期末培优专题-最值问题-2023-2024学年人教版数学八年级下册

人教版数学八年级下册期末培优专题——最值问题一、单选题1．如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=4，点E，F分别是AB，DC上的动点，EF∥BC，则BF+DE最小值是（

A．13 B．10 C．12 D．52．如图，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E、B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP=90°，连接DP．若AB=2时，则△ADP周长的最小值为（

）A．25+2 B．35−2 C．3．如图，在矩形ABCD中，AB=4，∠DAC=30°，P是AD上一个动点，过点P作PG⊥AC，垂足为G，连接BP，取BP的中点E，连接EG，则线段EG的最小值为（

）A．1 B．233 C．2 4．如图，正方形ABCD的边长为12，点E、F分别为AB、BC上动点（E、F均不与端点重合），且AE+CF=7，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PF的最小值是（

），A．12 B．13 C．189 D．125．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点E为CD中点，P、Q为BC边上两个动点，且PQ=2，则四边形APQE周长的最小值为（

）A．10+226 B．10+213 C．12+2266．如图，矩形ABCD的边AD=6,AB=8,E,G分别是AB,DC上的动点，连接DE，将△ADE沿着DE翻折，点A的对应点为点F，连接BF,BG和GF，当BF的值最小时，BG+GF的最小值为（

）A．10 B．1522 C．16107．如图，AC是菱形ABCD的对角线，∠ABC=120°，点E，F是AC上的动点，且EF=14AC，若AD=4，则DE+BFA．15 B．17 C．4 D．198．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的动点，P是对角线AC上的动点，且PE∥CD．若AB=4，∠B=45°，则

A．2 B．3 C．4 D．2二、填空题9．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，P是AB边上的一个动点（异于A，B两点），过点P分别作AC、BC边的垂线，垂足分别为M，N，则

10．如图，在矩形ABCD中，AB=12，BC=5，E，F，G，H四点分别在长方形ABCD的各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为．11．如图，在平行四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，BD=2，且两个顶点B、D分别在x轴，y轴上滑动，连接OC，则OC的最小值是．12．如图，▱ABCD中，∠B=45°，AB=22，BC=6，点E为AB边上的中点，F，G为边AD上的两个动点，且FG=1，则五边形BCGFE13．如图，在菱形ABCD中，AC=3，AB=2，点P，E，F分别为线段AB，AD，DB上的动点，则14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，BC=5，点P为BC边上任意一点，连接PA、将PA沿BC方向平移至CQ，连接AQ、PQ，则当PQ取得最小值时，BP的长为15．如图，在▱ABCD中，AB=4，BC=6，∠ABC=60°，对角线AC与BD交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交AD、BC于点E、F，则四边形ABFE周长的最小值是．16．如图，在正方形ABCD中，AB=6，E，F，G分别为AD，AB，BC上的点，连接EG，DF，若AE=AF=CG，则2DF+EG的最小值为.三、解答题17．问题探究

(1)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=AC=4，∠BAC=90°，则(2)在（1）的条件下，求△BCD的面积．(3)如图②，已知矩形ABCD，以B为坐标原点，BC所在的直线为x轴，AB所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．点D的坐标为40,30．点P是矩形内部一动点．若△PBC的面积是矩形ABCD面积的16，求18．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ACB=30°，AB=6，点P为BC上一个动点，连接PA，以PA，PC为邻边作平行四边形APCQ，连接PQ交AC于点O(1)若AC=PQ，求PB的长；(2)当PB长为何值时，平行四边形APCQ是菱形？为什么？(3)在点P的运动过程中，线段PQ的长度是否存在最小值，若存在，请直接写出最小值；若不存在，请说明理由．19．某数学小组在一次数学探究活动过程中，经历了如下过程：问题提出：如图，正方形ABCD中，AB=4，P为对角线AC上的一个动点，以P为直角顶点，向右作等腰直角△DPM．(1)DM的最小值为_______，最大值为________；(2)求证：点M在射线BC上；20．如图，△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADC=90°，点E，F分别在射线BA，BC上，DE⊥DF，点M为EF的中点，点P在BC上，BP=2，CP=6，(1)当点E在BA的延长线上，证明AE=CF；(2)当△MPF为直角三角形，求AE的长(3)直接写出PM的最小值_____________．参考答案：1．B2．A3．A4．B5．C6．C7．D8．D9．1210．2611．312．12+13．414．2.415．10+216．617．（1）解：在Rt△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°∴BC=A（2）连接BD，如图：

