第二章习题课与圆有关的最值问题知识点讲练高中数学人教A版选择性

习题课与圆有关的最值问题学习目标1.能用直线与圆的方程解决一些简单的最值问题.2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．导语2017年7月我国首座海上风电平台4G基站在黄海建成，信号覆盖范围达60公里．一艘船由于机械故障在海上遇险，想要求救，却发现没有信号．已知基站在海面上的信号覆盖范围是以基站为圆心的一个圆及其内部区域，那么船到达信号区域的最短路程是多少呢？(引出课题：探究与圆有关的最值问题．)一、与距离有关的最值问题1．圆外一点到圆上任意一点距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.2．直线与圆相离，圆上任意一点到直线距离的最小值＝d－r，最大值＝d＋r.3．过圆内一定点的直线被圆截得的弦长的最小值＝2eq\r(r2－d2)，最大值＝2r.4．直线与圆相离，过直线上一点作圆的切线，切线长的最小值＝eq\r(d2－r2).例1(1)当直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0(m∈R)被圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25截得的弦最短时，m的值为________．答案－eq\f(3,4)解析直线l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，所以直线l会经过定点eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－7＝0，,x＋y－4＝0，))解得定点坐标为M(3,1)，圆心C为(1,2)，当直线l与CM垂直时，直线被圆截得的弦长最短，kCM＝eq\f(2－1,1－3)＝－eq\f(1,2)，kl＝－eq\f(2m＋1,m＋1)，所以kCM×kl＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m＋1,m＋1)))＝－1，解得m＝－eq\f(3,4).(2)已知圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，则由点M(a，b)向圆C所作的切线中，切线长的最小值是()A．2B.eq\r(5)C．3D.eq\r(13)答案B解析因为圆C：x2＋y2－2x＋4y＋1＝0，即圆C：(x－1)2＋(y＋2)2＝4，所以圆心为C(1，－2)，半径R＝2.因为圆C关于直线l：3ax＋2by＋4＝0对称，所以l：3a－4b＋4＝0，所以点M(a，b)在直线l1：3x－4y＋4＝0上，所以|MC|的最小值为d＝eq\f(|3＋8＋4|,5)＝3，切线长的最小值为eq\r(d2－R2)＝eq\r(9－4)＝eq\r(5).反思感悟(1)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值问题，可转化为动点(x，y)到定点(a，b)的距离的平方的最值问题．(2)定点到圆上动点距离的最值可以先计算定点到圆心的距离，然后利用数形结合确定距离的最值．跟踪训练1(1)从点P(1，－2)向圆x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0作切线，当切线长最短时，m的值为()A．－1B．1C．2D．0答案B解析x2＋y2－2mx－2y＋m2＝0可化为(x－m)2＋(y－1)2＝1，圆心C(m，1)，半径为1，切线长最短时，|CP|最小，|CP|＝eq\r(m－12＋9)，即当m＝1时，|CP|最小，切线长最短．(2)过点(3,1)作圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的弦，其中最短弦长为________．答案2eq\r(2)解析设点A(3,1)，易知圆心C(2,2)，半径r＝2.当弦过点A(3,1)且与CA垂直时为最短弦，|CA|＝eq\r(2－32＋2－12)＝eq\r(2).∴半弦长＝eq\r(r2－|CA|2)＝eq\r(4－2)＝eq\r(2).∴最短弦长为2eq\r(2).二、与面积相关的最值问题例2已知点O(0,0)，A(0,2)，点M是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，则△OAM面积的最小值为()A．1B．2C．3D．4答案A解析根据题意，得圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4的圆心为(3，－1)，半径r＝2，O(0,0)，A(0,2)，OA所在的直线是y轴，当M到直线AO的距离最小时，△OAM的面积最小，则M到直线AO的距离的最小值d＝3－2＝1，则△OAM的面积最小值S＝eq\f(1,2)×|OA|×d＝1.