2024年衡阳市高三数学4月考前仿真模拟联考试卷附答案解析

2024年衡阳市高三数学4月考前仿真模拟联考试卷时间120分钟满分150分2024.04注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合，则（

）A． B． C． D．2．已知复数为虚数单位的共轭复数为，则“为纯虚数”的充分必要条件为（

）A．B．C． D．3．已知非零向量满足，若，则实数的值为（

）A．1或 B．2或 C．1或2 D．或24．已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．5．已知是两条不同的直线，是三个不同的平面.下列说法中正确的是（

）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则6．已知椭圆的左､右焦点为是椭圆上一动点，直线经过的定点为，则的最大值为（

）A． B．2 C． D．67．将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，2本语文书不相邻的概率为（

）A． B． C． D．8．如图，已知是圆上一点，，则的正切值的最大值为（

）A．1 B． C． D．2二､多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9．中国雪乡哈尔滨的看雪最佳时间在11月中旬到次年的2月上旬，某旅游公司设计了一款冰雪文创产品.试营销以来，这款冰雪文创产品定价（单位：元）与销量（单位：万件）的数据如下表所示：产品定价（单位：元）99.51010.511销量（单位：万件）1110865则下列结论正确的是（

）参考公式：.参考数据：，，，.A．产品定价的平均值是10元B．产品定价与销量存在正相关关系C．产品定价与销量满足一元线性回归模型D．产品定价与销量的相关系数10．已知抛物线过点，其焦点为，过点作两条互相垂直的直线，直线与抛物线相交于两点，直线与相交于两点（如图所示），则下列结论正确的是（

）A．抛物线的方程为B．抛物线的准线方程为C．和面积之和的最小值为7D．和面积之和的最小值为811．已知定义在实数集上的函数的图象关于点中心对称，函数，且函数在上单调递减，函数的导函数分别是，则下列结论正确的是（

）A．函数的图象关于直线对称B．的图象关于点对称C．若，则D．三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）12．已知函数图象过点，则；若函数的图象关于点中心对称，则.13．如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，则该几何体的体积为.

14．已知数列的前项和为，且.若，则的最小值为.四､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）15．在三角形中，角所对的边长分别为，且.(1)证明：；(2)若，，求三角形的面积.16．如图，在圆锥中，是圆锥的顶点，是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，是圆锥母线的中点，.

