浙江省杭州市萧山区城区2023-2024学年八校八年级下学期期中数学试卷

第1页（共1页）2023-2024学年浙江省杭州市萧山区城区八校八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列计算正确的是A． B． C． D．2．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是A． B． C． D．3．（3分）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是A． B． C． D．4．（3分）王老师对甲、乙两人五次数学成绩进行统计，两人平均成绩均为90分，方差，，则下列说法正确的是A．甲、乙两位同学的成绩一样稳定 B．乙同学的成绩更稳定 C．甲同学的成绩更稳定 D．不能确定5．（3分）在平面直角坐标系中，点到原点的距离等于A．6 B．5 C．4 D．36．（3分）无论取任何实数，代数式都有意义，则的取值范围为A． B． C． D．7．（3分）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了人，可列出的方程是A． B． C． D．8．（3分）已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是）______A． B．2，1 C．4， D．4，39．（3分）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；其中正确的A．①② B．①③ C．②③ D．①②③10．（3分）如图，四边形是平行四边形，连接，过点作于点，交于点，连接，若，点为的中点，，则的值为A． B． C． D．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）若二次根式有意义，则的取值范围是．12．（4分）八边形的内角和为，外角和为．13．（4分）某生数学科课堂表现为90分、平时作业为92分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按、、的比例计入总评成绩，则该生数学科总评成绩是分．14．（4分）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是．15．（4分）设实数的整数部分为，小数部分为，则．16．（4分）已知点与点，，是平行四边形的四个顶点，则长的最小值为．三、解答题（共66分）17．（6分）计算（1）；（2）．18．（6分）解方程：（1）；（2）．19．（6分）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求：（1）长方体盒子的底面积；（2）长方体盒子的体积．20．（8分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9（1）请求出如表中，，的值．平均数众数中位数方差甲880.4乙93.2（2）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差（填“变大”、“变小”或“不变”21．（8分）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于．（1）求证：；（2）若，，求的长．22．（10分）已知关于的方程．（1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为，，，其中，并且，恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．23．（10分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？（3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润．24．（12分）如图，平行四边形中，，，点以的速度从点出发沿一一向点运动，同时点以的速度从点出发沿一一向点运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设运动的时间为．（1）求平行四边形的面积；（2）求当时，求的面积；（3）当的面积为平行四边形的面积的时，求的值．

2023-2024学年浙江省杭州市萧山区城区八校八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共30分）1．（3分）下列计算正确的是A． B． C． D．【分析】先计算出各个选项中式子的正确结果，即可判断哪个选项符合题意．【解答】解：不能合并，故选项不符合题意；，故选项错误，不符合题意；，故选项正确，符合题意；，故选项错误，不符合题意；故选：．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．2．（3分）下列图形中，属于中心对称图形的是A． B． C． D．【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．【解答】解：选项、、的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；选项的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；故选：．【点评】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心．3．（3分）用配方法解一元二次方程，配方后得到的方程是A． B． C． D．【分析】先将常数项移到方程右边，再将两边都加上一次项系数一半的平方，据此可得答案．【解答】解：，，则，即，故选：．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．4．（3分）王老师对甲、乙两人五次数学成绩进行统计，两人平均成绩均为90分，方差，，则下列说法正确的是A．