反思感悟求圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法、基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解．跟踪训练2(1)直线y＝kx＋3与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则△OAB面积的最大值为()A．1B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),4)D.eq\f(\r(3),4)答案B解析设圆心到直线的距离为d(0<d<1)，则所截得的弦长l＝2eq\r(1－d2)，所以S△ABO＝eq\f(1,2)·2eq\r(1－d2)·d＝eq\r(1－d2·d2)，由基本不等式，可得S△ABO＝eq\r(1－d2·d2)≤eq\f(1－d2＋d2,2)＝eq\f(1,2)，当且仅当d＝eq\f(\r(2),2)时，等号成立．(2)已知点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0(k>0)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k＝________.答案2解析圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为C(0,1)，半径r＝1，由圆的性质可知，四边形的面积S＝2S△PBC，又四边形PACB的最小面积是2，则S△PBC的最小值为S＝1＝eq\f(1,2)r|PB|min＝eq\f(1,2)|PB|min，则|PB|min＝2，因为|PB|＝eq\r(|PC|2－r2)＝eq\r(|PC|2－1)，所以当|PC|取最小值时，|PB|最小．又点P(x，y)是直线kx＋y＋4＝0上的动点，当CP垂直于直线kx＋y＋4＝0时，|PC|最小，即为圆心C(0,1)到直线的距离，所以eq\f(|1＋4|,\r(k2＋1))＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，解得k＝±2，因为k>0，所以k＝2.三、利用数学式的几何意义解圆的最值问题例3已知点P(x，y)在圆C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0上．(1)求eq\f(y,x)的最大值和最小值；(2)求x2＋y2＋2x＋3的最大值与最小值；(3)求x＋y的最大值与最小值．解方程x2＋y2－6x－6y＋14＝0可化为(x－3)2＋(y－3)2＝4.(1)eq\f(y,x)表示圆上的点P与原点连线所在直线的斜率，如图(1)所示，显然PO(O为坐标原点)与圆相切时，斜率最大或最小．设切线方程为y＝kx(由题意知，斜率一定存在)，即kx－y＝0，由圆心C(3,3)到切线的距离等于半径2，可得eq\f(|3k－3|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝eq\f(9±2\r(14),5)，所以eq\f(y,x)的最大值为eq\f(9＋2\r(14),5)，最小值为eq\f(9－2\r(14),5).(2)x2＋y2＋2x＋3＝(x＋1)2＋y2＋2，它表示圆上的点P到E(－1,0)的距离的平方再加2，所以当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子取得最大值或最小值，如图(2)所示，显然点E在圆C的外部，所以点P与点E距离的最大值为|P1E|＝|CE|＋2，点P与点E距离的最小值为|P2E|＝|CE|－2.又|CE|＝eq\r(3＋12＋32)＝5，所以x2＋y2＋2x＋3的最大值为(5＋2)2＋2＝51，最小值为(5－2)2＋2＝11.(3)设x＋y＝b，则b表示动直线y＝－x＋b在y轴上的截距，如图(3)所示，显然当动直线y＝－x＋b与圆(x－3)2＋(y－3)2＝4相切时，b取得最大值或最小值，此时圆心C(3,3)到切线x＋y＝b的距离等于圆的半径2，则eq\f(|3＋3－b|,\r(12＋12))＝2，即|b－6|＝2eq\r(2)，解得b＝6±2eq\r(2)，所以x＋y的最大值为6＋2eq\r(2)，最小值为6－2eq\r(2).反思感悟(1)形如u＝eq\f(y－b,x－a)形式的最值问题，可转化为过点(x，y)和(a，b)的动直线斜率的最值问题．(2)形如l＝ax＋by形式的最值问题，可转化为动直线y＝－eq\f(a,b)x＋eq\f(l,b)的截距的最值问题．跟踪训练3(多选)已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则下列说法正确的是()A．y－x的最大值为eq\r(6)－2B．x2＋y2的最大值为7＋4eq\r(3)C.eq\f(y,x)的最大值为eq\f(\r(3),2)D．