初中三角函数知识点+题型总结+课后练习模板

1-/NUMPAGES1锐角三角函数知识点1、勾股定理：直角三角形两直角边、的平方和等于斜边的平方。2、如下图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：定义表达式取值范围关系正弦(∠A为锐角)余弦(∠A为锐角)正切(∠A为锐角)(倒数)余切(∠A为锐角)对边邻边斜边AC对边邻边斜边ACB4、5、0°、30°、45°、60°、90°特殊角的三角函数值(重要)三角函数0°30°45°60°90°011001不存在不存在10锐角三角函数题型训练类型一：直角三角形求值1．已知Rt△ABC中，求AC、AB和cosB．2．已知：如图，⊙O的半径OA＝16cm，OC⊥AB于C点，求：AB及OC的长．3．已知：⊙O中，OC⊥AB于C点，AB＝16cm，(1)求⊙O的半径OA的长及弦心距OC；(2)求cos∠AOC及tan∠AOC．4.已知是锐角，，求，的值类型二.利用角度转化求值：1．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．D是AC边上一点，DE⊥AB于E点．DE∶AE＝1∶2．求：sinB、cosB、tanB．2.如图4，沿折叠矩形纸片，使点落在边的点处．已知，,则的值为()Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．3.如图6，在等腰直角三角形中，，，为上一点，若，则的长为()A．B．C．D．4.如图6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠A的平分线AD=求∠B的度数及边BC、AB的长.类型三.化斜三角形为直角三角形例1（2012•安徽）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2，求AB的长．例2．已知：如图，△ABC中，AC＝12cm，AB＝16cm，(1)求AB边上的高CD；(2)求△ABC的面积S；(3)求tanB．例3．已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝10，AC＝5．求：sin∠ABC的值．对应训练1．（2012•重庆）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，点D在BC边上，且△ABD是等边三角形．若AB=2，求△ABC的周长．（结果保留根号）2．已知：如图，△ABC中，AB＝9，BC＝6，△ABC的面积等于9，求sinB．类型四：利用网格构造直角三角形例1（2012•内江）如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为（）A．B．C．D．对应练习：1．如图，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA=_______.特殊角的三角函数值例1．求下列各式的值=.计算：3－1+(2π－1)0－tan30°－tan45°===在中，若，都是锐角，求的度数.例2．求适合下列条件的锐角．(1)(2)(3) (4)（5）已知为锐角，且，求的值（6）在中，若，都是锐角，求的度数.例3.三角函数的增减性1．已知∠A为锐角，且sinA<，那么∠A的取值范围是A.0°<A<30°B.30°<A＜60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°已知A为锐角，且，则（）A.0°<A<60°B.30°<A<60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°例4.三角函数在几何中的应用1．已知：如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于E，BE＝16cm，求此菱形的周长．2．已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，，作∠DAC＝30°，AD交CB于D点，求：(1)∠BAD；(2)sin∠BAD、cos∠BAD和tan∠BAD．CAD、cos∠CAD、tan∠CAD．解直角三角形：1．在解直角三角形的过程中，一般要用的主要关系如下(如图所示)：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝b，BC＝a，AB＝c，①三边之间的等量关系：________________________________．②两锐角之间的关系：__________________________________．③边与角之间的关系：______；_______；_____；______．④直角三角形中成比例的线段(如图所示)．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D．CD2＝_________；AC2＝_________；BC2＝_________；AC·BC＝_________．类型一例1．在Rt△ABC中，∠C＝90°．(1)已知：a＝35，，求∠A、∠B，b；(2)已知：，，求∠A、∠B，c；(3)已知：，，求a、b；(4)已知：求a、c；(5)已知：∠A＝60°，△ABC的面积求a、b、c及∠B．例2．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝60°，AC＝10cm．求AB及BC的长．例3．已知：如图，Rt△ABC中，∠D＝90°，∠B＝45°，∠ACD＝60°．BC＝10cm．求AD的长．例4．已知：如图，△ABC中，∠A＝30°，∠B＝135°，AC＝10cm．求AB及BC的长．类型二：解直角三角形的实际应用仰角与俯角：例1．（2012•福州）如图，从热气球C处测得地面A、B两点的俯角分别是30°、45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A、D、B在同一直线上，则AB两点的距离是（）A．200米B．200米C．220米D．100（）米例2．已知：如图，在两面墙之间有一个底端在A点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶端在B点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在D点．已知∠BAC＝60°，∠DAE＝45°．点D到地面的垂直距离，求点B到地面的垂直距离BC．例3（昌平）19.如图，一风力发电装置竖立在小山顶上，小山的高BD=30m．从水平面上一点C测得风力发电装置的顶端A的仰角∠DCA=60°，测得山顶B的仰角∠DCB=30°，求风力发电装置的高AB的长．例4.