2022-2023学年安徽省池州市统招专升本数学自考真题(含答案)

2022-2023学年安徽省池州市统招专升本数

学自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（30题）

1.

、

-1-------+-------l--i-udij=/（）

JiI

3?9

A.1D.e

LL0

2.

f（.r）=（①一%）•W（H）,其中叭JC）可导，则/（①。）=（）

A.0B.（p（a飞）C.<p'Q、o）D.8

3.

oo

已知级数•则下列结论正确的是（

I

oo

若lim〃”=0.则2收敛

M.8_.

I

OOOO

3.若的部分和数列｛SJ有界•则收敛

N"1r»"1

oooo

:若£II收敛•则绝对收敛

“■I”-1

88

）若2IW„I发散.则也发散

tt"1I

4.

Jim2一心丁七&=（）

L0xy

y-»0

A.OB.1C.-jD.不存在

5.

设函数y=z—^siiLr,则用=()

2dy

A.1--1-cosyB.1--yCOSJ^

22

C.o_--D--_--

Z-cosyZ-cov

6.

已知函数f(1)=ffsin/d八则尸'(《r)=()

Jo

A.sins、B.xcosxC.—xcosxD..rsin.r

7.

若函数=/+20一"+式*2+必.*-*)在复平面内处处解析，那么实常数”=

()

A.OB.1C.2D.-2

8.

设级数“收敛.则F列级数一定收敛的是()

■I-1

A.、||B.£(“,,+1)

“一】w-L

C.X(-1)"-D.X(人”-I+"%>

9.

已知函数/3满足lim"->+3.)一/("，,=6,则/5,)=()

jd、r

A.1B.2C.3D.6

w/-2V-3y=0,则该微分方程的通解为()

A.Ge-x+Qe”X3jc

B.CXQ+C2e_

C.Ge-"〉..x3jr

D.C,e+C2e

11.

函数/（"在工。点连续是人工）在工。可微的（）

A.充分条件而不是必要条件B.必要条件而不夫充分条件

C.充分必要条件D.既非充分条件，也不是必要条件

12.

设八一为可导函数,且满足=—1.则r(i)=()

LO2X

A.2B.-1C.1D.—2

13.

曲线y=Her的拐点为()

A.x=1B.1=2c-(2v)D-(bi)

14.

・微分方程y"+y=cos3'的特解可设为（）

A.y"=aCOST+bsinxB.y'=axCOST

C.y9=x2(acosx+Asiru、)D.y"=jr(acos«r+6sin.r)

15.

(e"./VO,

.若f(x)=<在、r=0处可导，则aS的值为（）

h+sin2j,

A.a=2.6=1B.a=1,〃=2

C.a=­2.6=1D.a=2,b=-1

微分方程tanx虫-y=0的通解为（）

16.改

17.

设f(x)在z=①。处可导，则lim八才。+2/?—U)=(

)

A—on

-f(攵0)

A.

/'5)

B.

c2/(^0)

D.3/5)

18.

设y(.)=瓯空，贝

r।Jz=0是/(.r)的()

X

A.连续点B.可去间断点

C.跳跃间断点D.无穷间断点

19.

.设/Q)在(0,+8))上连续，且/1)=1111(3产+1)市,则/'(1)=()

A.-21n2B.21n2

C.-ln(31z+1)D——

2

20.

.设函数f(1)=I(廿+〃)市，则/1)=()

Jo

A.—e-J+:丈3

B.一0-’+2JC

C.e，4-/D.2r

21.

当了=1时，函数》=/-2佟+1达到极值，则力=()

|Ctrl+Alt|

A.0B.1C.2D.-1

22.

.函数=1)(1+，)%/有

A.一个极值点B.二个极值点

C.三个极值点D.零个极值点

23.

设函数/Q)、gCr)均可微.且同为某函数的原函数J(D=3,g(l)=1,则

/(x)—g(x)=()

A.0B.1C.2D,4

24.

设函数八工)在点工。处可导,且lim△处二①；八％七4)=4,则1(j)=()

A一)A

A.-4B.-2C.2D.4

25.

