湖南省益阳市新港中学高三数学理摸底试卷含解析

湖南省益阳市新港中学高三数学理摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当Sn取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8参考答案：A【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式，可求得公差d=2，从而可得其前n项和为Sn的表达式，配方即可求得答案．【解答】解：等差数列{an}中，a1=﹣9，a2+a8=2a1+8d=﹣18+8d=﹣2，解得d=2，所以，Sn=﹣9n+=n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25，故当n=5时，Sn取得最小值，故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查其通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．2.某几何体的三视图如图所示，三个视图中的曲线都是圆弧，则该几何体的表面积为（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B3.在平面直角坐标平面上，，且与在直线l上的射影长度相等，直线l的倾斜角为锐角，则l的斜率为(

) A． B． C． D．参考答案：C考点：向量在几何中的应用；平面向量的坐标运算；直线的斜率．专题：计算题．分析：根据直线的方向向量公式，可设线l的方向向量为，根据与在直线l上的射影长度相等，得，将其转化为关于k的方程，可以求出斜率k的值．解答： 解：设直线l的斜率为k，得直线l的方向向量为，再设、与的夹角分别为θ1、θ2，则，因为与在直线l上的射影长度相等所以，即|1+4k|=|﹣3+k|解之得，点评：本题考查了平面向量的坐标运算和直线的斜率等知识，属于中档题．深刻理解平面向量的计算公式，将其准确用到解析几何当中，是解决本题的关键．4.在矩形ABCD中,在上截取,沿AE将翻折得到,使点在平面上的射影落在上,则二面角的平面角的余弦值为（

）A． B． C． D．参考答案：C5.设函数，则下列关于函数的说法中正确的是

A.是偶函数

B.的最小正周期为

C.的图象关于点对称

D.在区间上是增函数参考答案：D6.设[x]表示不大于x的最大整数,则对任意实数x,y,有（

）(A)[－x]＝－[x] (B)[2x]＝2[x](C)[x＋y]≤[x]＋[y] (D)[x－y]≤[x]－[y]参考答案：B略7.设是两条直线，

是两个平面，为一点，有下列四个命题，其中正确命题的个数是

（

）①若，，则与必为异面直线；

②若∥，∥则∥；③，，∥，∥，则∥；

④若，则，A．0

B．1

C．2

D．3参考答案：答案：A8.．某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是参考答案：D略9.已知元素为实数的集合A满足条件：若，则，那么集合A中所有元素的乘积是（

）A．－1

B．1

C．0

D．±1参考答案：B10.

已知函数在上是减函数，且对任意的总有则实数的取值范围为（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数，．当x∈R时，f（g（x））=

，g（f（x））=

．参考答案：1，0．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知条件，利用x∈R的条件，能求出f（g（x）），g（f（x））．【解答】解：∵f（x）=，g（x）=，∴x∈R时，f（g（x））=f（1）=1，g（f（x））=g（1）=0．故答案为：1，0．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的灵活运用．12.设向量，，，则________.参考答案：7【分析】利用向量数量积定义、模的坐标运算，直接计算目标式子，即可得到答案.【详解】因为，，所以.故答案为：7.【点睛】本题考查向量数量积的定义、模的坐标运算、数量积运算的分配律，考查基本运算求解能力，属于容易题.13.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为__________．参考答案：画出图形易知积分上限为，积分下限为，易知面积为．14.已知直线与圆C：交于两点A，B，且△CAB为等边三角形，则圆C的面积为