如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.例5．已知：如图，河旁有一座小山，从山顶A处测得河对岸点C的俯角为30°，测得岸边点D的俯角为45°，又知河宽CD为50m．现需从山顶A到河对岸点C拉一条笔直的缆绳AC，求山的高度及缆绳AC的长(答案可带根号)．例5．（2012•泰安）如图，为测量某物体AB的高度，在D点测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米，到达点C，再次测得点A的仰角为60°，则物体AB的高度为（）A．10米B．10米C．20米D．米例6．（2012•益阳）超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速．如图，观测点设在A处，离益阳大道的距离（AC）为30米．这时，一辆小轿车由西向东匀速行驶，测得此车从B处行驶到C处所用的时间为8秒，∠BAC=75°．（1）求B、C两点的距离；（2）请判断此车是否超过了益阳大道60千米/小时的限制速度？（计算时距离精确到1米，参考数据：sin75°≈0.9659，cos75°≈0.2588，tan75°≈3.732，≈1.732，60千米/小时≈16.7米/秒）类型四.坡度与坡角例．（2012•广安）如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC=50m，则应水坡面AB的长度是（）A．100mB．100mC．150mD．50m类型五.方位角1．已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点A处测得灯塔M在北偏西30°，货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B处，测得灯塔M在北偏西45°，问该货轮继续向北航行时，与灯塔M之间的最短距离是多少?(精确到0.1海里，)综合题：三角函数与四边形：（西城二模）1．如图，四边形ABCD中，∠BAD=135°，∠BCD=90°，AB=BC=2，tan∠BDC=eq\f(\r(,6),3)．(1)求BD的长；(2)求AD的长．（2011东一）2．如图，在平行四边形中，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．（1）求证：∠BAE=∠DAF；（2）若AE=4，AF=，，求CF的长．三角函数与圆：1．如图，直径为10的⊙A经过点和点，与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A．B．C．D．（延庆）19.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,求证：∠AOD=2∠C若AD=8，tanC=，求⊙O的半径。（2013朝阳期末）21.如图，DE是⊙O的直径，CE与⊙O相切，E为切点.连接CD交⊙O于点B，在EC上取一个点F，使EF=BF.（1）求证:BF是⊙O的切线;（2）若,DE=9，求BF的长．作业：（昌平）1．已知，则锐角A的度数是A．B． C．D．（西城北）2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC＝1，AB=，则tanA的值为A．B．C．D．2(房山)3．在△ABC中，∠C=90°，sinA=，那么tanA的值等于（）.A．B.C.D.(大兴)4.若，则锐角＝.(石景山)1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC=2，则tanB的值是A． B． C． D．（丰台）5．将∠α放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tanα的值是A．B．2C．D．(大兴)5.△ABC在正方形网格纸中的位置如图所示，则的值是A. B. C. D.(通县)4．如图，在直角三角形中，斜边的长为，，则直角边的长是（）A． B． C．D．（通州期末））1．如图，已知P是射线OB上的任意一点，PM⊥OA于M，且OM:OP=4:5，则cosα的值等于（）A．B．C．D．（西城）6．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若OB长为10，，则AB的长是（)A.20B.16C.12D.87.在Rt△ABC中，∠C=90°，如果cosA=，那么tanA的值是A．B．C．D．11．如图，在△ABC中，∠ACB=∠ADC=90°，若sinA=，则cos∠BCD的值为．计算：13．计算.13．计算：．14.如图，小聪用一块有一个锐角为的直角三角板测量树高，已知小聪和树都与地面垂直，且相距米，小聪身高AB为1.7米，求这棵树的高度.15．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，a=，b=.解这个直角三角形20.如图，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AD是∠CAB的平分线，tanB=，求的值．（延庆）19.已知：在⊙O中,AB是直径，CB是⊙O的切线，连接AC与⊙O交于点D,求证：∠AOD=2∠C若AD=8，tanC=，求⊙O的半径。（延庆期末）19．如图，某同学在楼房的处测得荷塘的一端处的俯角为，荷塘另一端处、在同一条直线上，已知米，米，求荷塘宽为多少米？（结果保留根号）18.（6分）如图，在△ABC中，点O在AB上，以O为圆心的圆经过A，C两点，交AB于点D，已知2∠A+∠B=（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）若OA=6，BC=8，求BD的长（西城）15．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AC边上．若DB=6，AD=CD，sin∠CBD=，求AD的长和tanA的值．18．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45°方向，距离灯塔100海里的A处，它计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东30°方向上的B处.（1）B处距离灯塔P有多远？（2）圆形暗礁区域的圆心位于PB的延长线上，距离灯塔200海里的O处．已知圆形暗礁区域的半径为50海里，进入圆形暗礁区域就有触礁的危险．请判断若海轮到达B处是否有触礁的危险，并说明理由22．已知，如图，在△中，，以DC为直径作半圆，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，．（1）求证：BF是的切线；DOACBFE（2）若DOACBFE15．如图，为了测量楼AB