《高等数学》上册总复习题001

高等数学（上）总复习第一章函数与极限第三章微分中值定理与导数的应用第二章导数与微分第五章定积分积微分习题课安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959第四章不定积分第六章定积分的应用⑴函数的定义⑵函数定义域的求法1.1、函数第一章函数与极限第一章根本要求⑶函数的根本性质⑷分段函数⑸初等函数1.2、极限及连续⑴概念⑵11个重要定理⑶数列的极限1.3、极限的求法⑴未定式的定值法⑵类未定式⑷极限中常数确实定(重点)⑸杂题⑶6类重要公式⒊理解复合函数的概念，了解反函数的概念；⒋掌握根本初等函数的性质及图形；⒌会建立简单实际问题中的函数关系式；⒈理解函数的概念；⒉了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性；第一章基本要求⒍理解极限的概念、掌握极限四那么运算法那么；⒎了解两个极限存在准那么，会用两个重要极限求极限；⒏了解无穷小、无穷大及无穷小的阶，会用等价无穷小求极限；⒐理解函数在一点连续的概念；⒑了解间断点的概念，并会判断间断点的类型；⒒了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质。⑴函数的定义1.1、函数设有两个变量x和y,x的变域为D,假设对D中每个x值,按照一定的法那么,变量y有一个确定的值与之对应,那么称y为x的函数,记作y=f(x).函数概念的两要素①定义域≌自变量x的变化范围(假设是解析式,那么使运算有意义的实自变量值的集合即定义域)。②对应关系≌给定x的值,求y的方法.解题提示当且仅当给定的两个函数,其定义域和对应关系完全相同时,才表示同一函数,否那么表示不同的函数.例1解

1.1、函数⑵函数定义域的求法记住下面简单函数的定义域解题提示求复杂函数的定义域,就是求解由简单函数的定义域所构成的不等式组之解集.1.1、函数例2解例3解自我检查试题一1.1例4解自我检查试题二1.11.1、函数⑶函数的根本性质①奇偶性图形：偶函数关于y轴对称,奇函数那么关于原点对称.运算性质：奇函数代数和为奇,偶函数代数和为偶.奇个奇函数的积为奇,偶个同函数的积为偶.一个奇函数与一个偶函数的积为奇.1.1、函数例5判别下列函数的奇偶性

②周期性1.1、函数设f(x)在区间X上有定义,假设存在一个与x无关的正数T,使对任一xÎX,恒有f(x+T)=f(x),那么称f(x)是以T为周期的函数,把满足上式最小正数T称为f(x)的周期.运算性质：f(x)的周期为T,

f(ax+b)的周期为T/|a|.f(x),g(x)均以T为周期,那么f(x)±g(x)也以T为周期.f(x),g(x)分别以T1,T2为周期,那么f(x)±g(x)是以T1,T2的最小公倍数T为周期.例6(P250Ex5-3.9)设f(x)是以T为周期的连续函数,

证明③有界性1.1、函数设f(x)在区间X上有定义,假设$M>0,使对一切xÎX,恒有|f(x)|≤M,那么称f(x)在区间X上有界,假设不存在这样的M>0,那么称f(x)在区间X上无界.例7例8

④单调性1.1、函数设f(x)在区间X上有定义,例9

设f(x)在(0,+∞)内连续,且f(x)>0.证明函数在(0,+∞)内为单调增加函数.证∴F(x)在(0,+∞)内为单调增加函数.1.1、函数⑷分段函数如果一个函数在其定义域内，对应于不同区间段有着不同的表达式，那么该函数称为分段函数。常见有

②取整函数：y=[x]表示x的最大整数局部①符号函数③狄利克雷函数注意:一般而言，分段函数不是初等函数.1.1、函数⑸初等函数①反函数求反函数的步骤1.1、函数②复合函数③初等函数熟记三个恒等式例10

求y=的反函数.

1.2、极限与连续⑴概念①数列极限②函数极限③左右极限左极限右极限1.2、极限与连续④无穷小:以0为极限的量称为无穷小量。⑤无穷大:函数的绝对值无限增大的量为无穷大量。注:无穷大是特殊无界变量,但无界变量未必是无穷大.例如⑥无穷小的比较.0,,¹aba且穷小是同一过程中的两个无设1.2、极限与连续例11当x→0时,1.2、极限与连续⑦函数连续性的概念定义：注：f(x)在x0处连续三个条件：*f(x)在(a,b)内每一点都连续,那么称f(x)在(a,b)内连续。⑧间断点间断点类型:第一类(可去,跳跃),第二类(无穷,震荡).1.2、极限与连续定理1定理2定理3定理4定理5

：单调有界数列必有极限.定理6(夹逼定理)例12求⑵11个重要定理1.2、极限与连续定理7无穷小的运算性质⑴有限个无穷小的代数和仍为无穷小;⑵有限个无穷小的乘积仍为无穷小;⑶无穷小乘以有界变量仍为无穷小.例13求例14求定理8(无穷小与无穷大关系)在同一变化趋势下,无穷大的倒数为无穷小；非零的无穷小的倒数为无穷大。定理9(极限的四那么运算法那么)即函数和差积商的极限等于函数极限的和差积商。定理10(洛必达法那么)两类未定式的极限.定理11初等函数在其定义域的区间内连续.⑶6类重要公式1.2、极限与连续②①例15求例16解法讨论1.2、极限与连续解1.2、极限与连续③例17解：④1.2、极限与连续⑤⑥⑴未定式的定值法1.3、极限的求法①型的求解方法a.因式分解或有理化消去零因子法求极限;b.利用无穷小运算性质求极限;c.洛必达法那么;d.变量替换;例18例191.3、极限的求法②型的求解方法a.洛必达法那么;b.变量替换法化为第①种0:0型;例20③，求解方法a.通分;b.根式有理化；c.变量替换。④。⑤⑵类未定式1.3、极限的求法⑶数列的极限1.3、极限的求法①子序列的极限与函数的极限等值②单调有界数列必有极限。③利用极限定义求极限。④当n→∞时n项和的极限。⑤当n→∞时n项乘积的极限。⑷极限式中常数确实定1.3、极限的求法⑸杂例定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.第一章函数与极限⑴未定式的定值法推论

在闭区间上连续的函