1=0是函数/(1)=In"+")的()

A.可去间断点B.跳跃间断点

C.无穷间断点D.振荡间断点

26.

函数八①)=]的定义域是)

x/1-x

A.(―8.—11B.(-8,-1)

D.(-00.1)

27.

已知J]/(7do=Ldijo/(M.y)d.y.若将积分次序改变，则||/(2.y)do=()

DD

B.[dj,Lf(jc,y)djc

。/(.「，了也

.j2dqD./(i.y)d①

28.

.设：=/(.r2-.2z+3y),则?=

3y

A.2y/；+31B.-2yf\+3/1

C.2xf\+2KD.2.r/；-2f

29.

定积分「的值是

)

Jo1bx

A.2ln-B.In2-1C.yln2D.1-ln2

30.

设A.8均为n阶可逆矩阵.则下列各式必然成立的是()

A.(A+B)-'=A-1+B'B.(AB)-1=A^iF1

C.(AB)-1=BlA'D.(ATBT)1=A1B1

、填空题(20题)

tan/dr

lim^—：—

XTJC

已知之==

Gjcciy

32.~

33已知函数2=lnQ2+y2),则全微分=

arctanjr,

34.」1+n

35若/'(e*)=1+才，则/(JC)=

着iim。--a)e']=1,则a三

36.soxX

37.

已知函数》，=»㈡)在任意点处的增量Ay=，^+a,且当°时,a是2的高

阶无穷小，若3-(0)=n,则y(l)=

微分方程yf—2y+.y=0的通解为______________.

3o.____

，•

xf(JT2)ff(jr2)d.z=

39.

81

籍级数的收敛区间是_

40.曲〃5"

41.

设f—=''1(1W0,1),则f(工)=

1JC/J7—1

曲线y=ln(1+j)的水平渐近线方程是

43.7

若/'(j)=b",则[/"(Iru-)d.r=

44.1

不定积分为11tC?Srd.r=

45.J、r十sin.r---

求舞级数£不产的收敛区间为

46.乜2〃十1

8"Tx"

幕级数Z（-i）—的收敛半径为一

47.5

蛔数《）=；」：；：贝ijf(sinx)=

设函数f(之)=3••则Res[/(?),O]=

49.

50.设函数X(lna)=21+1,则随解G)

三、计算题（15题）

计算Jxsi/xdx.

51.

y"+2y'+歹=0,

求微分方程，切*=4,的特解.

.儿。=-2

53求f3㈤r

Vx2+y2dy.

计。一爪枳分00"为的.其中+44}.

54.。

55求/(%)=--3/+1的极值和单调区间•

a与2

已知/具有二阶连续的偏导数，若z=/(",x+y),求浮，-4-.

一,axoxoy

56.

57.

s

find+ax)/n

a—arcsin.r

设/(l)=V6，'=问。为何值时./(工)在I=0连续;

+V_aa-1.

----------------,m>0n,

wsin*

4

a为何值时=0是/(J)的可去间断点.

58.

<101、qo、

设4K=3,其中矩阵力=0-10,B=01,求矩阵X

1001,

59.

,©2才+6JrV0

设函数fCr)=.’、'选取适当的a/值，使八外在立=0处可导，并求/Gr).

|sinaz,1>0,

计算定积分//以.

60.

设二元函数z=z(x,y)由方程x+y+z=sin(jqz)所确定，求电.

61,今

e,—siru。一1

求极限lim

JT-*O1-7I-J2

62.

计算定积分|larctamrcb.

63.

64求二阶线性常系数非齐次微分方程y"+3，'-6y=cosz的通解.

x

求极限lim(1+上'e-

x->+°°\Ti

65.

四、证明题(10题)

66.

证明不等式：1=<In(l+7),其中7>0.

1十1

67证明：当0<]<贯时，>rsinjr\2cosi<2.

证明：对于0VaV6•有arctan6—arctana<b—a.

68.

证明：当0＜工＜1时.(彳-—n)＞2x.

69.

70.

设/(北)在区间［0,。二上连续，证明：「f(x2)dj-=

J—aJ0

7］证明：当0V”(K时♦xsinjrI2cosx<2.