x＋y的最大值为2＋eq\r(3)答案AB解析对于A，设z＝y－x，则y＝x＋z，z表示直线y＝x＋z的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，eq\f(|2＋z|,\r(2))≤eq\r(3)，解得－eq\r(6)－2≤z≤eq\r(6)－2，所以y－x的最大值为eq\r(6)－2，故A说法正确；对于B，x2＋y2的几何意义是表示圆上的点到原点距离的平方，易知原点到圆心的距离为2，则原点到圆上的最大距离为2＋eq\r(3)，所以x2＋y2的最大值为(2＋eq\r(3))2＝7＋4eq\r(3)，故B说法正确；对于C，设eq\f(y,x)＝k，把y＝kx代入圆方程得(1＋k2)x2－4x＋1＝0，则Δ＝16－4(1＋k2)≥0，解得－eq\r(3)≤k≤eq\r(3)，eq\f(y,x)的最大值为eq\r(3)，故C说法错误；对于D，设m＝x＋y，则y＝－x＋m，m表示直线y＝－x＋m的纵截距，当直线与圆(x－2)2＋y2＝3有公共点时，eq\f(|－2＋m|,\r(2))≤eq\r(3)，解得－eq\r(6)＋2≤m≤eq\r(6)＋2，所以x＋y的最大值为eq\r(6)＋2，故D说法错误．1．知识清单：(1)与距离、面积有关的最值问题(2)利用数学式的几何意义解圆的最值问题．2．方法归纳：数形结合、转化思想．3．常见误区：忽略隐含条件导致范围变大．1．圆x2＋y2＝4上的点到直线4x－3y＋25＝0的距离的取值范围是()A．[3,7] B．[1,9]C．[0,5] D．[0,3]答案A解析x2＋y2＝4，圆心(0,0)，半径r＝2，圆心到直线4x－3y＋25＝0的距离d＝eq\f(|0－0＋25|,\r(42＋－32))＝5，所以圆上的点到直线的距离的最小值为5－2＝3，最大值为5＋2＝7，所以圆上的点到直线的距离的取值范围为[3,7]．2．已知O为坐标原点，点P在单位圆上，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|的最小值为()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．2D．4答案B解析根据题意，圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4，其圆心C(4,3)，半径r＝2，过点P作圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4的切线，切点为Q，则|PQ|＝eq\r(|PC|2－4)，当|PC|最小时，|PQ|最小，又由点P在单位圆上，则|PC|的最小值为|OC|－1＝eq\r(9＋16)－1＝4，则|PQ|的最小值为eq\r(16－4)＝2eq\r(3).3．点M(x，y)在圆x2＋(y－2)2＝1上运动，则eq\f(y,x)的取值范围是()A．[eq\r(3)，＋∞)B.(－∞，－eq\r(3)]C.(－∞，－eq\r(3)]∪[eq\r(3)，＋∞)D.[－eq\r(3)，eq\r(3)]答案C解析将eq\f(y,x)看作圆上动点(x，y)与原点O(0,0)连线的斜率，如图，可得k≥eq\r(3)或k≤－eq\r(3).4．已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y＝0，动点P在圆C2：x2＋y2－4x－12＝0上，则△PC1C2面积的最大值为_________．答案4eq\r(5)解析因为C1(－2,2)，r1＝2eq\r(2)，C2(2,0)，r2＝4，所以|C1C2|＝eq\r(－2－22＋22)＝2eq\r(5)，当PC2⊥C1C2时，△PC1C2的面积最大，其最大值为eq\f(1,2)×2eq\r(5)×4＝4eq\r(5).课时对点练1．已知过点(1,1)的直线l与圆x2＋y2－4x＝0交于A，B两点，则|AB|的最小值为()A.eq\r(2)B．2C．2eq\r(2)D．4答案C解析将圆的方程x2＋y2－4x＝0化为标准方程为(x－2)2＋y2＝4，则圆心为(2,0)，半径r＝2，则圆心(2,0)到定点(1,1)的距离为eq\r(2)，|AB|的最小值为2eq\r(22－\r(2)2)＝2eq\r(2).2．已知点P是直线3x＋4y＋5＝0上的动点，点Q为圆(x－2)2＋(y－2)2＝4上的动点，则|PQ|的最小值为()A.eq\f(19,5)B.eq\f(9,5)C.eq\f(5,9)D.eq\f(29,5)答案B解析圆(x－2)2＋(y－2)2＝4的圆心为(2,2)，半径为2，则圆心到直线3x＋4y＋5＝0的距离为eq\f(|6＋8＋5|,5)＝eq\f(19,5)，所以|PQ|的最小值为eq\f(19,5)－2＝eq\f(9,5).3．已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x－1＝0，则y－2x的最小值和最大值分别为()A．－9,1 B．－10,1C．－9,2 D．