∵AB=AC=4，∠BAC=90°，∴S△ABC∵AD∥∴点A和点D到BC的距离相等，∴S△BCD（3）过点P作FG∥BC，分别交AB、CD于点F和∵四边形ABCD是矩形，D40,30∴AB=CD=30，BC=AD=40，

∴当S△PBC即12∴BF=10，

作B关于FG的对称点H，则HF=BF=10，连接CH交FG于P，

由对称可得：PB=PH，∴BP+CP=CP+PH=CH，此时BP+CP最小，在Rt△HBC∴CH=C∴BP+CP最小值为20518．（1）当∠APC=90°时，平行四边形APCQ是矩形，则AC=PQ，∵∠CAB=90°，∠ACB=30°，∴∠B=90°−30°=60°，∵∠APB=90°，AB=6，∴PB=1（2）∵∠CAB=90°，当PB=PC时，∴PA=PB=PC，此时平行四边形APCQ是菱形，∵∠CAB=90°，∠ACB=30°，AB=6，∴BC=2AB=12，∴PB=PC=1（3）如图，设PQ与AC交于点O，作OP′⊥BC

在Rt△ABC中，∠ACB=30°∴BC=2AB=12，AC=3∵四边形PAQC是平行四边形，∴OA=OC=33∵OP′⊥BC∴OP当P与P′重合时，OP的值最小，则PQ∴PQ的最小值=2OP19．（1）解：由于点P运动到DP与AC垂直时，根据“垂线段最短”可知DP最短，则DM最短，此时DP与对角线BD重合，DM与DC重合，∴DM=DC=4．由于点P运动到点A或点C时，斜线段最长，因此DM最长，此时：DP=DC=4，则DM=D故答案为：4，42（2）证明：连接CM，连接BD交AC于点O，过M作ME⊥AC于E，①如图，当点P在线段OC上时，∵正方形ABCD，∴∠DOC=90°，DO=CO，∠ACB=∠ACD=45°，∠ACD=90∵△DPM是等腰直角三角形，∴DP=MP，∠DPM=90°，∴∠ODP=∠MPE=90°−∠DPO，又∠DOC=∠E=90°，∴△ODP≌△EPM，∴OP=EM，OD=PE，又DO=CO，∴PE=OC，∴OP=CE=EM，∴∠ECM=∠CME=45°，又∠ACD=45°，∴∠DCM=90°，∴∠ACD+∠DCM+∠ECM=180°，∴B、C、M三点共线，∴点M在线段BC的延长线上．②如图，当点P在线段OA上时，

同理△ODP≌△EPM，∴OP=EM，OD=PE，又DO=CO，∴PE=OC，∴OP=CE=EM，∴∠ECM=∠CME=45°，又∠ACB=45°，∴∠ECM∠=∠ACB=45°∴B、C、M三点共线，∵点M在线段BC上．综上所述，点M在射线上BC上．20．（1）∵△ABC和△ADC都是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠BCA=∠DAC=∠DCA=45°，BA=BC，DA=DC，∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA=90°，∵∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD是正方形，即∠EAD=∠DCF=90°，∵BP=2，CP=6，∴AB=CD=AD=BC=BP+CP=8，∵DE⊥DF，∠ADC=90°，∴∠EDA+∠ADF=∠CDF+∠ADF=90°，∴∠EDA=∠CDF，∵∠EAD=∠DCF=90°，AD=CD，∴△EAD≌△FCD，∴AE=CF；（2）当△MPF为直角三角形，且∠MPF=90°时，如图，∵∠MPF=90°=∠B，∴PM∥BE，∵点M为EF的中点，∴PM是△BFE的中位线，∴BP=PF=2，∴CF=BC−BP−PF=4，∴AE=CF=4；当△MPF为直角三角形，且∠PMF=90°时，连接DM，EP，如图，∵△EAD≌△FCD，∴ED=FD，又∵DE⊥DF，∴△DEF是等腰直角三角形，∵点M为EF的中点，∴MD⊥EF，MD=MF=1∴MD垂直平分EF，∵∠PMF=90°，∴MP⊥EF，∴MP、DM共线，∴DP垂直平分EF，∴EP=PF，设AE=CF=x，∴BE=AB−AE=8−x，PF=PC+CF=6+x，∴EP=PF=6+x，∵在Rt△BEP中，P∴6+x2解得：x=8即此时，AE=8综上：△MPF为直角三角形，AE为87或者4（3）当点E在线段AB上时，设△MPF、△MPF交于点G，过E点作EH∥BC，交AC于点H，如图，∵EH∥BC，∴∠AHE=∠ACB=45°，∴∠AHE=∠EAH=45°，∠HEG=∠GFC，∴AE=EH