【数学】山西省忻州市2022-2023学年高二下学期期中联考试题（解析版）

山西省忻州市2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册占30%，选择性必修第三册第六、七章占70%.一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.甲工厂有80名工人，乙工厂有60名工人，丙工厂有70名工人，现从中选取1人参加技术培训，则不同的选法有（）A.180种 B.210种 C.240种 D.270种【答案】B【解析】依题意可知，不同的选法有种.故选：B2.已知等比数列满足，，则（）A.1 B.2 C. D.【答案】C【解析】因为，所以，设的公比为，则，则，负值舍去，故.故选：C3.已知，且，则（）A.0.3 B.0.4 C.0.7 D.0.8【答案】C【解析】由题设，，则，所以.故选：C4.某同学求得的一个离散型随机变量的分布列为（）X123P0.2mn若，则（）A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4【答案】B【解析】由题意可得，，即，所以.故选：B5.某五面体木块的直观图如图所示，现准备给其5个面涂色，每个面涂一种颜色，且相邻两个面所涂颜色不能相同.若有6种不同颜色的颜料可供选择，则不同的涂色方案有（）A.1080种 B.720种 C.660种 D.600种【答案】A【解析】若使用五种颜色，即每个面一种颜色，则有种方案；若使用四种颜色，即面AED与面FBC同色，则有种方案.故不同涂色方案有720+360=1080种.故选：A6.已知直线与函数，的图像分别交于A，B两点，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设，则，当时，，当，，所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以当时，取得最小值，所以的最小值为，故选：D.7.甲、乙两艘潜艇同时对军舰进行射击，两艘潜艇击中军舰的概率分别为0.6，0.7.军舰被一艘潜艇击中就被击沉的概率为0.3，被两艘潜艇击中就被击沉的概率为0.5，则军舰被击沉的概率为（）A.0.517 B.0.42 C.0.46 D.0.348【答案】D【解析】设A表示“军舰被击沉”，事件表示“军舰被i艘潜艇击中”（）.，，.故选：D8.“杨辉三角”是中国古代数学家杨辉杰出的研究成果之一．如图，从杨辉三角的左腰上的各数出发，引一组平行线，则在第12条斜线上，最大的数是（）A.35 B.36 C.56 D.70【答案】C【解析】杨辉三角第8行的数据为：172135352171，第9行数据为：18285670562881，第10行的数据为：193684126126843691，第11行的部分数据为：11045……，第12条斜线上的数为：1103656356，所以最大的数是56.故选：C.二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.在某次数学测试中，学生的成绩，则（）A. B.若越大，则越大C. D.【答案】AC【解析】因为，所以，A正确；当时，，当时，，B不正确；因为，所以，C正确；根据正态曲线的对称性，D不正确.故选：AC.10.由数字0，1，2，3组成一个没有重复数字的四位数，下列结论正确的是（）A.可以组成18个不同的数B.可以组成8个奇数C.可以组成12个偶数D.若数字1和2相邻，则可以组成8个不同的数【答案】ABD【解析】A：千位的选法有，其它三位任意排有，故组成不同的数有个，正确；B：奇数个数：先把1或3安排到个位有种，则千位有种，其它数位有种，共有个，正确；C：由B知：偶数有个，错误；D：当千位为3，将1和2全排有种，作为整体与0全排有种，则有个；当千位、百位为1和2有种，再将0和3作全排有种，则有个；所以可以组成8个不同的数，正确.故选：ABD11.甲箱中有3个红球，2个白球和2个黑球，乙箱中有2个红球，3个白球和3个黑球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别以，和表示从甲箱中取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙箱中随机取出一球，以表示从乙箱中取出的球是红球的事件，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因为，，，若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，故A正确；若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，若发生，则乙箱中有个红球，个白球和个黑球，所以，所以，故B正确；因为，所以，所以，故C错误；，故D正确；故选：ABD12.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，图1是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为的正四棱柱构成，在其直观图中建立如图2所示的空间直角坐标系，则（）A.B.