．参考答案：6π15.实数x，y满足且z=2x+y的最小值为3，则实数b的值为

。参考答案：16.在平面直角坐标系中有一点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），…对?n∈N+，点Pn在函数y=ax（0＜a＜1）的图象上，又点An（n，0），Pn（an，bn），An+1（n+1，0）构成等腰三角形，且|PnAn|=|PnAn+1|若对?n∈N+，以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，则a的取值范围是．参考答案：＜a＜1．考点：数列与函数的综合．专题：函数的性质及应用．分析：由等腰三角形和中点坐标公式，可得an=n+，bn=，再由构成三角形的条件，结合指数函数的单调性，即可得到a+a2＞1，解不等式即可得到a的范围．解答：解：由点An（n，0），Pn（an，bn），An+1（n+1，0）构成等腰三角形，且|PnAn|=|PnAn+1|，由中点坐标公式，可得AnAn+1的中点为（n+，0），即有an=n+，bn=，由0＜a＜1，可得bn＞bn+1＞bn+2，以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，只需bn+1+bn+2＞bn，即为+＞，即有a+a2＞1，解得a＞或a＜，由0＜a＜1，则有＜a＜1．故答案为：＜a＜1．点评：本题考查指数函数的性质和运用，主要考查指数函数的单调性的运用，同时考查构成三角形的条件，考查运算能力，属于中档题17.某所学校计划招聘男教师名,女教师名,和须满足约束条件则该校招聘的教师人数最多是

名.参考答案：10；三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）向量，，设函数，（，且为常数）

（1）若为任意实数，求的最小正周期；（2）若在上的最大值与最小值之和为，求的值.参考答案：19.选修4﹣4：坐标系与参数方程极坐标系与直角坐标系xOy有相同的长度单位，以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴．已知直线l的参数方程为，（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ．（Ⅰ）求C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于A、B两点，求弦长|AB|．参考答案：【考点】直线的参数方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】直线与圆．【分析】（I）利用极坐标与直角坐标的互化公式即可得出．（2）把直线l的参数方程代入抛物线C的方程，利用参数的几何意义即可得出．【解答】解：（I）由曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=8cosθ，得ρ2sin2θ=8ρcosθ．∴y2=8x即为C的直角坐标方程；（II）把直线l的参数方程，（t为参数），代入抛物线C的方程，整理为3t2﹣16t﹣64=0，∴，．∴|AB|=|t1﹣t2|==．【点评】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、直线与抛物线相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、直线参数方程的参数的几何意义等是解题的关键．20.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲．如图，是⊙的直径，弦的延长线相交于点，垂直的延长线于点．求证：（1）；（2）四点共圆．参考答案：（1）， ……5分（2）是⊙的直径，所以，取BE的中点为M，，，，四点与点M等距，四点共圆

……10分21.已知函数f（x）=+bx（a≠0），g（x）=1+lnx．（Ⅰ）若b=1，且F（x）=g（x）﹣f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围；（Ⅱ）设函数g（x）的图象C1与函数f（x）的图象C2交于点M、N，过线段MN的中点T作x轴的垂线分别交C1、C2于点P、Q，是否存在点T，使C1在点P处的切线与C2在点Q处的切线平行？如果存在，求出点T的横坐标，如果不存在，说明理由．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）先求函数F（x）的解析式，因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，求出a的取值范围；（Ⅱ）利用反证法证明设点P、Q的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2．假设C1在点M处的切线与C2在点N处的切线平行．求出函数的导数，求得切线的斜率，通过构造函数，求导数判断单调性，结论即可得证【解答】解：（Ⅰ）b=1时，函数F（x）=g（x）﹣f（x）=1+lnx﹣﹣x，x＞0，则F′（x）=﹣ax﹣1=﹣因为函数F（x）存在单调递减区间，所以F'（x）＜0有解，即ax2+x﹣1＞0，有x＞0的解．①a＞0时，y=ax2+x﹣1为开口向上的抛物线，y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0有解；②a＜0时，y=ax2+x﹣1为开口向下的抛物线，而y=ax2+x﹣1＞0总有x＞0的解；则△=1+4a＞0，且方程y=ax2+2x﹣1=0至少有一个正根，此时，．综上所述，a的取值范围为（﹣，0）∪（0，+∞）；（Ⅱ）设点M、N的坐标是（x1，y1），（x2，y2），0＜x1＜x2，则点P、Q的横坐标为，C1点在P处的切线斜率为，C2点Q处的切线斜率为假设C1点P处的切线与C2在点Q处的切线平行，则k1=k2即，则∴．设，则①令．则因为t＞1时，r'（t）＞0，