专训2-利用平行四边形的性质与判定的四种常见题

阶段方法技巧训练（一）专训2利用平行四边形的

性质与判定的四种

常见题习题课平行四边形的性质与判定的应用是中考的重点内容之一，从平行四边形的边、角、对角线等方面进行考查，题型多样，一般以简单题为主，有向解决实际问题方面发展的趋势．1题型利用性质与判定判定平行四边形1．如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线．求证：四边形AFCE是平行四边形．∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∠BCD＝∠DAB.又∵AE，CF分别是∠DAB，∠BCD的平分线，∴∠EAB＝∠DAB，∠DCF＝∠BCD.∴∠EAB＝∠DCF.∵DC∥AB，∴∠DCF＋∠CFA＝180°.∴∠EAB＋∠CFA＝180°.∴AE∥CF.又∵DC∥AB，即CE∥AF，∴四边形AFCE是平行四边形．证明：2题型利用性质与判定探究线段的关系2．【中考•青岛】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△ABD≌△CAE.(2)连接DE，线段DE与AB之间

有怎样的位置和数量关系？

请说明理由．∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.又∵AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.即∠ADB＝90°.∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠ACB.∴∠B＝∠EAC.∵CE⊥AE，∴∠CEA＝90°.∴∠ADB＝∠CEA.又∵AB＝CA，∴△ABD≌△CAE(AAS)．（1）证明：DE∥AB且DE＝AB.理由如下：∵△ABD≌△CAE，∴AE＝BD.又∵AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形．∴DE∥AB且DE＝AB.（2）解：3题型利用性质与判定探究四边形的动点问题3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，BC＝8，M是CD的中点，P是BC边上的一个动点(点P与点B，C不重合)，连接PM并延长交AD的延长线于点Q.问：当BP取何值时，四边形ABPQ是平行四边形？请说明理由．当BP＝

时，四边形ABPQ是平行四边形．理由如下：设CP＝x，则BP＝8－x.因为M是CD的中点，所以DM＝CM.因为AD∥BC，所以∠Q＝∠MPC.又因为∠DMQ＝∠CMP，所以△DMQ≌△CMP.所以DQ＝CP＝x.所以AQ＝AD＋DQ＝5＋x.当BP＝AQ时，8－x＝5＋x，解得x＝.此时BP＝8－

＝.故当BP＝

时，四边形ABPQ是平行四边形．解：4题型利用性质与判定解决翻折问题4.如图，在长方形纸片ABCD中，翻折∠B，∠D，使BC，AD都恰好落在AC上，F，H分别是B，D落在AC上的两点，E，G分别是折痕CE，AG与AB，CD的交点．(1)求证：四边形AECG是平行四边形；(2)若AB＝4cm，BC＝3cm，求线段EF的长．由翻折的性质可得∠GAH＝∠DAC，∠ECF＝∠ACB.∵四边形ABCD是长方形，∴DA∥BC，AB∥CD，∠B＝90°.∴∠DAC＝∠ACB.∴∠GAH＝∠ECF.∴AG∥CE.又∵AE∥CG，∴四边形AECG是平行四边形．(1)证明：由翻折的性质可得BC＝CF＝3cm，BE＝EF，∠B＝∠CFE＝90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC＝5cm，∴AF＝2cm.设EF＝BE＝xcm，则AE＝(4－x)cm，在Rt△