72.

设函数F<.r)=八")一仆)(l>0),其中/(.r)在区间［a.+8)上连续，/"(z)在

x-a

(a,+8)内存在且大于零,求证：FQ)在(a,+8)内单调递增.

73.

30.设D是由曲线)•=\nx.x=e及K轴所围成的的平面区域

求:(1)平面区域D的面积S;⑵D绕j轴旋转一周所成的旋转体的体积V.

74.

设/(x)在区间［a,瓦］上连续，在(a,6)上可导，且f{a}=/(6)=0.

证明：至少一点■€(a.b)使/《)+2&(0=0.

75.

设八了)在［0.1］上连续，在(0/)内可导.且2，/(了)必=/(0).证明：存在fe(0.1).

使/''⑸=0.

五、应用题(10题)

76.

求抛物线厂*将圆¥+y=8分割后形成的两部分的面税

77.

已知曲线），=a&（a>0）与曲线y=In。在点（々，皿）处有公切线,试求：

（1）常数。和切点（丸，皿）；

（2）两曲线与x轴围成的平面图形的面积S.

78.

设以向量a和P为边做平行四边形.求平行四边形中垂直于a边的高线向量.

证明：对0,有e’彳且>1+/

79.「

证明：对i>0,有之产>1+（.

80.

81.

由曲线》=（.r-DQ•-2）和工轴围成一平面图形，求此平面图形绕y轴旋转一周所

成的旋转体的体积.

82.

求由抛物线y=F与直线y=%所围成的平面图形的面积及该图形绕x轴旋转一周

所形成的旋转体的体积.

83.

过点M（3,0）作曲线），=ln（z—3）的切线，该切线与此曲线及/轴围成一平面图形D.

试求平面图形D绕，轴旋转一周所得旋转体的体积.

84.

曲线.y=./（H>0）.直线z+）,=2以及y轴围成一平面图形D.试求平面图形D绕

y轴旋转一周所得旋转体的体积.

85.

某公司主营业务是生产自行车,而且产销平衡.公司的成本函数(Xr)=40000+200x-

0.002/.收入函数RQ)=350,r-0.004.?,则生产多少辆百行车时.公司的利润最大？

六、综合题(2题)

86平面图形Q的面积；

巳知方程八力一CJdr=一春，

J1IL

(1)求八工);

(2)证明：当0V工V2时./⑺)。一2

44工

参考答案

1.A

【精析】原式=(1+lnr)d(l+lnr)==《，故应选A.

J1L1L

2.B

【精析】/"(])=叭工)+(H—Io)«'(%),则/'(HO)=W(Ho)，故选B.

A项中若“”=工，结论不成立；

3.C"

B项中若%=(―1)".结论不成立；

D项中若〃"=(-1)"工，结论不成立；

n

由绝对收敛的定义知，c项正确.

4.C

【精析】映三FW-号—钎

1，4—jry—411

lim-------------二—•=rlim----------，一=——.

二：g(2++4)二；2+4)+44

啦=J_=]=2

dydy12-c

，十A1^-cos①

5.DdiL

匚答案1D

【精析】fr(i)=([fsinzdz)，=jsin.r.

7.C

[答案1C

【精析】u(.r*y)=x2+2.ry-y2,7/(、，)。=v2+-J'2,则”=2x+2),,%=

dxdy

2y+心，因为==学•故2z+2y=2y+ax=>a=2.

<fy

8.D

［答案1D

【精析】级数尸”,，不一定收敛♦可以举例说明,如令"”=(-ir-；

2II〃

+1)=1/0.级数夕(，，“十1)一定发散.£(“1十处“)就是收敛级数£〃.

"***N—］If=IW=］

相邻两项加括号后的级数，由收敛级数的性质知X(“ii+%”)收敛.故应选D.

»—I)

9.B

［精析］lim人,"+3乎)—/"")=3lim+3雪'一八#")=3/'")=6.所

以)=2.