(1)求证：平面平面；(2)设点在线段上，且，求直线与平面所成角的正弦值.17．已知双曲线的右顶点为，双曲线的左､右焦点分别为，且，双曲线的一条渐近线方程为.(1)求双曲线的标准方程；(2)已知过点的直线与双曲线右支交于两点，点在线段上，若存在实数且，使得，证明：直线的斜率为定值.18．某电竞平台开发了两款训练手脑协同能力的游戏，款游戏规则是：五关竞击有奖闯关，每位玩家上一关通过才能进入下一关，上一关没有通过则不能进入下一关，且每关第一次没有通过都有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败，各关和同一关的两次挑战能否通过相互独立，竞击的五关分别依据其难度赋分.款游戏规则是：共设计了（且关，每位玩家都有次闯关机会，每关闯关成功的概率为，不成功的概率为，每关闯关成功与否相互独立；第1次闯关时，若闯关成功则得10分，否则得5分.从第2次闯关开始，若闯关成功则获得上一次闯关得分的两倍，否则得5分.电竞游戏玩家甲先后玩两款游戏.(1)电竞游戏玩家甲玩款游戏，若第一关通过的概率为，第二关通过的概率为，求甲可以进入第三关的概率；(2)电竞游戏玩家甲玩款游戏，记玩家甲第次闯关获得的分数为，求关于的解析式，并求的值.（精确到0.1，参考数据：.）19．已知函数在点处的切线与直线垂直.(1)求实数的值；(2)求函数在区间的最大值和最小值；(3)证明：.答案解析1．B【分析】根据一元二次不等式的解法解集合A，结合交集的概念与运算即可求解.【详解】因为，又，所以.故选：B.2．D【分析】根据复数的乘法运算化简复数，再由共轭复数和纯虚数的定义即可求解.【详解】因为，由为纯虚数，即且，即且.故选：D.3．A【分析】由平面向量数量积的运算和垂直表示计算可得结果.【详解】由，故选：A.4．D【分析】利用复合函数的单调性求解即可.【详解】令函数，该函数在上单调递增，在上单调递减.当时，要使在上单调递增，则在上单调递增，且时，，故，解得.故选：D5．D【分析】由线线，线面，面面之间的关系逐项判断即可.【详解】对于选项：若，则与平行或相交，故A不正确；对于选项B：若，则与可平行､异面或相交，故B不正确；对于选项C：若，则或，故C不正确；对于选项D：若，则，又，则，即D正确.故选：D.6．B【分析】由直线经过定点，结合椭圆的定义由求解.【详解】由椭圆得，因为点为椭圆上的点，则，直线经过定点，则，当且仅当在线段上时取等号，所以的最大值为2.故选：B.7．A【分析】先计算6本相同的数学书和2本相同的语文书摆放的种数，再用插空法计算2本语文书不相邻的摆放种数，用古典概型概率的计算公式计算即可.【详解】依题意，将6本相同的数学书和2本相同的语文书随机排成一排，即从8个空位中选2个位置放语文书，剩余6个位置放数学书，摆放种数为：种；利用插空法，6本数学书之间共有7个位置可以放2本语文书，摆放种数为：种，由古典概型概率的计算公式得：.故选：A.8．A【分析】根据圆心角与圆周角的关系可得最大，则最大，即可利用两圆外切时，求解圆心，利用三点共线，即可求解角度.【详解】设过三点的圆的圆心为，且，由于，故最大，则最大，只需要圆与圆相切于点时，最大，则有或（舍去），，所以,易知此时四点共线，此时进而，故，故选：A.9．ACD【分析】计算出可得A；计算出后可得B、C、D.【详解】由题可得，故A正确；而.由于与的相关系数近似为，故与的线性相关性很强，从而可以用线性回归模型拟合与的关系，同时，与为负相关，故B错误，C、D正确.故选：ACD.10．AD【分析】由题意求得抛物线的方程为，即可判断AB；设、和直线的方程，联立抛物线方程，利用韦达定理与两直线的位置关系可得、，进而表示两个三角形面积之和，结合基本不等式计算即可求解.【详解】A：将点代入，得，解得，所以抛物线的方程为，故A正确；B：由知，抛物线的准线方程为，故B错误；C：易知两直线斜率均存在且不为0，设，直线的方程为，联立即①，所以，设，由已知直线的斜率为，代入①中，得，所以和面积之和为，当且仅当，且时等号成立，所以和面积之和的最小值为8，故C正确；D：由选项C的分析知，和面积之和的最小值为8，故D正确.故选：AD.11．ACD【分析】选项A，验证等式是否成立即可；选项B，验证等式是否成立即可；选项C，由等式出发，证明成立即可；选项D，构造函数，借助其单调性证明不等式即可.【详解】对于选项A，因为函数的图象关于点中心对称，所以，两边求导数得：，成立，所以函数的图象关于直线对称.故选项A正确；对于选项B，因为函数，则，用替换，得：，故的图象关于直线对称，故选项B错误；对于选项C，接上个选项解析中，两边求导得：则，即，将代入，得：，故选项C正确；对于选项D，因为的图象关于直线对称，所以，设，则，又设，则有，从而在上单调递增，则，即在上单调递增，，故有恒成立，则，又因在上单调递减，则在上单调递增，又，故，即：，故选项D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查抽象函数的对称性以及应用导数证明不等式，注意赋值法的使用，属于难题.抽象函数的对称性主要有两种形式：（1）若成立，函数的对称轴为；（2）若成立，函数的对称中心为.12．【分析】由可得，对称中心，即可求得，从而知函数的解析式.【详解】因为点在的图象上，所以，又，所以.因为图象的一个对称中心是，所以，则.又，所以，故.故答案为：；13．##【分析】如图，根据面面垂直的判定定理可得平面平面，由面面垂直的性质可得平面，结合棱柱与棱锥的体积公式计算即可求解.【详解】设分别为的中点，连接，因为，所以，且，又平面，所以平面，由平面，得平面平面，由，所以，设中点为，连接，则，又平面平面，平面，所以平面.又，所以.故几何体的体积为.故答案为：

