北京体育场路中学高三数学理期末试卷含解析

北京体育场路中学高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.函数＞，且的图象恒过定点A，若点A在直线上（其中m，n＞0），则的最小值等于A.16 B.12 C.9 D.8参考答案：D令，得，此时，所以图象过定点A,点A在直线,所以，即.，当且仅当，即时取等号，此时，选D.2.设函数f（x）=，则使得f（x2﹣2x）＞f（3x﹣6）成立的x的取值范围是（）A．（﹣∞，2）∪（3，+∞） B．（2，3） C．（﹣∞，2） D．（3，+∞）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】判断函数f（x）为奇函数和增函数，将原不等式转化为二次不等式，计算即可得到所求解集．【解答】解：函数f（x）=为奇函数，当x＞0时，f（x）=1﹣，可得f（x）在（0，+∞）递增，由奇函数的性质，可得f（x）在R上递增，由f（x2﹣2x）＞f（3x﹣6），可得x2﹣2x＞3x﹣6，解得x＜2或x＞3．故选：A．【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的运用，考查二次不等式的解法，属于中档题．3.已知四棱锥的所有顶点在同一球面上,底面是正方形且球心在此平面内,当四棱锥体积取得最大值时,其面积等于,则球的体积等于（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D试题分析：当四棱锥体积取得最大值时,，因此,球的体积等于,选D.考点：球体积【方法点睛】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.4.按下面图的程序计算，若开始输入的值为x=3，则最后输出的结果是A．6

B．21

C．156

D．231参考答案：答案：D5.已知复数满足，则A． B． C． D．参考答案：A6.已知双曲线，过其左焦点作圆的两条切线，切点记作，,原点为,，其双曲线的离心率为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B7.已知，，，，则=（）A． B． C． D．参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．

【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据平面向量的坐标运算，求出向量+以及它的模长即可．【解答】解：∵，，∴=（3，0）﹣（0，2）=（3，﹣2），=（4，0）+（0，1）=（4，1），∴+=（7，﹣1）∴==5．故选：C．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算及其应用问题，是基础题目．8.伦敦奥运会乒球男团比赛规则如下：每队3名队员,两队之间共需进行五场比赛,其中一场双打,四场单打,每名队员都需比赛两场(双打需两名队员同时上场比赛),要求双打比赛必须在第三场进行,若打满五场,则三名队员不同的出赛顺序安排共有A.144

B.72

C.36

D.18参考答案：C略9.已知复数满足（为虚数单位），则复数的共轭复数在复平面内对应的点在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：D∵，∴∴∴复数的共轭复数在复平面内对应的点在第四象限故选：D10.在四面体ABCD中，AB⊥AD，AB=AD=BC=CD=1，且平面ABD⊥平面BCD，M为AB中点，则线段CM的长为（）A． B．C．D．参考答案：C【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，利用等腰三角形的性质可得OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，可得OA⊥平面BCD，OA⊥OC．建立空间直角坐标系．又AB⊥AD，可得DB=，取OB中点N，连结MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∴．【解答】解：如图所示，取BD的中点O，连接OA，OC，∵AB=AD=BC=CD=1，∴OA⊥BD，OC⊥BD．又平面ABD⊥平面BCD，∴OA⊥平面BCD，OA⊥OC．又AB⊥AD，∴DB=．取OB中点N，连结MN、CN，∴MN∥OA，MN⊥平面BCD．∵MN2=ON2+OC2，∴．故选：C，【点评】本题考查了空间线面位置关系、向量夹角公式、等腰三角形的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若，则的最小值为．参考答案：由得，因为，所以，根据均值定理得，当且仅当，即，即时取等号，所以的最小值为1.12.展开式中的系数为

