2024年新高考数学一轮复习题型归类与强化测试专题03等式与不等式的性质学生版

专题03等式与不等式的性质一、【知识梳理】【考纲要求】1.理解用作差法比较两个实数大小的理论依据.2.理解不等式的概念.3.理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用.【考点预测】1.两个实数比较大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a－b>0⇔a>b，,a－b＝0⇔a＝b，,a－b<0⇔a<b.))(2)作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）⇔a<b（a∈R，b>0）.))2.不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)同向可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方性：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方性：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2).【常用结论】1.证明不等式的常用方法有：作差法、作商法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.有关分式的性质(1)若a>b>0，m>0，则eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).(2)若ab>0，且a>b⇔eq\f(1,a)<eq\f(1,b).【方法技巧】1.作差法一般步骤：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差.2.作商法一般步骤：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论.3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系.4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小.5.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.二、【题型归类】【题型一】比较两个数(式)的大小【典例1】若a<0，b<0，则p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)与q＝a＋b的大小关系为()A．p<qB．p≤qC．p>qD．p≥q【典例2】已知a，b，c∈(0,3)，且a5＝5a，b4＝4b，c3＝3c，下列不等式正确的是()A．a>b>c B．c>a>bC．c>b>a D．a>c>b【典例3】已知M＝eq\f(e2021＋1,e2022＋1)，N＝eq\f(e2022＋1,e2023＋1)，则M，N的大小关系为________【题型二】不等式的性质【典例1】若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有()A.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) B.eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)C.eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) D.eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)【典例2】下列命题为真命题的是()A．若a>b，则ac2>bc2B．若a<b<0，则a2<ab<b2C．若c>a>b>0，则eq\f(a,c－a)<eq\f(b,c－b)D．若a>b>c>0，则eq\f(a,b)>eq\f(a＋c,b＋c)【典例3】(多选)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则下列不等式正确的是()A.eq\f(1,a＋b)<eq\f(1,ab) B．|a|＋b>0C．a－eq\f(1,a)>b－eq\f(1,b) D．lna2>lnb2【题型三】应用性质判断不等式是否成立【典例1】已知a>b>0，给出下列四个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式为()A.①②③ B.①②④C.①③④ D.②③④【典例2】已知a，b为正数，a≠b，n为正整数，则anb＋abn－an＋1－bn＋1的正负情况为()A．恒为正B．恒为负C．与n的奇偶性有关D．与a，b的大小有关【典例3】如果0＜m＜b＜a，则()A．coseq\f(b＋m,a＋m)＜coseq\f(b,a)＜coseq\f(b－m,a－m)B．coseq\f(b,a)＜coseq\f(b－m,a－m)＜coseq\f(b＋m,a＋m)C．coseq\f(b－m,a－m)＜coseq\f(b,a)＜coseq\f(b＋m,a＋m)D．coseq\f(b＋m,a＋m)＜coseq\f(b－m,a－m)＜coseq\f(b,a)【题型四】求代数式的取值范围【典例1】若1<α<3，－4<β<2，则eq\f(α,2)－β的取值范围是________．【典例2】若角α，β满足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，则2α－β的取值范围是________．【典例3】已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则eq\f(c,a)的取值范围是()A．－3<eq\f(c,a)<－1 B．－1<eq\f(c,a)<－eq\f(1,3)C．－2<eq\f(c,a)<－1 D．－1<eq\f(c,a)<－eq\f(1,2)三、【培优训练】【训练一】已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为()A.a＜b≤c B.b≤c＜aC.b＜c＜a D.b＜a＜c【训练二】已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，则eq\f(c,a)的取值范围是________．