甲、乙两位同学的成绩一样稳定 B．乙同学的成绩更稳定 C．甲同学的成绩更稳定 D．不能确定【分析】先根据甲的方差比乙的方差小，再根据方差越大，波动就越大，数据越不稳定，方差越小，波动越小，数据越稳定即可得出答案．【解答】解：、，，甲比乙的成绩稳定；故选：．【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．5．（3分）在平面直角坐标系中，点到原点的距离等于A．6 B．5 C．4 D．3【分析】根据题意，画出示意图，利用勾股定理即可解决问题．【解答】解：如图所示，过点作轴的垂线，垂足为，点坐标为，，．在中，．故选：．【点评】本题考查坐标与图形性质，能根据题意画出示意图是解题的关键．6．（3分）无论取任何实数，代数式都有意义，则的取值范围为A． B． C． D．【分析】将被开方数配方，再根据二次根式有意义，被开方数大于等于0进行判断即可．【解答】解：，无论取任何实数，代数式都有意义，，．故选：．【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（3分）流行性感冒传染迅速，若有一人感染，经过两轮传染后共有100人患病，设每轮传染中平均一人传染了人，可列出的方程是A． B． C． D．【分析】先根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，第一轮传染后患流感的人数是：，第二轮传染后患流感的人数是：，而已知经过两轮传染后共有100人患了流感，则可得方程，，即．故选：．【点评】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，要根据题意列出第一轮传染后患流感的人数，再根据题意列出第二轮传染后患流感的人数，而已知第二轮传染后患流感的人数，故可得方程．8．（3分）已知一组数据，，，，的平均数是2，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数和方差分别是）______A． B．2，1 C．4， D．4，3【分析】先由原数据的平均数及方差得出，，再依据平均数和方差的定义计算新数据的平均数和方差即可．【解答】解：由题意知，，，所以新数据的平均数为，新数据的方差为，故选：．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握平均数和方差的定义．9．（3分）对于一元二次方程，下列说法：①若，则；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；其中正确的A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【分析】①根据，可用，表示，进而得出的正负，②利用根的判别式即可解决问题，③将代入讨论即可．【解答】解：，，，，．故①正确．方程有两个不相等的实根，，即．又△，且，△，则方程有两个不相等的实根．故②正确．是方程的一个根，，即，或．故③错误．故选：．【点评】本题考查根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键．10．（3分）如图，四边形是平行四边形，连接，过点作于点，交于点，连接，若，点为的中点，，则的值为A． B． C． D．【分析】根据平行四边形的性质、垂直的定义、平行线的判定定理可以推知；然后由全等三角形的判定定理推知；最后根据全等三角形的对应边相等知，所以对边平行且相等的四边形是平行四边形；连接交于点，根据推知平行四边形是菱形，根据菱形的邻边相等知；然后结合已知条件证得，所以，从而证得是正三角形；最后在中，求得，利用等量代换求解即可．【解答】解：过点作于，交于，连接，，四边形是平行四边形，；，，在和中，，，，又，；，，；四边形为平行四边形，，平行四边形是菱形，，平行四边形是菱形，，是的中点，，，为等边三角形，，；在中，，又，，．故选：．【点评】本题考查平行四边形的性质，菱形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（每小题4分，共24分）11．（4分）若二次根式有意义，则的取值范围是．【分析】根据被开方数即可求解；【解答】解：，；故答案为；【点评】本题考查二次根式的意义；熟练掌握二次根式中被开方数是非负数的条件是解题的关键．12．（4分）八边形的内角和为，外角和为．【分析】边形的内角和是，已知多边形的边数，代入多边形的内角和公式就可以求出内角和；任何多边形的外角和是360度，与多边形的边数无关．【解答】解：八边形的内角和为；外角和为．故答案为：，．【点评】本题考查了多边形内角与外角，正确记忆理解多边形的内角和定理，以及外角和定理是解决本题的关键．13．（4分）某生数学科课堂表现为90分、平时作业为92分、期末考试为85分，若这三项成绩分别按、、的比例计入总评成绩，则该生数学科总评成绩是88.6分．【分析】根据加权平均数的定义，将各成绩乘以其所占权重，即可计算出加权平均数．【解答】解：．故答案为：88.6．【点评】本题考查了加权平均数的求法，重在理解“权”不同，各数所起的作用也会不同，会对计算结果造成不同影响．14．（4分）已知关于的一元二次方程的一个根是2，则另一个根是6．【分析】根据方程的解的概念求出的值，再解关于的方程可得答案．【解答】解：关于的一元二次方程的一个根是2，，解得，关于的一元二次方程为，解得或；故答案为：6．【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握方程的解的概念，求出的值．15．（4分）设实数的整数部分为，小数部分为，则．【分析】先求出实数的整数部分为，小数部分为，再将其代入原式进行计算即可．【解答】解：，，实数的整数部分为，小数部分为，，故答案为：．【点评】本题考查的是估计无理数的大小和实数的运算，熟练掌握上述知识点是解题的关键．16．（4分）已知点与点，，是平行四边形的四个顶点，则长的最小值为．【分析】讨论两种情形：①是对角线，②是边．是对角线时直线时，最小．是边时，，通过比较即可得出结论．