14．7【分析】降次作差得，构造数列，求出，则得到，作差构造新数列，再证明其单调性即可得到答案.【详解】因为，两式相减得：，即.两边同除以可得，又，得，满足，所以数列是首项为，公差为的等差数列，故，即，所以，因为，令，则，所以数列单调递增，因为，所以当时，，即；当7时，，即.所以的最小值为7.故答案为：7.【点睛】关键点点睛：本题的关键首先是作差得到，然后是构造等差数列，从而得到，最后作差并结合数列的单调性即可.15．(1)证明见解析；(2).【分析】（1）利用二倍角公式可得，再由正弦定理计算可得；（2）首先求出、，再由余弦定理求出，最后由面积公式计算可得.【详解】（1）因为，因为，则，所以，由正弦定理得；（2）由（1）有，又，可得，又，由余弦定理可得，又，所以，所以的面积.16．(1)证明见解析(2)【分析】（1）借助圆锥的性质及面面垂直的判定定理计算即可得；（2）建立适当空间直角坐标系，借助空间向量计算即可得.【详解】（1）如图，设交于点，连接，在圆锥中，底面圆，所以，又等边三角形是圆锥底面圆的内接三角形，为直径，所以，所以，所以，可知，即是的中点，又是母线的中点，所以，所以平面，又平面，所以平面平面；

（2）由（1）平面，以点为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

在等腰三角形中，又，所以，所以，，设平面的法向量为，则，即，令，则，即，设直线与平面所成的角为，则.17．(1)(2)证明见解析.【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程可得，结合计算即可求解；（2）设，，由，根据平面向量线性运算的坐标表示可得、，进而，进而求解.【详解】（1）设双曲线的半焦距为，由，得，即，所以，又双曲线的一条渐近线方程为，所以，解得，故双曲线的方程为.（2）设直线与双曲线交于，点，因为存在实数且，使得，所以，，整理得：①，②，得③，同理④，⑤，得⑥，由于双曲线上的点的坐标满足，③-⑥得，即，又，所以，表示点在直线上，又也在直线上，所以直线的斜率为（定值）.【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．18．(1)；(2)，9.80【分析】（1）利用独立事件的乘法公式，结合甲闯关的可能情况求解即可；（2）由期望关系可得，列出分布列，构造等比数列，求出即可.【详解】（1）记事件表示第次通过第一关，事件表示第次通过第二关，设甲可以进入第三关的概率为，由题意知.（2）依题意得，所以，，又随机变量的可能取值为10，5，其分布列为105所以，得，所以为等比数列.其中首项为，公比为.所以，即.所以.19．(1)；(2)，；(3)证明见解析.【分析】（1）由导数的几何意义和直线垂直的充要条件求解；（2）由（1）求得极值和端点值可解；（3）由，得在上恒成立,令，利用导数求函数的最小值，即可得证.【详解】（1）由，得，所以，因为函数在点处的切线与直线垂直，所以，所以.（2）由（1）得，所以，当时，单调递减，当时，单调递增，所以，.（3）由，得在上恒成立.令，可得，令，可得，当时，，所以在单调递减，当时，在单调递增.又，，所以在中存在唯一的使得，在中存在唯一的使得，即有.因为在单调递减，在单调递增，所以当时，；当时，；当时，；当时，.又，所以当时，；当时，；当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，在单调