(aX+b)=aE(X)+b2021/10/1010小练习:某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量x表示选出的志愿者中女生的人数，则x的数学期望是

（结果用最简分数表示）2021/10/1011变式一个袋子里装有大小相同的5个白球5个黑球，从中任取4个，求其中所含白球个数的期望。E(X)==22021/10/1012例3.甲乙比赛时，甲每局赢的概率是P=0.51，乙每局赢的概率是q=0.49，甲乙一共进行了10次比赛，当各次比赛的结果是相互独立的，计算甲平均赢多少局，乙平均赢多少局。解:用X表示10局中甲赢的次数，则X服从二项分布B（10，0.51）.E（X）=10×0.51=5.1所以甲平均赢5.1局用Y表示10局中乙赢的次数，则Y服从二项分布B（10，0.49）.E（Y）=10×0.49=4.9所以乙平均赢4.9局2021/10/1013例4，袋中有3个红球，7个白球，从中无放回地任取5个，取到几个红球就得几分，问平均得几分。解：用X表示得分数，则X也是取到的红球数，X服从超几何分布H（10，3，5），于是EX=n×M/N=5×3/10=1.5所以平均得到了1.5分。

2021/10/1014互动练习（第一层）1、随机变量ξ的分布列是ξ135P0.50.30.2(1)则Eξ=.

2、随机变量ξ的分布列是Eξ=7.5,则a=

b=

.ξ4a910P0.30.1b0.22.40.47(2)若η=2ξ+1，则Eη=.

5.8ξ47910P0.3ab0.2Eξ=7.5,则a=

b=

.0.40.12021/10/10151、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分．已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球1次的得分ξ的期望为

．互动练习（第二层）0.7变式：若该运动员在某次比赛中罚球n次，求他罚球的得分X的均值？2021/10/1016数学期望小结EX表示X所表示的随机变量的均值；

E