【解答】解：有两种情况：当，为对角线时，记交于点，，设直线表达式为：，则代入点得：，，点在直线上，延长交轴于点，取中点，连接，点是平行四边形对角线交点，为中点，，为的中位线，，，，当时，最短，由可知点与点的水平距离和铅锤距离均是，，当时，为等腰直角三角形，，则，设直线表达式为：，代入得，，直线表达式为：，联立得：，解得，，，最小值为；当为平行四边形边时，则，综上，最小值为．故答案为：．【点评】本题考查平行四边形的性质、坐标与图形的性质、垂线段最短，勾股定理等知识，学会分类讨论是解题的关键，灵活运用垂线段最短解决实际问题，属于中考常考题型．三、解答题（共66分）17．（6分）计算（1）；（2）．【分析】（1）先化简，然后合并同类二次根式即可；（2）先算除法，再化简即可．【解答】解：（1）；（2）．【点评】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．18．（6分）解方程：（1）；（2）．【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用因式分解法求解即可．【解答】解：（1），，则，即，，，；（2），，则或，解得，．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．19．（6分）如图所示，有一张边长为的正方形纸板，现将该纸板的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体盒子，剪掉的四个角是面积相等的小正方形，此小正方形的边长为，求：（1）长方体盒子的底面积；（2）长方体盒子的体积．【分析】（1）根据正方形的面积公式即可得到结论；（2）结合题意可知该长方体盒子的长为，宽为，高为，而长方体的容积为长宽高，即可得答案．【解答】解：（1）长方体盒子的底面积；（2）由题意可知：长方体盒子的容积为：，答：长方体盒子的容积为．【点评】本题考查了二次根式的应用，关键是结合图形，结合二次根式的乘法法则求解．20．（8分）甲、乙两人在5次打靶测试中命中的环数如下：甲：8，8，7，8，9乙：5，9，7，10，9（1）请求出如表中，，的值．平均数众数中位数方差甲880.4乙93.2（2）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙的射击成绩的方差变小（填“变大”、“变小”或“不变”【分析】（1）根据众数、算术平均数和中位数的定义求解即可；（2）依据方差的定义求解即可．【解答】解：（1）甲射击环数的众数环，乙射击环数的平均数（环，中位数为9环；（2）乙再射击1次，命中8环，新数据的平均数仍然是8环，所以每个数据与平均数差的平方和保持不变，而数据的个数增加，所以乙的射击成绩的方差将变小，故答案为：变小．【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、算术平均数和中位数、方差的定义．21．（8分）如图，在中，点是对角线，的交点，过点且垂直于．（1）求证：；（2）若，，求的长．【分析】（1）运用证明即可得到结论；（2）由（1）得，再根据平行四边形的面积计算公式求解即可．【解答】（1）证明：四边形是平行四边形，，，，在和中，，，，，；（2）解：，，，又，，．【点评】本题考查了平行四边形性质，全等三角形的判定的应用，注意：平行四边形的对边平行且相等，平行四边形的对角线互相平分，全等三角形的判定方法有，，，等，本题主要考查了学生运用定理进行推理的能力．22．（10分）已知关于的方程．（1）求证：无论取任何实数，该方程总有实数根；（2）若等腰三角形的三边长分别为，，，其中，并且，恰好是此方程的两个实数根，求此三角形的周长．【分析】（1）表示出方程根的判别式，判断其值大于等于0即可得证；（2）分两种情况考虑：当时，求出方程的解，进而得到三角形周长；当或时，把代入方程求出的值，进而求出周长即可．【解答】（1）证明：关于的方程，△，则无论取何实数值，方程总有实数根；（2）解：当时，，方程为，解得：，此时三边长为1，3，3，周长为；当或时，把代入方程得：，解得：，此时方程为：，解得：，，当时，此时三边长为1，1，3，不能组成三角形，当时，此时三边长为1，3，3，周长为，综上所述，的周长为7．【点评】此题考查了根与系数的关系，根的判别式，三角形三边关系，以及等腰三角形的性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．23．（10分）某商场以每件280元的价格购进一批商品，当每件商品售价为360元时，每月可售出60件．为了扩大销售，商场决定采取适当降价的方式促销，经调查发现，如果每件商品降价1元，那么商场每月就可以多售出5件．（1）降价前商场每月销售该商品的利润是多少元？（2）要使商场每月销售这种商品的利润达到7200元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价多少元？（3）该商场1月份销售量为60件，2月和3月的月平均增长率为，若前三个月的总销量为285件，求该季度的总利润．【分析】（1）利用总利润每件的销售利润月销售量，即可求出结论；（2）设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，利用总利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合要有利于减少库存，即可确定结论；（3）根据前三个月的总销量为285件，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，将其符合题意的值代入，中，可得出2月份、三月份的销售量，再利用该季度的总利润（该商品1月份的售价该商品的进价）月份的销售量（该商品2月份的售价该商品的进价）月份的销售量（该商品3月份的售价该商品的进价）月份的销售量，即可求出结论．【解答】解：（1）根据题意得：（元．答：降价前商场每月销售该商品的利润是4800元；（2）设每件商品降价元，则每件的销售利润为元，每月可售出件，根据题意得：，整理得：，解得：，，又要有利于减少库存，．