10.A

【评注】本题考查的是二阶常系数微分方程的通解，特征方程：r2-2r-3=0,r=3

或-1,通解为Ge-'+CzeN

11.B

［答案］B

【解析】八］)在入点可微，必可导.可导.必连续，反之不一定成立，例y=UI在工=

。连续,但不可导.

12.A

【精析】lim/W-J“+才)=一；lim，"1+?)―/(1)=_1.

x-*oZxIL0TZ

所以/(I)=2.故应选A.

13.C

［答案］C

【精析】y=在R上可导，、'=曰，一j：e-*,y"=(JT-Zg-*,令y"=0.则1=2,

y(2)=2尸.当zV2时,丁VO；当工>2时,/>0,所以(2,2b，)是y=收一’的拐

点,故选C.

14.D

【精析】因为人工)=e°”cosw中0+i=i是对应齐次方程.，'+》=0的特征根，因

此特解可设为,V*=xeOj(acosr+bsinx)，即y*=x(acosx+bsinx)，故应选D.

15.A

【精析】lim/(J)=lime^=1*lim/(k)=lim(力+sin2①)=b.

j*0).0x-0x-0

ftjf(jc)在］=0处可导知6=1,

r/(z)—/(0)1•(14-sin2j')—19

乂/+(0)=lim&-------士---=lim----------------=乙、

,.o+1-0,.°+工

(0)=lim/⑺-/⑹=lim一=a,

U--0-1-0"CT①

所以a=2,故应选A.

16.C

C

【评注】变量分离方程求解tanx?-y=O,可化为J_d)，=史经心，两边积分得

axysinx

1nM=ln|sinx|+C)»j=Csinx.

17.C

【精析】］而:"0+2牛一八7。)=2+2/二/(：包)=2/'(编)，故应选C.

A-onjo乙h

18.B

因Iim2州啜.2=2.故”。是/⑺的可去间断点.故应选B.

-0X

19.A

【精析】由于/")="ln(3产+1)出=一1ln(3产+1)市，

3)1・0

所以/'(以=—ln(3j-2+1)/(1)=—ln4=-21n2.故应选A.

2o.c/'(①)=(「(e-+产)市)'=尸'+/,故应选C.

21.B

【精析】因在工=1处达到极值，且_y是可导函数，故"LF=0,即(2工-2p)|一=

2—2p=0,所以p=1,故选B.

22.A

【精析】y'=Q(堇—1)(l+1)2,令=0,得.］.=o,i,—1,而才V0,1V—1均无

意义，故I=0与］=一1均不是极值点•故应选A.

23.C

［答案］C

【精析】由函数/(x),g(x)均可微，且同为某函数的原函数,因此可设某函数为

中(工)，则,(l)必=/(JT)+C>,f^(.r)dx=g(x)+C；,

则/(x)—g(x)=］中—Ci—(Jy(x)dx—Cj)—C«—C)=C»

即/(X)与g(x)相差一个固定的常数，又因/(I)=3.g(l)=1,

则/(J)—g(x)—/(1)—g(1)=3—1—2.

24.B

[答案]B

【精析】由题意可知，/(丁。)存在，故

[./(Xo—h)—/(x0+A)rf(TQ-h}—/(x0)+/(x0)—/(vT0+A)

hm---------------7------------------------------=lim---------------------------7------------------------------------------------------

h»ohh-oh

=lim/(工。一/?一〃工。)+HmW一±一

A-»Oh1。n

U-f5—h)「/(x4-ft)-/(x)

r=-lim--------------0--------------lim0--------------------------

A-*0hA-*0fl

=(—1—1)/\Jo)=-2f(x0),

由题意一2/(^)=4,得，(见)=-2,故选巳

25.A

［答案］A

【精析】limf(i)=limlnQ+i)=1,/(才)在①=0处无定义，因此才=0是人］)

LOLOX

的可去间断点.

26.D要使函数有意义，则需1—1>0*即1V1，故应选D.

由题，画出积分区域如图所示,交换积分次序,得

%=/；•(―2了)+/；•3=-2yf\+3_/；.故选B.

28.B川

29.D

【精析】~cLr=1(1—7-7—\d:r—[x—ln(l+=1-ln2.

