天津小淀中学高三数学理下学期期末试卷含解析

天津小淀中学高三数学理下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.二项式（﹣）8的展开式中常数项是（）A．28 B．﹣7 C．7 D．﹣28参考答案：C【考点】二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：二项式（﹣）8的展开式的通项公式为Tr+1=??（﹣1）r?=（﹣1）r??2r﹣8?，令8﹣=0，解得r=6，故展开式中常数项是?2﹣2=7，故选C．2.满足约束条件（为常数），能使的最大值为12的的值为

（

）

A．－9

B．9

C．－12

D．12参考答案：A3.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a=4，b=5，cosA=﹣，则向量在方向上的投影为（）A．﹣ B． C．﹣ D．参考答案：B【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据cosA=﹣得出A为钝角，sinA=，利用正弦定理求出B，再利用余弦定理求出c，根据向量投影的定义写出运算结果即可．【解答】解：△ABC中，a=4，b=5，cosA=﹣，∴A为钝角，且sinA=，∴=sinB===，由题知A＞B，故B=；∵a2=b2+c2﹣2bccosA，∴（4）2=52+c2﹣2?5c?（﹣），解得c=1或c=﹣7（舍去），∴向量在方向上的投影为：||cosB=ccos=1×=．故选：B．【点评】本题考查了平面向量的数量积与正弦、余弦定理的应用问题，是综合性题目．4.如果实数满足条件，那么的最大值为（

）A．

B．

C．

D．

参考答案：答案：B5.曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为A．1

B．2

C．

D．参考答案：C6.i是虚数单位，若复数z满足，则复数z的实部与虚部的和是

（

）

A．0

B．-1

C．1

D．2参考答案：B7.已知命题p：?x∈R，log5x≥0，则（）A．￢p：?x∈R，log5x＜0 B．￢p：?x∈R，log5x≤0C．￢p：?x∈R，log5x≤0 D．￢p：?x∈R，log5x＜0参考答案：A【考点】2J：命题的否定．【分析】由题意，命题p：?x∈R，log5x≥0，其否定是一个全称命题，按书写规则写出答案即可【解答】解：命题p：?x∈R，log5x≥0是一个特称命题，其否定是一个全称命题，所以命题p：?x∈R，log5x≥0的否定为￢p：?x∈R，log5x＜0，故选：A．8.函数的定义域是[a,b](a<b)，值域是[2a,2b]，则符合条件的数组（a,b）的组数为（

）A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：B．试题分析：首先，把看成变量的话，这是一开口向上的对称轴为1的抛物线，所以，即．下面进行分类讨论：（1），所以，且更接近于对称轴，所以，即，，两式子相减即可得到，即，因为，而，所以不符合题意；（2）当时，所以最小值即为顶点，，即．故有两种可能：①，此时离对称轴更远，所以最大值为，矛盾；②，此时离对称轴更远，所以最大值为，（舍去小于1的根）；（3）当时，所以最大值是，最小值是，即，，所以必然有一根小于1，矛盾．综上所述，，．所以符合条件的数组为．故符合符合条件的数组的组数为1组．故应选B．考点：分段函数的定义域和值域．9.在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：5，则cosA的值为（）A． B． C．0 D．1参考答案：B【考点】余弦定理．【专题】三角函数的求值．【分析】已知等式利用正弦定理化简求出三边之比，设出三边长，利用余弦定理表示出cosA，将三边长代入即可求出cosA的值．【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：a：b：c=3：4：5，设a=3k，b=4k，c=5k，由余弦定理得：cosA===．故选：B．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．10.某学校从高三全体500名学生中抽50名学生作学习状况问卷调查，现将500名学生从1到500进行编号，求得间隔数，即每10人抽取一个人，在1~10中随机抽取一个数，如果抽到的是6，则从125~140的数中应抽取的数是(

)