【训练三】某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件：(1)男学生人数多于女学生人数；(2)女学生人数多于教师人数；(3)教师人数的两倍多于男学生人数．①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________．②该小组人数的最小值为________．【训练四】设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：①eq\f(c,a)>eq\f(c,b)；②ac<bc；③logbeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－c))>logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b－c)).其中所有正确结论的序号是()A．① B．①②C．②③ D．①②③【训练五】(多选)设a，b，c，d为实数，且a＞b＞0＞c＞d，则下列不等式正确的是()A.c2＜cd B.a－c＜b－dC.ac＞bd D.eq\f(c,a)－eq\f(d,b)＞0【训练六】若a＞b＞0，c＜d＜0，|b|＞|c|.(1)求证：b＋c＞0.(2)求证：eq\f(b＋c,（a－c）2)＜eq\f(a＋d,（b－d）2).(3)在(2)的不等式中，能否找到一个代数式，满足eq\f(b＋c,（a－c）2)＜所求式＜eq\f(a＋d,（b－d）2)？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.四、【强化测试】【单选题】1.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是()A．f(x)＝g(x) B．f(x)>g(x)C．f(x)<g(x) D．随x的值变化而变化2.若m<0，n>0且m＋n<0，则下列不等式中成立的是()A．－n<m<n<－m B．－n<m<－m<nC．m<－n<－m<n D．m<－n<n<－m3.已知a，b为非零实数，且a<b，则下列不等式一定成立的是()A．a2<b2 B．ab2>a2bC．eq\f(1,ab2)<eq\f(1,a2b) D．eq\f(b,a)<eq\f(a,b)4.设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件5.已知下列四个条件：①b>0>a，②0>a>b，③a>0>b，④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)成立的有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个6.下列命题中，正确的是()A．若a>b，c>d，则ac>bdB．若ac>bc，则a>bC．若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，则|a|＋b<0D．若a>b，c>d，则a－c>b－d7.已知a1∈(0,1)，a2∈(0,1)，记M＝a1a2，N＝a1＋a2－1，则M与N的大小关系是()A．M<N B．M>NC．M＝N D．不确定8.已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为()A．a<b≤c B．b≤c<aC．b<c<a D．b<a<c【多选题】9.已知c<b<a，且ac<0，那么下列不等式中，一定成立的是()A．ab>ac B．c(b－a)>0C．cb2<ab2 D．ac(a－c)<010.有外表一样，重量不同的六个小球，它们的重量分别是a，b，c，d，e，f，已知a＋b＋c＝d＋e＋f，a＋b＋e>c＋d＋f，a＋b＋f<c＋d＋e，a＋e<b.则下列判断正确的有()A．b>c>f B．b>e>fC．c>e>f D．b>e>c11.若0<a<1，b>c>1，则()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))a>1 B.eq\f(c－a,b－a)>eq\f(c,b)C．ca－1<ba－1 D．logca<logba12.下列命题为真命题的是()A．若a>b>0，则ac2>bc2B．若a<b<0，则a2>ab>b2C．若a>b>0且c<0，则eq\f(c,a2)>eq\f(c,b2)D．若a>b且eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，则ab<0【填空题】13.若a1<a2，b1<b2，则a1b1＋a2b2与a1b2＋a2b1的大小关系是________．14.若1<α<3，－4<β<2，则α－|β|的取值范围是________．15.设a>b，有下列不等式：①eq\f(a,c2)>eq\f(b,c2)；②eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；③|a|>|b|；④a|c|≥b|c|，其中一定成立的有________．(填序号)16.已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．【解答题】17.已知a＋b>0，试比较eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)与eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小．18.(1)若bc－ad≥0，bd>0，求证：eq\f(a＋b,b)≤eq\f(c＋d,d)；(2)已知c>a>b>0，求证：eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).19.已知－1<x－y<4，2<x＋y<3，求3x＋2y的取值范围.20.已知a>b>0，c<d<0，|b|>|c|，求证：(1)b＋c>0；(2)eq\f(b,a－c)<eq\f(a,b－d).21.观察以下运算：1×5＋3×6>1×6＋3×5，1×5＋3×6＋4×7>1×6＋3×5＋4×7>1×7＋3×6＋4×