小题压轴题专练21-立体几何（二面角2）-2022届高三数学一轮复习

小题压轴题专练21—二面角2一．单选题1．如图在一个的二面角的棱上有两点，，线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为A． B．2 C． D．62．过正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面夹角的余弦值为A． B． C． D．3．正方体中，点，分别为棱，上的点（不包含端点），设二面角的平面角为，若，则的取值范围为A． B． C． D．4．在四面体中，，，，，，则二面角的平面角的大小为A． B． C． D．5．所有棱长都为的正四面体的一个面与某四棱体的一个面重合后，得到一个三棱柱，则该四棱体侧面与底面所成二面角的余弦值是A． B． C． D．6．如图，锐二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，，，锐二面角的平面角的余弦值是A． B． C． D．7．如图，在大小为的二面角中，四边形，四边形都是边长为1的正方形，则，两点间的距离是A． B．2 C．1 D．8．若将正方形沿对角线折成直二面角，则下列结论错误的为A．与平面所成角的正弦值为 B．平面与平面所成角的正切值是 C．与所成的角为 D．与所成的角为二．多选题9．如图所示，从一个半径为（单位：m）的圆形纸板中切割出一块中间是正方形，四周是四个正三角形的纸板，以此为表面（舍弃阴影部分）折叠成一个正四棱锥P﹣ABCD，则以下说法正确的是（）A．四棱锥P﹣ABCD的体积是m3 B．四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积是8πm2 C．异面直线PA与CD所成角的大小为60° D．二面角A﹣PB﹣C所成角的余弦值为10．如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，，，底面，则A．平面 B．直线与底面所成的角为 C．平面与平面夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为11．如图（1）是一副直角三角板．现将两个三角板沿它们的公共边翻折成图（2）的四面体，设，与面所成角分别为，在翻折的过程中，下列叙述正确的是A．存在某个位置使得 B．若，当二面角时，则 C．当在面的射影在三角形的内部（不含边界），则 D．异面直线与所成角小于12．已知正方体的棱长为1，为棱上的动点，下列正确的是A． B．二面角的大小为 C．三棱锥的体积为定值 D．若平面，则直线与平面所成角的正弦值的取值范围为三．填空题13．在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为，，和，2，，则这个二面角的余弦值为．14．已知，为二面角棱上不同两点，，分别在半平面，内，，，，若直线与所成角的余弦值为，则二面角的大小为．15．已知正方形的边长为4，，分别为，的中点，以为棱将正方形折成如图所示的的二面角，点在线段上．直线与平面所成的角为，则面与面夹角余弦值为．16．如图，在正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（填序号）①异面直线与所成角的余弦值为；②平面；③直线与平面所成角的正弦值为；④二面角的余弦值为．

小题压轴题专练21—二面角2答案1．解：因为，所以，因为线段，分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，又，，，所以，则．故选：．2．解：由题意，将几何体补形为正方体，如图所示，则为平面与平面的交线，因为平面，又，平面，所以，，则为平面与平面所成的角，因为，，故，则，所以平面与平面夹角的余弦值为．故选：．3．解：设正方体，棱长为，设，，因为，所以为二面角的平面角，所以，所以，则，即，所以，所以，，故选：．4．解：二面角的平面角的大小等于与所成角的大小，因为，所以，，因为，，，所以，解得，所以所成的角为，故二面角的平面角的大小为．故选：．5．解：由题意可知，一个三棱柱可被一个平面切成一个三棱锥与一个四棱锥，由题意可得，该四棱锥为所有棱长均为的正四棱锥，如图所示，连接，交于点，连接，则平面，取的中点，连接，，由三垂线定理可知，是侧面与底面所成的二面角的平面角，则，，所以，则该四棱体侧面与底面所成二面角的余弦值是．故选：．6．解：过点作，且，连接，，，，，，为二面角的平面角，且平面，，则，，，，．故选：．7．解：依题意，，，，．故选：．8．解：取的中点，连接，，若将正方形沿对角线折成直二面角，则，，，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，则，0，，，，，，0，，，1，，故，所以，则与所成的角为，故选项错误；因为，所以，则，所以与所成的角为，故选项正确；设平面的一个法向量为，则，令，则，故，又，所以，则与平面所成角的正弦值为，故选项正确；因为平面的一个法向量为，又，，设平面的法向量为，则，令，则，，故，所以，设平面与平面所成角为，则，，所以平面与平面所成角的正切值是，故选：．9．解：设正方形边长为x，则由如图1知MN＝x+2•x•sin60°＝x（+1），又因为MN＝2•，所以x（+1）＝2•，解得x＝2，对于A，因为PO⊥平面ABCD，所PO⊥OA，因为OA＝，PA＝2，所以PO＝＝，所以，所以A错；对于B，因为OA＝OB＝OC＝OD＝OP＝，所以四棱锥P﹣ABCD的外接球的半径为，所以四棱锥P﹣ABCD的外接球的表面积为4＝8π（m2），所以B对；对于C，因为AB∥CD，所以异面直线PA与CD所成角等于∠PBA，又因为△PAB为正三角形，所以∠PBA＝60°，所以C对；对于D，取PB中点Q连接AQ，CQ，则PB⊥AQ，PB⊥CQ，所以二面角A﹣PB﹣C的平面角为∠AQC，cos∠AQC＝＝，所以D对．故选：BCD．10．解：如图，因为底面，且平面，则，在等腰梯形中，过点作于点，因为，，，则，，，故，所以，则，又，，平面，所以平面，故选项正确；由选项可知，，，两两垂直，因为平面，所以，故直线与底面所成的角为，故选项正确；以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则，所以，设平面的法向量为，则，即，令，则，故，又为平面的一个法向量，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为，故选项正确；点到平面的距离为，故选项错误．故选：．11．解：对于，过作，连接，，又，，四边形为矩形，则，在中，，即不存在某个位置使得，即不存在，故选项错误；对于，取中点，中点，连接，，，则，在等腰中，，，又，则，则即为二面角的平面角，即，在中，，则，在中，，解得，在中，，在中，，解得，故选项正确．对于，当点在平面的射影在线段上，设射影点为，连接，，在中，有，又，则，则，故选项正确；对于，，与所成角即为与所成角，又，当平面平面时，与所成角最大，设，则，，在中，，故，在中，，则，存在有异面直线与所成角大于，故选项错误．故选：．12．解：对于，如图1，易得面，由面，可得，故正确；对于，如图2，易得，取中点，连接，，可得，，为二面角的平面角，在△中，，，，故错；对于，为棱上的动点，到面的距离为定值，故三棱锥的体积为定值，故正确；对于，如图3建立空间直角坐标系，则，1，，设，0，，，平面，平面的法向量为，，，则直线与平面所成角的正弦值为，，故错．故选：．13．解：在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为，，，，2，，两向量的夹角的余弦值为，这个二面角的余弦值为．故答案为：．14．解：在内，过点作，且，连接，则四边形为矩形，可得，，由，，得为二面角的平面角，设，则，又直线与所成角的余弦值为，，得，则，为等边三角形，且，故二面角的大小为．故答案为：．15．解：由已知得，，，，平面，又平面，平面平面，取的中点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，设，，，则，设平面的法向量为，则，则可取，由与平面所成的角为，则，，解得或，均有直线与平面所成的角为，取的中点，则为平面的法向量，，，设平面与平面的夹角为，则，当时，，当时，，平面与平面夹角的余弦值为．故答案为：．16．解：如图，以为坐标原点，分别以、、所在