2024年山东省威海市经开实验中学中考数学摸底试卷（3月份）

2024年山东省威海市经开实验中学中考数学摸底试卷（3月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1．（4分）下列实数中，有理数是（）A． B． C．﹣2 D．0.6868868886…（相邻两个6之间8的个数逐次加1）2．（4分）根据人民银行发布的《金融统计数据报告》，2023年3月末社会融资规模存量为334.9万亿元，同比增长10.7%．将数字334.9万亿用科学记数法表示为（）A．3.349×1012 B．3.349×1013 C．3.349×1014 D．3.349×10153．（4分）下列计算正确的是（）A．3a+2b＝5ab B．a•a4＝a4 C．a6÷a2＝a3 D．（﹣a3b）2＝a6b24．（4分）如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，不能裁掉的是（）A．1 B．2 C．3 D．65．（4分）某学习小组做摸球试验，在一个不透明的袋子里装有红、黄两种颜色的小球共20个，除颜色外都相同．将球搅匀后，随机摸出5个球，发现3个是红球，估计袋中红球的个数是（）A．12 B．9 C．8 D．66．（4分）如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是（）A．﹣＜m＜0 B．m＞﹣ C．m＜0 D．m＜﹣7．（4分）有一个铁制零件（正方体中间挖去一个圆柱形孔）如图放置，它的左视图是（）A． B． C． D．8．（4分）每年的4月23日为“世界读书日”，某学校为了鼓励学生多读书，开展了“书香校园”的活动．如图是初三某班班长统计的全班50名学生一学期课外图书的阅读量（单位：本），则这50名学生图书阅读数量的中位数、众数和平均数分别为（）A．18，12，12 B．12，12，12 C．15，12，14.8 D．15，10，14.59．（4分）如图，在矩形ABCD中，过点D作对角线AC的垂线，垂足为E，过点E作BE的垂线交AD于点F，如果AB＝3，BC＝4，那么DF的长是（）A．3 B． C． D．10．（4分）如图，有两张矩形纸片ABCD和EFGH，AB＝EF＝2cm，BC＝FG＝8cm．把纸片ABCD交叉叠放在纸片EFGH上，使重叠部分为平行四边形，且点D与点G重合．当两张纸片交叉所成的角α最小时，sinα等于（）A． B． C． D．11．（4分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，DE∥CB．若AB＝10，CD＝6，则DE的长为（）A． B． C．6 D．12．（4分）如图，在正方形ABCD中，BC＝2，点P，Q均为AB边上的动点，BE⊥CP，垂足为E，则QD+QE的最小值为（）A．2 B．3 C． D．二、填空题：本题共6小题，共24分。13．（4分）因式分解：x2y+2xy+y＝．14．（4分）1cm3空气的质量约为0.00000129千克，数据0.00000129用科学记数法表示为．15．（4分）已知甲、乙两队员射击的成绩如图，设甲、乙两队员射击成绩的方差分别为S甲2、S乙2，则S甲2S乙2（填“＞”、“＝”、“＜”）．16．（4分）有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了个人．17．（4分）已知关于x的分式方程﹣＝1的解为负数，则k的取值范围是．18．（4分）如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，∠ABC的平分线分别交AC、AD于E、F两点，M为EF的中点，延长AM交BC于点N，连接DM．下列结论：①AE＝AF；②AM⊥EF；③AF＝DF；④DF＝DN，其中正确的结论有．三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）19．（8分）（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中．20．（10分）（1）解方程：．（2）已知方程组的解恰好是方程x+y＝11的解，求a的值．21．（10分）为了提高学生的阅读能力，我市某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书，购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示，请根据统计图回答下列问题：（1）本次调查共抽取了名学生，两幅统计图中的m＝，n＝．（2）已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人？（3）学校将举办读书知识竞赛，九年级1班要在本班3名优胜者（2男1女）中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率．22．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是BC中点．（1）尺规作图：以AC为直径作⊙O，交AB于点E（保留作图痕迹，不需写作法）；（2）求证：DE是⊙O的切线；（3）若AC＝8，AB＝10，求O到CE的距离．23．（10分）如图，分别位于反比例函数y＝，y＝在第一象限图象上的两点A、B，与原点O在同一直线上，且＝．（1）求反比例函数y＝的表达式；（2）过点A作x轴的平行线交y＝的图象于点C，连接BC，求△ABC的面积．24．（10分）某中学为营造书香校园，计划购进甲乙两种规格的书柜放置新购置的图书，调查发现，若购买甲种书柜5个，乙种书柜2个，共需要资金1380元；若购买甲种书柜4个，乙种书柜3个，共需资金1440元．