点的坐标为C.O，E，F，A四点共面D.直线CE与直线DG所成角的余弦值为【答案】BCD【解析】由题意正方形的对角线，则，则，故A错误；因为，则，故B正确；对于C，，则，所以，又为三个向量的公共起点，所以O，E，F，A四点共面，故C正确；由，得，则，则，所以直线CE与直线DG所成角的余弦值为，故D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.抛物线上的点到焦点的距离为，则______.【答案】【解析】抛物线的准线方程为，由抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离为，解得.故答案为：.14.已知展开式的二项式系数和为512，则n＝______；展开式中的系数为______．【答案】①②【解析】因为二项式展开式的二项式系数和为，由二项展开式的二项式系数的性质，可得，解得，又由展开式的通项为，令，可得，所以展开式中的系数为.故答案为：9；.15.2023年2月6日，土耳其发生7.8级地震，我国在第一时间派出救援队进行救援.已知某救援队共有8人，根据救灾安排，该救援队需要安排救援人员到三个地区实施救援，每个地区至少安排2人，每人只去一个地区，则共有_____种安排方案.【答案】2940【解析】人数分配有2，2，4和3，3，2两种情形，所以共有种安排方案.故答案：294016.已知函数有两个极值点（），且，，则______.【答案】【解析】由，得，，，可得.因为，，所以两式作差得，即，因为，所以，故方程两边同除以得，则，所以，解得.故答案为：．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设等差数列的前n项和为，已知，是公差为的等差数列.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.解：（1）因为是公差为的等差数列，所以.又因为，所以.设的公差为d，则.故.（2）因为，所以.18.A，B，C，D，E这5个家庭的子女人数如下表所示：ABCDE男孩01011女孩00112（1）若从这些子女中随机选一人，已知选到的是女孩，求该女孩来自E家庭的概率；（2）若从这5个家庭中任选3个家庭，记女孩比男孩多的家庭数为X，求X的分布列及期望.解：（1）由题设，表示选到女孩，表示选到对应家庭的孩子，所以，，，由，则.所以选到的是女孩，求该女孩来自E家庭的概率.（2）由题意，5个家庭中任选3个家庭有，对应女孩比男孩多的家庭数为，所以取值可能为，且，故的分布列为012所以.19.从1，2，3，4，5，6中任取5个数字，随机填入如图所示的5个空格中.（1）若填入5个数字中有1和2，且1和2不能相邻，试问不同的填法有多少种？（2）若填入的5个数字中有1和3，且区域，，中有奇数，试问不同的填法有多少种？解：（1）首先从其它4个数中任选3个并作全排有种，3个数中共有4个空，将1和2插入其中两个空有种，所以共有种填法.（2）若区域，，中无奇数，则其它三个数只能为2、4、6且在区域，，上，所以，共有种，从2、4、5、6任选3个数有种，再把5个数全排有种，共有种，综上，填入的5个数字中有1和3且区域，，中有奇数，共有种.20.为贯彻落实《健康中国行动（2019—2030年）》《关于全面加强和改进新时代学校体育工作的意见》等文件精神，确保2030年学生体质达到规定要求，各地将认真做好学生的体制健康监测.某市决定对某中学学生的身体健康状况进行调查，现从该校抽取200名学生测量他们的体重，得到如下样本数据的频率分布直方图.（1）求这200名学生体重的平均数和方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）.（2）由频率分布直方图可知，该校学生的体重服从正态分布，其中μ近似为平均数，近似为方差.①利用该正态分布，求；②若从该校随机抽取50名学生，记表示这50名学生的体重位于区间内的人数，利用①的结果，求.参考数据：.若，则，，.解：（1）由题意得，；.所以这200名学生体重的平均数为60，方差为86；（2）①由（1）可知，，则；②由①可知1名学生的体重位于的概率为0.6826.则，所以.21.某单位组职员上进行排球娱乐比赛，比赛规则如下：比赛实行五局三胜制，任何一方率先赢下3局比赛时比赛结束，每一局比赛获胜方得2分，失败方得1分，甲，乙两队相互打比赛已知甲队每一局获胜的概率均为．（1）求甲、乙两队3局结束比赛的概率；（2）记比赛结束时甲队的得分为，求的分布列和期望．解：（1）根据题意可知，若甲、乙两队3局结束比赛，则甲赢三局或甲输三局，所以，故甲、乙两队3局结束比赛的概率为.（2）根据题意可知，的可能取值为，则，，，，，所以的分布列为则.22.已知函数.（1）若曲线在点处的切线方程为，求m，n；（2）若在上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围.解：（1）因为，所以，因为，所以，由，得．（2）因为，，所以，若，则，在上为增函数，所以在上只有一个零点，不合题意；当，设，，当时，，即在上单