－10,2答案A解析y－2x可看作是直线y＝2x＋b在y轴上的截距，如图所示，当直线y＝2x＋b与圆x2＋y2－4x－1＝0相切时，b取得最大值或最小值，此时eq\f(|2×2＋b|,\r(1＋22))＝eq\r(5)，解得b＝－9或1，所以y－2x的最大值为1，最小值为－9.4．已知直线l：x－y＋4＝0与圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，则圆C上的点到直线l的距离的最小值为()A.eq\r(2)B.eq\r(3)C．1D．3答案A解析由题意知，圆C上的点到直线l的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l的距离减去圆的半径，即eq\f(|1－1＋4|,\r(12＋－12))－eq\r(2)＝eq\r(2).5．在平面直角坐标系xOy中，已知(x1－2)2＋yeq\o\al(2,1)＝5，x2－2y2＋4＝0，则(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(1,5)C.eq\f(121,5)D.eq\f(11\r(5),5)答案B解析由已知得点(x1，y1)在圆(x－2)2＋y2＝5上，点(x2，y2)在直线x－2y＋4＝0上，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2表示(x－2)2＋y2＝5上的点和直线x－2y＋4＝0上点的距离的平方，而距离的最小值为eq\f(|2＋4|,\r(1＋4))－eq\r(5)＝eq\f(\r(5),5)，故(x1－x2)2＋(y1－y2)2的最小值为eq\f(1,5).6．已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN，M，N为切点，则当PM的最小值为eq\r(3)时，r的值为()A．2B.eq\r(3)C.eq\r(2)D．1答案D解析如图，由题意得|PM|2＝|PC|2－r2，当PC⊥l时，|PC|最小时，|PM|最小．由题意得|PC|min＝d＝eq\f(|3×－1＋4×0－7|,\r(32＋42))＝2，所以(eq\r(3))2＝22－r2，∴r＝1.7．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．答案(x－1)2＋y2＝2解析∵直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，∴圆心(1,0)到直线mx－y－2m－1＝0的最大距离为d＝eq\r(2－12＋－12)＝eq\r(2)，∴半径最大为eq\r(2)，∴半径最大的圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.8．已知圆C：(x－4)2＋(y－3)2＝4和两点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)．若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则m的最小值为________．答案3解析根据题意，点A(－m，0)，B(m，0)(m>0)，则AB的中点为(0,0)，|AB|＝2m，则以AB的中点为圆心，半径r＝eq\f(1,2)×|AB|的圆为x2＋y2＝m2，设该圆为圆O，若圆C上存在点M，使得AM⊥MB，则圆C与圆O有交点，必有|m－2|≤|OC|≤m＋2，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|m－2|≤5，,m＋2≥5，))又由m>0，解得3≤m≤7，即m的最小值为3.9．已知M为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2,3)．(1)求|MQ|的最大值和最小值；(2)若M(m，n)，求eq\f(n－3,m＋2)的最大值和最小值．解(1)由圆C的方程x2＋y2－4x－14y＋45＝0化为标准方程得(x－2)2＋(y－7)2＝8，∴圆心C的坐标为(2,7)，半径r＝2eq\r(2)，又|QC|＝eq\r(2＋22＋7－32)＝4eq\r(2)，∴|MQ|max＝4eq\r(2)＋2eq\r(2)＝6eq\r(2)，|MQ|min＝4eq\r(2)－2eq\r(2)＝2eq\r(2).(2)由题可知eq\f(n－3,m＋2)表示直线MQ的斜率，设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0，则eq\f(n－3,m＋2)＝k.由直线MQ与圆C有交点，得eq\f(|2k－7＋2k＋3|,\r(1＋k2))≤2eq\r(2)，可得2－eq\r(3)≤k≤2＋eq\r(3)，∴eq\f(n－3,m＋2)的最大值为2＋eq\r(3)，最小值为2－eq\r(3).10．已知直线l：3x＋4y＋1＝0，一个圆与x轴正半轴、y轴正半轴都相切，且圆心C到直线l的距离为3.