（1）甲乙两种书柜每个的价格分别是多少元？（2）若该校计划购进这两种规格的书柜共24个，其中乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量，问：学校应如何购买花费资金最少，最少资金是多少？25．（10分）如图，⊙O的弦AB、CD交于点E，点A是的中点，连接AC、BC，延长DC到点P，连接PB．（1）若PB＝PE，判断PB与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AC2＝2AE2，求证：点E是AB的中点．26．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+2交x轴于A（2，0），B（6，0）两点，交y轴于点C．（1）请直接写出此抛物线与直线AC的表达式；（2）若点D是此抛物线的对称轴上的一动点，请直接写出△ADC周长的最小值；（3）P为此抛物线在第二象限图象上的一点，PG垂直于x轴，垂足为点G，若△PGA的面积被直线AC分为1：2两部分，求P点的坐标．

2024年山东省威海市经开实验中学中考数学摸底试卷（3月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．每小题选对得3分，选错、不选或多选，均不得分）1．【分析】整数是有理数，据此判断即可．【解答】解：，是无理数；，是无理数；0.6868868886……（相邻两个6之间8的个数逐次加1）是无理数，﹣2是有理数，故选：C．【点评】本题考查无理数，涉及实数的分类，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．2．【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：334.9万亿＝334900000000000＝3.349×1014，故选C．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减；积的乘方，等于各因式乘方的积；幂的乘方，底数不变指数相乘；合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，再结合同底数幂的乘法运算法则，对各选项分析判断后求解．【解答】解：A、3a+2b＝5ab无法合并，故本选项错误；B、a•a4＝a5，故本选项错误；C、a6÷a2＝a4，故本选项错误；D、（﹣a3b）2＝a6b2，故本选项正确．故选：D．【点评】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方与幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．4．【分析】根据正方体的表面展开图，即可解答．【解答】解：如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是3，故选：C．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，熟练掌握正方体的表面展开图是解题的关键．5．【分析】先求摸到红球的频率，再用20乘以摸到红球的频率即可．【解答】解：摸到红球的频率为3÷5＝0.6，估计袋中红球的个数是20×0.6＝12（个），故选：A．【点评】本题考查了用样本估计总体，关键是求出摸到红球的频率．6．【分析】根据点P在第三象限，即横纵坐标都是负数，据此即可列不等式组求得m的范围．【解答】解：根据题意得，解①得m＜0，解②得m＜．则不等式组的解集是m＜﹣．故选：D．【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法，点的坐标特征．解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解题规律是：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．7．【分析】找到从左面看所得到的图形即可．【解答】解：左边看去是一个正方形，中间有一个圆柱形孔，圆柱的左视图是矩形，所以左视图的正方形里面还要两条虚线．故选：C．【点评】本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图；注意看到的用实线表示，看不到的用虚线表示．8．【分析】利用折线统计图得到50个数据，其中第25个数为12本，第26个数是18本，从而得到数据的中位数，再求出众数和平均数．【解答】解：由折线统计图得这组数据的中位数为（12+18）÷2＝15，众数为12，平均数为（7×8+12×17+18×15+21×10）÷50＝14.8．故选：C．【点评】本题考查了折线统计图：折线图是用一个单位表示一定的数量，根据数量的多少描出各点，然后把各点用线段依次连接起来．以折线的上升或下降来表示统计数量增减变化．也考查了中位数、众数和平均数．9．【分析】根据矩形的性质可得AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，∠ADC＝90°，由勾股定理可求出AC＝5，由面积法求出DE＝，再根据勾股定理求得CE＝，因此AE＝AC﹣CE＝，由同角的余角相等可得∠BEA＝∠DEF，∠DCE＝∠FDE，由平行线的性质得∠BAE＝∠DCE，进而得到∠BAE＝∠FDE，以此证明△ABE∽△DFE，最后根据相似三角形的性质即可求解．