2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题02常用逻辑用语学生版

专题02常用逻辑用语一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的含义.2.理解判定定理与充分条件的关系、性质定理与必要条件的关系.3.理解全称量词命题与存在量词命题的含义，能正确对两种命题进行否定.【考点预测】1.充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇒pp是q的必要不充分条件p⇒q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇒q且q⇒p2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示.(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示.3.全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，非p(x)∀x∈M，非p(x)【常用结论】1.区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且B⇒A)，与A的充分不必要条件是B(B⇒A且A⇒B)两者的不同.2.充要关系与集合的子集之间的关系，设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，(1)若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件.(2)若A是B的真子集，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件.(3)若A＝B，则p是q的充要条件.3.p是q的充分不必要条件，等价于非q是非p的充分不必要条件.4.含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”.5.对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定.6.命题p和非p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假.【方法技巧】1.充分条件、必要条件的两种判定方法：(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题.(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题.2.充分条件、必要条件的应用，一般表现在参数问题的求解上.解题时需注意(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解.(2)要注意区间端点值的检验.3.量词的否定注意事项(1)含量词命题的否定，一是要改写量词，二是要否定结论.(2)判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可.(3)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与非p的关系，转化成非p的真假求参数的范围.二、【题型归类】【题型一】充分、必要条件的判定【典例1】已知p：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x<1，q：log2x<0，则p是q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【典例2】等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【典例3】在△ABC中，“AB2＋BC2＝AC2”是“△ABC为直角三角形”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【题型二】由充分条件、必要条件求参数的范围【典例1】已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围．【典例2】已知p：x≥a，q：|x＋2a|<3，且p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(－∞，－1)C．[1，＋∞) D．(1，＋∞)【典例3】若不等式(x－a)2<1成立的充分不必要条件是1<x<2，则实数a的取值范围是________．【题型三】充要条件的探求与证明【典例1】数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)是数列{an}是等差数列的什么条件？【典例2】已知m∈Z，关于x的一元二次方程x2－4x＋4m＝0，①x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②求方程①②的根都是整数的充要条件．【典例3】求方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．【题型四】全称量词与存在量词【典例1】下列四个命题中真命题是()A．∀n∈R，n2≥nB．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝mC．∀n∈R，∃m∈R，m2<nD．∀n∈R，n2<n【典例2】下列命题中的假命题是()A．∀x∈R,2x－1>0 B．∀x∈N＋，(x－1)2>0C．∃x∈R，lgx<1 D．∃x∈R，tanx＝2【典例3】已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则¬p是()A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0【题型五】命题中参数的取值范围【典例1】已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．【典例2】已知命题“∀x∈R，x2－5x＋eq\f(15,2)a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．【典例3】若命题“∀x∈[1,4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是()A．－4≤m≤－3 B．m<－4C．m≥－4 D．－4≤m≤0三、【培优训练】【训练一】已知函数f(x)＝eq\f(x2－x＋1,x－1)(x≥2)，g(x)＝ax(a＞1).(1)若∃x∈[2，＋∞)，使f(x)＝m成立，则实数m的取值范围为________；(2)若∀x1∈[2，＋∞)，∃x2∈[2，＋∞)，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围为________.【训练二】(多选)下列说法正确的是()A.“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件B.“eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)”是“a＜b”的既不充分也不必要条件C.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A⊆BD.“a＞b＞0”是“an＞bn(n∈N，n≥2)”的充要条件【训练三】f(x)＝－x2－6x－3，记max{p，q}表示p，q二者中较大的一个，函数g(x)＝maxeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x－2，log2x＋3))，若m<－2，且∀x1∈[m，－2]，∃x2∈[0，＋∞)，使f(x1)＝g(x2)成立，则m的最小值为________．【训练四】已知p：实数m满足3a<m<4a(a>0)，q：方程eq\f(x2,m－1)＋eq\f(y2,2－m)＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________________．【训练五】设函数f(x)＝lg(x2－x－2)的定义域为集合A，函数g(x)＝eq\r(\f(3,x)－1)的定义域为集合B.已知α：x∈A∩B，β：x满足2x＋p≤0.且α是β的充分条件，求实数p的取值范围．【训练六】(多选)已知a∈R，则使命题“∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，x2－sinx－a≥0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a<1 B．a≤2C．a<eq\f(π2－4,4) D．a≤eq\f(π2－4,4)四、【强化测试】【单选题】1.设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2.命题p：存在常数列不是等比数列，则命题﹁p为()A．任意常数列不是等比数列B．存在常数列是等比数列C．任意常数列都是等比数列D．不存在常数列是等比数列3.设平面向量a，b，c均为非零向量，则“a·(b－c)＝0”是“b＝c”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件4.已知f(x)＝sinx－x，命题p：∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)<0，则()A．p是假命题，﹁p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0B．p是假命题，﹁p：∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0C．p是真命题，﹁p：∀x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥0D．p是真命题，﹁p：∃x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，f(x)≥05.已知命题“∃x0∈R，使2xeq\o\al(2,0)＋(a－1)x0＋eq\f(1,2)≤0”是假命题，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1) B．(－1，3)C．(－3，＋∞) D．(－3，1)6.王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的()A．充分条件 B．必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7.“ln(x＋1)<0”是“x2＋2x<0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8.“a<1”是“∀x>0，eq\f(x2＋1,x)≥a”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【多选题】9.已知a，b，c是实数，则下列结论中正确的是()A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件10.下列说法正确的是()A．“x＝eq\f(π,4)”是“tanx＝1”的充分不必要条件B．定义在[a，b]上的偶函数f(x)＝x2＋(a＋5)x＋b的最大值为30C．命题“∃x0∈R，x0＋eq\f(1,x0)≥2”的否定是“∀x∈R，x＋eq\f(1,x)>2”D．函数y＝sinx＋cosx－eq\r(2)无零点11.下列命题的否定是全称命题且为真命题的有()A．∃x∈R，x2－x＋eq\f(1,4)<0B．所有的正方形都是矩形C．∃x∈R，x2＋2x＋2＝0D．至少有一个实数x，使x3＋1＝012.已知两条直线l，m及三个平面α，β，γ，则α⊥β的充分条件是()A．l⊂α，l⊥β B．l⊥α，m⊥β，l⊥mC．α⊥γ，β∥γ D．l⊂α，m⊂β，l⊥m【填空题】13.若命题p的否定是“∀x∈(0，＋∞)，eq\r(x)>x＋1”，则命题p可写为_______________．14.在△ABC中，“A＝B”是“tanA＝tanB”的________条件．15.条件p：x>a，条件q：x≥2.(1)若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是___________________________；(2)若p是q的必要不充分条件，则a的取值范围是____________________________．16.若∃x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2))，使得2xeq\o\al(2,0)－λx0＋1＜0成立是假命题，则实数λ的取值范围是________．【解答题】17.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的取值范围．18.已知p：eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(1－\f(x－1,3)))≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m＞0)，若非p是非q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．19.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈P是x∈S的必要条件，求m的取值范围．20.已知集合A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(y|y＝x2－\f(3,