2024年浙教版数学八年级下册5.3正方形课后提高练

2024年浙教版数学八年级下册5.3正方形课后提高练一、填空题1．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB至点E，使AE=AC，连结CE，则∠BCE的度数为°.2．如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O₁，O₂是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别为AO，DO上的一点，且EF∥AD，连结AF，DE．若∠FAC=15°，则∠AED的度数为4．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是由我国古代数学家赵爽的“弦图”演变而来，体现了数学研究中的继承和发展.如图是用八个全等的直角三角形拼接而成的“弦图”.记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH的边长为10二、解答题5．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．（1）求证：四边形AEDF是菱形；（2）若∠B=35°，当∠C=▲度时，四边形AEDF为正方形并证明．6．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC边上的一点，BE=1，F为AB的中点.若P为对角线AC上的一个动点，求PF+PE的最小值.7．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，过点B作BF∥EC，交AD的延长线于点F，连结BE，CF.（1）求证：△BDF≌△CDE.（2）当ED与BC满足什么数量关系时，四边形BECF是正方形?请说明理由.三、选择题8．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（）A．当∠ABC=90°时，▱ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，▱ABCD是菱形C．当▱ABCD是正方形时，AC=BDD．当▱ABCD是菱形时，AB=AC9．四边形具有不稳定性，对于四条边长确定的四边形，当内角度数发生变化时，其形状也会随之改变.如图，改变正方形ABCD的内角，正方形ABCD变为菱形ABC'D'，若A．1 B．12 C．22 10．有下列四个命题：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形；②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；③矩形的对角线平分一组对角；④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形.其中真命题是（）A．②③④ B．②④ C．①② D．①11．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）A．AB B．DG C．BD D．AF12．如图，在平面直角坐标系中，点C位于第一象限，点B位于第四象限，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，则点B的纵坐标为（）A．-2 B．−C．−12 13．如图，在边长为43的正方形ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF，则AF的长为（）A．4−23 B．23−4 C．4−414．如图，M是正方形ABCD内的一点，且MC=MD=AD，则∠AMB的度数为（）

A．120° B．135° C．145° D．15015．如图，在甲、乙两个大小不同的6×6的正方形网格中，正方形ABCD，EFGH分别在两个网格上，且各顶点均在网格线的交点上．若正方形ABCD，EFGH的面积相等，甲、乙两个正方形网格的面积分别记为S甲，S①正方形ABCD的面积等于S甲的一半；②正方形EFGH的面积等于S乙的一半；③上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②③ C．③ D．①②③

答案解析部分1．答案:22.5解析：解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ACB=∠CAB=45°，

∵AC=AE，

∴∠ACE=∠E=12（180°-45°）=67.5，

∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=67.5°-45°=22.5°.

故答案为：22.5°.

2．答案:2解析：解：连接O1C，O1B，

由正方形的性质得：∠GO1F=∠CO1B=90°，O1C=O1B，∠GCO1=∠O1BF=45°，

∴∠GO1C=∠FO1B，

∴△GCO1≌△O1BF（ASA）

∴S△GCO1=S△O1BF

∴O₁，O₂两个正方形阴影部分的面积=△CO1B的面积=14正方形的面积=14×2×2=1，

同理另外一个阴影部分的面积=14正方形的面积=14×2×2=1，

∴阴影部分的面积=1+1=2.

故答案为：2.

分析：连接O1C，O1B，由正方形的性质得∠GO1F=∠CO1B=90°，O1C=O1B，∠GCO1=∠O1BF=45°，由同角的余角相等得∠GO1C=∠FO1B，从而用ASA可证△GCO1≌△O1BF，可得O₁，O₂两个正方形阴影部分的面积=△CO1B的面积=13．答案:105解析：解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠OAD=∠ODA=45°，OA=OD，

∵EF∥AD，

∴∠OEF=∠OAD=∠ODA=∠OFE，

∴OE=OF，∠AEF=∠DFE，

∴AE=DF，

∵EF=EF，

∴△AEF≅△DFESAS，

∴∠EDF=∠FAE=15°，

∴∠ADE=∠ODA−∠EDF=30°，

∴∠AED=180°−∠OAD−∠ADE=105°.

故答案为：105.

分析：利用正方形的性质可得OA=OD，再通过平行线的性质亦可证得OE=OF，进而得到AE=DF，通过SAS即可判定△AEF≅△DFE求得∠EDA的度数，然后利用三角形的内角和定理计算出∠AED4．答案:30解析：解：在Rt△CFG中，由勾股定理得：CG∵八个直角三角形全等，四边形ABCD，四边形EFGH，四边形MNKT是正方形，∴CG=FM=NG，CF=FN=DG，∴=C=C=GFS2S3=F=C=GF∵正方形EFGH的边长为10，∴GF∴S故答案为：30．分析：在Rt△CFG中，由勾股定理得CG2+CF2=GF2=10，由全等三角形的性质得CG=FM=NG，CF=FN=DG，由正方形面积公式得S1=CG2+CF2+2CG⋅DG，S25．答案:（1）证明：∵DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F．

∴四边形AEDF是平行四边形，∠EAD=∠ADF，

∵AD是△ABC的一条角平分线，

∴∠EAD=∠FAD，

∴∠ADF=∠FAD，

∴FA=FD，

∴四边形AEDF是菱形；（2）解：当△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，此时∠C=55°，四边形AEDF是正方形，

理由：∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，

由（1）可得四边形AEDF是菱形，

∴四边形AEDF是正方形，

∵∠B=35°，∠BAC=90°，

∴∠C=55°，

故答案为：55°.解析：（1）先利用角平分线的定义及等量代换可得∠ADF=∠FAD，利用等角对等边的性质可得FA=FD，再结合四边形AEDF是平行四边形，可得四边形AEDF是菱形；