【解答】解：四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝4，AB∥CD，∠ADC＝90°，在Rt△ADC中，＝＝5，∵DE⊥AC，∴S△ADC＝，即CD•AD＝AC•DE，∴3×4＝5×DE，∴DE＝，在Rt△CDE中，＝＝，∴AE＝AC﹣CE＝5﹣＝，∵∠CDE+∠DCE＝90°，∠CDE+∠FDE＝90°，∴∠DCE＝∠FDE，∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠DCE，∴∠BAE＝∠FDE，∵EF⊥BE，∴∠BEF＝∠BEA+∠AEF＝90°，又∵∠AEF+∠DEF＝90°，∴∠BEA＝∠DEF，∴△ABE∽△DFE，∴，即，∴DF＝．故选：D．【点评】本题主要考查矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据题意，正确找出△ABE∽△DFE是解题关键．10．【分析】由“ASA”可证△CDM≌△HDN，可证MD＝DN，即可证四边形DNKM是菱形，当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，由勾股定理求出MD的长，即可得出答案．【解答】解：如图，∵四边形ABCD和四边形EFGH是矩形，∴∠ADC＝∠HDF＝90°，CD＝AB＝2cm，∴∠CDM＝∠NDH，且CD＝DH，∠H＝∠C＝90°，∴△CDM≌△HDN（ASA），∴MD＝ND，且四边形DNKM是平行四边形，∴四边形DNKM是菱形，∴KM＝MD，∵sinα＝sin∠DMC＝，∴当点B与点E重合时，两张纸片交叉所成的角a最小，设MD＝KM＝acm，则CM＝8﹣a（cm），∵MD2＝CD2+MC2，∴a2＝4+（8﹣a）2，∴a＝（cm），∴sinα＝sin∠DMC＝＝＝，故选：B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的判定，勾股定理，全等三角形的判定和性质以及三角函数定义等知识；求MD的长是本题的关键．11．【分析】设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，根据垂径定理得出CH＝DH，DM＝EM，BN＝CN，利用勾股定理求得OH，即可求得BH，进而求得BC，求得ON，根据三角函数求得DG，因为MN＝DG，即可求得OM，根据勾股定理求得DM，得出DE．【解答】解：设AB与CD交于H，连接OD，作OM⊥DE，交BC于N，作DG⊥BC，∵DE∥BC，∴MN⊥BC，DG⊥DE，∴DG＝MN，∵OM⊥DE，ON⊥BC，∴DM＝EM＝DE，BN＝CN，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，弦DE∥CB．∴CH＝DH＝CD＝3，∴OH＝＝＝4，∴BH＝9，∴BC＝＝3，∴BN＝BC＝，∴ON＝＝，∵sin∠BCH＝＝，即＝，∴DG＝，∴MN＝DG＝，∴OM＝MN﹣ON＝，∴DM＝＝，∴DE＝2DM＝．故选：A．【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形是解题的关键．12．【分析】作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，取BC的中点F，连接EF，过D'作D'G⊥BC于G，交CB的延长线于G，当D'，Q，E，F在同一直线上时，D'Q+QE+EF的最小值等于D'F的长，此时QD+QE+EF的值最小，根据勾股定理进行计算，即可得到QD+QE的最小值．【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点D'，连接D'Q，取BC的中点F，连接EF，过D'作D'G⊥BC于G，交CB的延长线于G，∵BE⊥CP，∴Rt△BCE中，EF＝BC＝1，∵D'G＝DC＝2，BG＝BC＝2，∴GF＝2+1＝3，当D'，Q，E，F在同一直线上时，D'Q+QE+EF的最小值等于D'F的长，此时QD+QE+EF的值最小，∵Rt△D'GF中，D'F＝＝＝，∴QD+QE的最小值为D'F﹣EF＝﹣1，故选：D．【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二、填空题：本题共6小题，共24分。13．【分析】此多项式有公因式，应先提取公因式，再对余下的多项式进行观察，有3项，可采用完全平方公式继续分解．【解答】解：x2y+2xy+y＝y（x2+2x+1）＝y（x+1）2．故答案为：y（x+1）2．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．14．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00000129＝1.29×10﹣6，故答案为：1.29×10﹣6．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．15．【分析】先计算两组数据的平均数，再计算它们的方差，即可得出答案．【解答】解：甲射击的成绩为：6，7，7，7，8，8，9，9，9，10，乙射击的成绩为：6，7，7，8，8，8，8，9，9，10，则甲＝×（6+7×3+8×2+9×3+10）＝8，乙＝×（6+7×2+8×4+9×2+10）＝8，∴S甲2＝×[（6﹣8）2+3×（7﹣8）2+2×（8﹣8）2+3×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝×[4+3+3+4]＝1.4；S乙2＝×[（6﹣8）2+2×（7﹣8）2+4×（8﹣8）2+2×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝×[4+2+2+4]＝1.2；∵1.4＞1.2，∴S甲2＞S乙2，故答案为：＞．【点评】此题主要考查了平均数及方差的知识．方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．