Jo1-t-JCJc\14Jr/o

30.C

【精析】由矩阵可逆的性质知(AB尸=B5T,故应选C.

31.

2

~2

tan/dz

o_________1.2vttan^-z21•工=]_

=lim—■—；—=vlim—■—^―

【精析】lim4

x-*0xLO4XA。4X

32.

-⑵。f

2

【精析】善==442」_3y,(_3)=_12ie2/f.

，dj：3y

33.

dr+d1y

•则

HzJCZ+y2'dyy+y

2JC

dz-\---,zdy=dr+dy.

(i.i)r+yZ<i.i>F+y(l.I>

34.

-y(arctanjr)2+C

arctan.r

dj?=arctanj?d(arctanj?)=-y(arctanjr)2+C.

J

35.

aInjr+C

【精析】令e11=Z,则x=ln/,/(/)=1+=(1+=tint+C,

所以/(1)=•rliu'+C.

36.

2

37.

ne

♦A工.白

【精析】由已知得lim乎=lim以个-----=了•即＜/=1，包=.

两边积分得•件=[4/，卜|yI=arctan丁+g，所以y=.又因为＞(0)=

北,所以C—7t.V=«0由3•故v(1)=7te：.

38.

J

3,=(C1H-Czx)e(C1,C2为任意常数)

【精析】特征方程为产-2厂+1=0.解得特征根为门=r2=1.

所以所求通解为)，=(g+a%)e、其中GO为任意常数.

39.

"(Jr?)+C

【精析】卜、/(V)f'(r2)d.2'=J/(.r~)/'(a-2)d(,r2)

=(/)+c.

40.

[-4,6)

[-4,6)

]

【评注】对于寨级数£g(x-l)”而言,因为照如用，所以收敛半径R=5,

即当上一1|＜5时，第级数E+(x-l)”必定收敛，而当x=6时，零级数变为

发散，当x=-4时，塞级数变为,收敛，所以收敛域为[-4,6).

41.

1

【精析】匚匚='r，故/⑴

1汽IJC一1JC-1

X

42.

3_

2

91911o

limj(sin——sin—1=lim.rsin——lim.rsin—=2-----——.

「…\JC/①/"/①，…LXLL

43.

丁=0.

lim.(1+a)=]imJ—=0,/.曲线的水平渐近线为y=0.

JT-t»BT11十才

44.

—1TH-C

匚答案]—Inx+C

【精析】/'(k)=—=——.(ln.r)d,r=|——d^'=—ln.r+C.

45.

In|i+sinw|+C

dCr+sinj)=ln1x+sinr|+c

【精析】L5需d，=J7T^T-

46.

[答案1(—第

nu4-1

【精析】p=lim4匚=lim

”一，U.t3”

2"+V

当p=3/V1.即I/IV乌时,原级数绝对收敛,

O

当p=3M>1.即|11>冬时,原级数发散.

所以此级数的收敛半径氏=呼.

I)

47.

(-1吗

(力白

3

48.1

49.

I

~6

【精析】函数/⑺=号在oVlz1<+8内的洛朗展开式为小)=1=

“+三+4+/+…)=5+3+表+H…做口，5匚/⑴・0]=1=高

50.

2eJ

因为/(ln.r)=2工+1=2e&+L,所以f(x)=2e"+1,/2010(x)=2ex

51.

l-cos2x

解:原式=X-------j--|--_lj^_lj

2dx=dxxcos2xdx=xdsin2x

1、

亍一[(xsin2x-Jsin2xdx)=弓一[(xsin2x+-cos2x+C.

2；

52.

解：特征方程丫?+2r+1=0,特征根乙=G=-1,通解

x

y=CR-*+C2xe-.

4=G，G=4

由初始条件此闻=4,引1=一2,得.即4

—2=—G+C?,G=2,

所求特解为y=4e-x+2xe-x.

53.

【精析】积分区域为｛Cr，W一—｝，用极坐标表示为｛(8,

r)|0・64长*。<r<2co3｝,

r2rJia-J_______

J(lrJo+ydy=

-1-「cos汩dsin。=(1—sin20)dsin0

旦T=16

o-Te

54.