A．126

B．136

C．146

D．126和136参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{xn}满足，且x1+x2+x3+…+x100=1，则lg（x101+x102+…+x200）=． 参考答案：100【考点】对数的运算性质． 【分析】法一：由已知得，，从而得到x101+x102+…+x200=10100，由此能求出lg（x101+x102+…+x200）． 法二：由已知得，从而利用等比数列的性质，可知，x101+x102+…+x200=10100（x1+x2+x3+…+x100）=10100，由此能求出lg（x101+x102+…+x200）． 【解答】解法一：∵数列{xn}满足=lg（10xn）， ∴， ∵x1+x2+x3+…+x100=1， ∴=1，∴， ， ∴x101+x102+…+x200==10100， 则lg（x101+x102+…+x200）=lg10100=100． 故答案为：100． 解法二：∵数列{xn}满足=lg（10xn）， ∴， ∵x1+x2+x3+…+x100=1， ∴等比数列的性质，可知，x101+x102+…+x200=10100（x1+x2+x3+…+x100）=10100， ∴lg（x101+x102+…+x200）=lg10100=100． 故答案为：100． 【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用． 12.设函数则使得成立的x的取值范围是

.参考答案：.解得，解得，故的解为.也可通过考察分段函数的图象而得解.13.已知复数，（m∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则m的值是．参考答案：-1略14.某同学为研究函数的性质，构造了如右图所示的两个边长为1的正方形和，点是边上的一个动点，设，则.请你参考这些信息，推知函数的零点的个数是

.参考答案：15.己知a，b为正数，且直线与直线互相平行，则2a+3b的最小值为________.参考答案：【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系．H125

解析：∵直线与直线互相平行，∴且，∴，即，又a，b均为正数，则．当且仅当时上式等号成立．故答案为：25．【思路点拨】由两直线平行的条件得到，由展开后利用基本不等式求得最值．16.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＞b，a＞c．△ABC的外接圆半径为1，，若边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，则△ABC的面积为．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】由已知及正弦定理可求sinA=，进而可求A，∠CAD，BD，CD，由正弦定理可得b=sin∠2=sin∠1==c，可求sinB=，c=1，即可利用三角形面积公式计算得解．【解答】解：∵△ABC的外接圆半径R为1，，∴由正弦定理，可得：sinA=，∵边BC上一点D满足BD=2DC，且∠BAD=90°，∴A=120°，∠CAD=30°，BD=a=，CD=a=，∴如图，由正弦定理可得：，可得：b=sin∠2=sin∠1==c，∴△BAC是等腰三角形，底角是30°，∴sinB=，可得：c=1，∴S△ABC==．故答案为：．17.公比为的等比数列前项和为15，前项和为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（12分）如图，在四棱锥中，,四边形是菱形，,且交于点，是上任意一点.(1)求证：；（2）已知二面角的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值.参考答案：(1)略；(2)（2）连接在中，所以分别以所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，设则，，由（1）知，平面的一考点：空间中线线关系，二面角19.（本小题满分12分）

某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D．E五个等级，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目盼成绩为E的学生有8人． （I）求该班学生中“立定跳远”科目中成绩为A的人数；（Ⅱ）已知该班学生中恰有2人的两科成绩等级均为A，在至少一科成绩等级为A的学生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．参考答案：（Ｉ）因为“铅球”科目中成绩等级为E的考生有8人，所以该班有人，所以该班学生中“立定跳远”科目中成绩等级为A的人数为.

………4分(II)由题意可知，至少有一科成绩等级为A的有4人，其中恰有2人的两科成绩等级均为A，另2人只有一个科目成绩等级为A.

………6分设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A的同学，则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为{（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，丙），（乙，丁），（丙，丁）}，一共有6个基本事件.………10分设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件M，所以事件M中包含的事件有1个，为（甲，乙），则.

………12分20.设曲线在矩阵

对应的变换作用下得到的曲线为。（Ⅰ）求实数的值。

（Ⅱ）求的逆矩阵。参考答案：解：（Ⅰ）设曲线上任一点在矩阵对应变换下的像是

则

得：（Ⅱ）由（Ⅰ）得：

21.

如图，四棱锥P-ABCD的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．

(1)求证：AP∥平面MBD；

（2)若AD⊥PB，求证：BD⊥平面PAD；

参考答案：略22.（本题满分15分）

已知抛物线的准线为，焦点为F，圆M的圆心在轴的正半轴上，且与轴相切，过原点O作倾斜角为的直线，交于点A，交圆M于另一点B，且AO=OB=2.

（1）求圆M和抛物线C的方程；

（2）若P为抛物线C上的动点，求的最小值；

（3）过上的动点Q向圆M作切线，切点为S，T，求证：直线ST恒过一个定点，并求该定点的坐标.

参考答案：解：（1）即p=2

……2分设圆M的半径为r，则所以圆Ｍ的方程为：……５分（２）设Ｐ（x,y）(x0)，则

=

…………8分

所以当x=0时有最小值为2