．-参考答案：略13.若满足约束条件，则目标函数的最大值为

．参考答案：514.设定点A（0，1），动点满足条件，则|PA|的最小值为

。参考答案：15.已知球的两个平行截面的面积分别为和，它们位于球心的同一侧且距离为1，则球的半径是

.参考答案：316.某同学学业水平考试的科成绩如茎叶图所示，则根据茎叶图可知该同学的平均分为

．参考答案：17.复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，如果|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是_______．参考答案：(－1,1) 三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知向量，，且.（1）当时，求;

（2）设函数，求函数的最值及相应的的值.参考答案：所以，当时，.，当，即时，；当，即时，

略19.已知函数在点处的切线与x轴平行。（1）求实数a的值及的极值；（2）是否存在区间，使函数在此区间上存在极值和零点？若存在，求实数t的取值范围，若不存在，请说明理由；（3）如果对任意的，有，求实数k的取值范围。参考答案：（1）的极大值1，无极小值（2），（3）解析：（1）∵在点（1，）处的切线与x轴平行∴∴a=1

∴，当时，，当时，∴在（0,1）上单调递增，在单调递减，故在x=1处取得极大值1，无极小值（2）∵时，，当时，，由（1）得在（0,1）上单调递增，∴由零点存在原理，在区间（0,1）存在唯一零点，函数的图象如图所示∵函数在区间上存在极值和零点∴∴存在符号条件的区间，实数t的取值范围为，（3）由（1）的结论知，在上单调递减，不妨设，则，函数在上单调递减,又，∴，在上恒成立，∴在上恒成立在上，∴考点：导数、函数、极值、恒成立问题20.

其市有小型超市72个，中型超市24个，大型超市12个，现采用分层抽样方法抽取9个超市对其销售商品质量进行调查，

（I） 求应从小型、中型、大型超市分别抽取的个数

（II） 若从抽取的9个超市中随机抽取3个做进一步跟踪分析，记随机变量X为抽取的小型超市的个数，求随机变量X的分布列及数学期望E(X).参考答案：解：（1）抽取大型超市个数：（个）抽取中型超市个数：（个）抽取小型超市个数：（个）

（2）;;

分布列为X0123P

所以略21.(本小题满分l2分)如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，ABC=60，EC面ABCD，FA面ABCD，G为BF的中点，若EG//面ABCD．

(I)求证：EG面ABF；(Ⅱ)若AF=AB，求二面角B—EF—D的余弦值．参考答案：解:(Ⅰ)取AB的中点M，连结GM,MC，G为BF的中点,所以GM//FA,又EC面ABCD,FA面ABCD,∵CE//AF,∴CE//GM,………………2分∵面CEGM面ABCD=CM,EG//面ABCD,∴EG//CM,………………4分∵在正三角形ABC中，CMAB,又AFCM∴EGAB,EGAF,∴EG面ABF.…6分（Ⅱ）建立如图所示的坐标系,设AB=2,则B（）E(0,1,1)F（0，-1，2）=(0，-2,1),=(,-1，-1),

=(,1，1),………………8分设平面BEF的法向量=（）则

令，则,∴=（）…10分

同理，可求平面DEF的法向量

=（-）设所求二面角的平面角为，则=.…12分

略22.随机抽取某中学2015届高三年级甲乙两班各10名同学，测量出他们的身高（单位：cm），获得身高数据的茎叶图如图．其中甲班有一个数据被污损．（Ⅰ）若已知甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学，求身高为176cm的同学被抽中的概率．参考答案：考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设污损处的数据为a，根据甲班同学身高平均数为170cm，求污损处的数据；（Ⅱ）设“身高为176cm的同学被抽中”的事件为A，列举出从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学的基本事件个数，及事件A包含的基本事件个数，进而可得身高为176cm的同学被抽中的概率．解答： 解：（Ⅰ）设污损处的数据，∵甲班同学身高平均数为170cm，∴=（158+162+163+168+168+170+171+179+a+182）=170…解得a=179所以污损处是9．…（Ⅱ）设“身高为176cm的同