（2）根据△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，四边形AEDF是菱形，可得四边形AEDF是正方形，再结合∠B=35°，∠BAC=90°，求出∠C=55°即可.6．答案:解：作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′H⊥AB于点H，E′F交AC于点P，连接PE，

∴∠AHE′=90°，

∵正方形ABCD，

∴AC是正方形的对称轴，

∴点E的对称点E′在CD上，PE=PE′，CE=CE′，∠D=∠DAH=90°，

∴PE+PF=PE′+PF=E′F，

∴DE′=BE，

根据垂线段最短，可知此时PE+PF的最小值是E′F的长；

∵∠D=∠DAH=∠AHE′=90°，

∴四边形AHE′D是矩形，

∴AH=DE′=BE=1，AD=HE′=4

∵点F为AB的中点，

∴AF=12AB=2，

∴HF=AF-AH=2-1=1，

在Rt△E′HF中

E'F=HF2+HE'2=1解析：作点E关于AC的对称点E′，过点E′作E′H⊥AB于点H，E′F交AC于点P，连接PE，利用正方形的性质可证AC是正方形的对称轴，利用轴对称的性质可证PE=PE′，CE=CE′，由此可推出PE+PF的最小值是E′F的长；利用矩形的判定和性质可推出AH=DE′=BE=1，AD=HE′=4，同时可求出AF的长，足球初HF的长；在Rt△E′HF中，利用勾股定理求出E′F的长，即可得到PF+PE的最小值.7．答案:（1）证明：∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，

∵BF∥EC，

∴∠ECD=∠DBF，

∵∠BDF=∠EDC，

∴△BDF≌△CDE（ASA）；（2）解：当DE=12BC时，四边形BECF是正方形.

理由：∵△BDF≌△CDE

∴DE=DF，BF=CE，

∵BF∥EC

∴四边形BECF是平行四边形，

∵AB=AC，AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴四边形BECF是菱形，

∵DE=12BC，DE=DF=解析：（1）根据ASA证明△BDF≌△CDE；（2）先证四边形BECF是平行四边形，由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，可证四边形BECF是菱形，由DE=8．答案:D解析：A、∵四边形ABCD是平行四边形，当∠ABC=90°时，∴▱ABCD是矩形，∴A正确，不符合题意；

B、∵四边形ABCD是平行四边形，当AC⊥BD时，∴▱ABCD是菱形，∴B正确，不符合题意；

C、∵当▱ABCD是正方形时，AC=BD，∴C正确，不符合题意；

D、∵当▱ABCD是菱形时，无法证出AB=AC，∴D不正确，符合题意；

故答案为：D.

分析：利用矩形的判定方法、菱形的判定和性质及正方形的性质逐项分析判断即可.9．答案:B解析：解：如图所示，过点D′作D′M⊥AB于点M，∵∠D'AB=30°，

∴D'M=12A'D，

∵四边形ABC′D′是菱形，

∴AD′=AB，

∴S菱形ABC′D′=AB×D′M=AB×12A'D=AB×12AB=12AB2，

∵S正方形ABCD=AB210．答案:D解析：解：①一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，是真命题；

②对角线互相垂直且相等的四边形是正方形，是假命题，对角线互相垂直平分且相等的四边形才是正方形；

③矩形的对角线平分一组对角，是假命题，正方形和菱形的每一条对角线才平分一组对角；

④正五边形既是轴对称图形又是中心对称图形，是假命题，正五边形是轴对称图形不是中心对称图形.

故答案为：D.

分析：根据平行四边形、正方形的判定，矩形的性质及轴对称图形，逐项判断即可得解.11．答案:D解析：解：如图：

取CD中点H，并连接PH.

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC=CD=AD，BD平分∠ADC，∠ABC=∠ADC=90°.

∴∠ADB=∠CDB.

∵E，F分别为AD，BC的中点，

∴DE=12AD，DH=12CD，BF=12BC，

∴DE=DH=BF.

∴△ABF≌△ADH（SAS），

∴AF=AH.

又∵DP=DP，

∴△DEP≌△DHP（SAS），

∴EP=HP.

∴AP+EP=AP+HP≥AH，12．答案:B解析：解：如图，过点B作BD⊥x轴于点D，连接OB，

∵四边形OABC是边长为1的正方形，

∴∠BOC=45°，∠C=90°，

∴OB=BC2+OC2=2，

∵∠BOC=45°，∠COD=15°，

∴∠BOD=∠BOC-∠COD=30°，

∵BD⊥x轴，

∴∠BDO=90°，

∴BD=12OB=22，即点B的纵坐标的绝对值为2213．答案:D解析：解：∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=BC=AB=43，∠BCD=∠B=90°，

∵DE⊥CF，

∴∠CDE+∠DCO=∠DCO+∠FCB=90°，

∴∠FCB=∠CDE=30°，

∴BC=3BF=43，

∴BF=4，

∴AF=AB-BF=43-4.

故答案为：D.

分析：根据余角的性质可推出∠FCB=∠CDE=30°，从而得出BC=314．答案:D解析：解：在正方形ABCD中，AD=CD，∠ADC=∠BAD=90°，

∵MC=MD=AD，

∴MC=MD=CD，

∴△MCD是等边三角形，

∴∠CDM=∠DMC=60°，

∴∠ADM=∠ADC-∠CDM=30°，

∵MD=AD，

∴∠DMA=∠DAM=12（180°-30°）=75°，

同理可得：∠CMB=75°，

∴∠AMB=360°-