【精析】令-r=「cos8.j=rsin8.贝慎积分区域为l<i<2.()<(9<2ZT.

I,r-

故CyjA2+y2dvdy=|e.rd7r=

y1<)

55.

解:2

fXx)=3X-6X,令f'[x}=0解得驻点x,=0,x2=2.

X(-8,0)0(0,2)2(2,-KO)

/'(X)+0一0+

fW上升极大下降极小上升

由表可知函数的极值：4大(0)=1，4小(2)=-3.

函数的单调区间：单增区间是(-8,0],[2,+8);单减区间是[0,2].

56.

解：答力'j+力，兽=必；+(»其光+%+/；'.

oxoxoy

57.

.【精析】(1)/(0)=6；

(2)limf(x)=lim+--=lim---—~~：——

工7厂一厂X、-arcsine一a-arcsine

=lim----3"彳----=—64；

Li)-1I

一♦

e

(3)=lim"+/―一―1=］而.+，：一。］一1=2a2+4；

若/(x)在之=0处连续，应有2a2+4=—6a=6■故a=-1.

若］=0是/(x)的可去间断点，则应有lim/(J)=lim/(J)W/(O).即2a2+4=

x-*O+

—6ar6.故a1•所以a=-2时=0是可去断点.

58.

rl01、"10-r

解：4=0-10计算得4:0-10

、。。bo1>

♦0-1V1o)ro-r

有4r=3得到丫=4-%=0-100I=0—1

Jb

、001八11,

59.

因为，(力在i=0处可导，从而/(0-)=lim/<x)—lim(e2x+，)—1+6,

■r-*。-4-*0-

/(O1)=lim/(.r)=limsinoz=0,/(0)=1+6,即1十6=0,得方=—1.

一。—1。+

□田玉〃，八、1-「⑺一1•(e2j+M-(l+6)e2"-l

乂因为/_(0)=lim----------f-(-0)=lim-------------------=rlim------=92,

,r-*-Q-*”r-»0-2

/；(0)=limf")—"°)=lim=a,所以a=2.

L<»+XJT->G+Z

故当a=2,Z»=-l时•/(n)在h=0处可导且，(0)=2.

.j2e".z<0.

Z(x)=、

j2cos2x»x>0.

60.

【精析】令/T=/,则/=r，d.r=2/df,

e^dx=2[fe'dr=2(zdCe*)=2(te')I—2fe'tk=2.

0JcJcIoJo

61.

And{x+y+z)dsin(取)、dz..(dz

解：--=-i^nl+LCOs⑸z)产+号三

oxoxox\ox

dzjzcos(>yz)-l

--=------------

dxl-xycos(r^z)

62.

2lim

2|im>皿=1.

x-»04

63.

【精析】

d(arctanjr)

1

■Kwa•**,-*1i1f(1+^)-1

82Jo1+x2

-y-(jr-arctanx)

oZo

Tt1

42•

64.

【精析】原方程对应的齐次方程的特征方程为，I「-6=0,得h=-3,上=2,所

以对应的齐次微分方程的通解为y=Ge“十Ge"，

3=i不是特征方程的根，故设原方程的特解为y*=Asin彳+Bcosz,则

(y*)'――Bsinx+Acosx»(>*)"~~Asinx—Bcosr,

代人原方程得

—Asinx-BCOSJ--Bsinx—Acosx—6(Asim+Bcosr)——cos.r,

17__._17

则A=而，B=一缶，故特解为)*=—sinx——cosjtt

3r2T

原方程的通解为y=丫+3圉=Cjc~+C2C+*sin#—^cos^

65.

])2..lim[j2ln(lly)-x]1

【精析】+—)e-J=limenJ•e-J=,令/一.则

1fi0°\.rIl100,r

,L-i

i_Ind+t)-ri._1+ri__1

7~-2(I+?)__1_

原式=er0=ei十=e—o=e2.

66.

【证明】要证件-<ln(l+工)，即证(1+£)ln(l+一―2>0成立即可，

1十X

设f(x)=(l+i)ln(l+i)—0