(1)求圆的方程．(2)P是直线l上的动点，PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，求四边形PECF的面积的最小值．解(1)圆与x，y轴正半轴都相切，∴圆的方程可设为(x－a)2＋(y－a)2＝a2(a>0)，圆心C到直线的距离为3，∴由点到直线的距离公式，得d＝eq\f(|3a＋4a＋1|,\r(32＋42))＝3，解得a＝2，∴半径为2.∴圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝4.(2)PE，PF是圆的两条切线，E，F分别为切点，∴△PCE≌△PCF，∴S四边形PECF＝2S△PCE，PE是圆的切线，且E为切点，∴PE⊥CE，|CE|＝2，|PE|2＝|PC|2－|CE|2＝|PC|2－4，∴当斜边PC取最小值时，PE也最小，即四边形PECF的面积最小．|PC|min即为C到l的距离，由(1)知|PC|min＝3，∴|PE|eq\o\al(2,min)＝32－4＝5，即|PE|min＝eq\r(5)，∴S△PCE＝eq\f(1,2)|EC|·|PE|＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝eq\r(5)，∴四边形PECF面积的最小值为2eq\r(5).11．设P是圆(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的动点，Q是直线x＝－3上的动点，则|PQ|的最小值为()A．6B．4C．3D．2答案B解析如图，圆心M(3，－1)与定直线x＝－3的最短距离为|MQ|＝3－(－3)＝6.又因为圆的半径为2，故所求最短距离为6－2＝4.12．已知AC，BD为圆O：x2＋y2＝4的两条互相垂直的弦，且垂足为M(1，eq\r(2))，则四边形ABCD面积的最大值为()A．5B．10C．15D．20答案A解析如图，作OP⊥AC于P，OQ⊥BD于Q，则|OP|2＋|OQ|2＝|OM|2＝3，∴|AC|2＋|BD|2＝4(4－|OP|2)＋4(4－|OQ|2)＝20.又|AC|2＋|BD|2≥2|AC|·|BD|，则|AC|·|BD|≤10，∴S四边形ABCD＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|≤eq\f(1,2)×10＝5，当且仅当|AC|＝|BD|＝eq\r(10)时，等号成立，∴四边形ABCD面积的最大值为5.13．已知圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5，点B的坐标为(0,2)，设P，Q分别是直线l：x＋y＋2＝0和圆C上的动点，则|PB|＋|PQ|的最小值为________．答案2eq\r(5)解析由于点B(0,2)关于直线l：x＋y＋2＝0的对称点为B′(－4，－2)，则|PB|＋|PQ|＝|PB′|＋|PQ|≥|B′Q|，又B′到圆上点Q的最短距离为|B′C|－R＝3eq\r(5)－eq\r(5)＝2eq\r(5)，所以|PB|＋|PQ|的最小值为2eq\r(5).14．已知实数x，y满足方程y＝eq\r(－x2＋4x－1)，则eq\f(y,x)的取值范围是________．答案[0，eq\r(3)]解析方程y＝eq\r(－x2＋4x－1)化为(x－2)2＋y2＝3(y≥0)，表示的图形是一个半圆，令eq\f(y,x)＝k，即y＝kx，如图所示，当直线与半圆相切时，k＝eq\r(3)，所以eq\f(y,x)的取值范围是[0，eq\r(3)]．15．已知直线l：x－y＝1与圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0相交于A，C两点，点B，D分别在圆M上运动，且位于直线AC两侧，则四边形ABCD面积的最大值为________．答案eq\r(30)解析把圆M：x2＋y2－2x＋2y－1＝0化为标准方程为(x－1)2＋(y＋1)2＝3，圆心M(1，－1)，半径r＝eq\r(3).直线l与圆相交，由点到直线的距离公式得弦心距d＝eq\f(|1－－1－1|,\r(12＋－12))＝eq\f(\r(2),2)，由勾股定理得半弦长＝eq\r(3－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(10),2)，所以弦长|AC|＝2×eq\f(\r(10),2)＝eq\r(10).又B，D两点在圆上，并且位于直线l的两侧，四边形ABCD的面积可以看成是△ABC和△ACD的面积之和，当B，D为如图所示位置，即BD为弦AC的垂直平分线时(即为直径)，两三角形的面积之和最大，即四边形ABCD的面积最大，最大面积为S＝eq\f(1,2)|AC|×|BE|＋eq\f(1,2)|AC|×|DE|＝eq\f(1,2)|AC|×|BD|＝eq\f(1,2)×eq\r(10)×2eq\r(3)＝e