16．【分析】根据题意可得第一轮人数加第二轮人数，再加第三轮人数总数为169人，设平均每人感染x人，则列式为1+x+（x+1）x＝169．即可解答．【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意，得x+1+（x+1）x＝169x＝12或x＝﹣14（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了12个人．故答案为：12．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是掌握增长率问题．17．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，根据解为负数确定出k的范围即可．【解答】解：去分母得：（x+k）（x﹣1）﹣k（x+1）＝x2﹣1，去括号得：x2﹣x+kx﹣k﹣kx﹣k＝x2﹣1，移项合并得：x＝1﹣2k，根据题意得：1﹣2k＜0，且1﹣2k≠±1解得：k＞且k≠1故答案为：k＞且k≠1．【点评】此题考查了分式方程的解，本题需注意在任何时候都要考虑分母不为0．18．【分析】根据等腰直角三角形的性质及角平分线的定义求得∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，继而可得∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，即可判断①；由M为EF的中点且AE＝AF可判断②；作FH⊥AB，根据角平分线的性质可得FD＝FH＜FA，可判断③；证△FBD≌△NAD可判断④．【解答】解：∵∠BAC＝90°，AC＝AB，AD⊥BC，∴∠ABC＝∠C＝45°，AD＝BD＝CD，∠ADN＝∠ADB＝90°，∴∠BAD＝45°＝∠CAD，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝∠ABC＝22.5°，∴∠BFD＝∠AEB＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠AFE＝∠BFD＝∠AEB＝67.5°，∴AF＝AE，故①正确；∵M为EF的中点，∴AM⊥EF，故②正确；过点F作FH⊥AB于点H，∵BE平分∠ABC，且AD⊥BC，∴FD＝FH＜FA，故③错误；∵AM⊥EF，∴∠AMF＝∠AME＝90°，∴∠DAN＝90°﹣67.5°＝22.5°＝∠MBN，在△FBD和△NAD中，，∴△FBD≌△NAD（ASA），∴DF＝DN，故④正确；故答案为：①②④．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，直角三角形斜边上中线性质的应用，能正确证明推出两个三角形全等是解此题的关键．三、解答题（本大题共8小题，共62.0分）19．【分析】（1）根据绝对值的性质、零指数幂的意义、二次根式的乘除运算法则、特殊角的锐角三角函数的值即可求出答案．（2）根据分式的加减运算法则、乘除运算法则进行化简，然后将x的值代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）原式＝＝＝0；（2）原式＝＝＝，当时，原式＝．【点评】本题考查实数的混合运算以及分式的化简求值，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则、乘除运算法则、绝对值的性质、零指数幂的意义、二次根式的乘除运算法则、特殊角的锐角三角函数的值，本题属于基础题型．20．【分析】（1）利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可；（2）将两个方程相加后根据已知条件即可求得答案．【解答】解：（1）原方程去分母得：x﹣3+2（x+3）＝12，整理得：3x+3＝12，解得：x＝3，检验：当x＝3时，（x+3）（x﹣3）＝0，则x＝3是分式方程的增根，故原方程无解；（2）将两个方程相加得：7x+7y＝2a﹣3，则x+y＝，那么＝11，解得：a＝40．【点评】本题考查解二元一次方程组及分式方程，熟练掌握解方程组及方程的方法是解题的关键．21．【分析】（1）用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数；用喜欢阅读“B”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m的值，然后用30除以调查的总人数可以得到n的值；（2）用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可；（3）画树状图展示所有6种等可能的结果数，找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：（1）68÷34%＝200，所以本次调查共抽取了200名学生，m＝200×42%＝84，n%＝×100%＝15%，即n＝15；（2）3600×34%＝1224，所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人；（3）画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4，所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．22．【分析】（1）根据语句作图即可；（2）连接OE，CE，根据圆周角定理可得∠CEB＝90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝ED，进而可以解决问题；（3）过点O作OF⊥CE于点F，根据垂径定理证明OF是△ACE的中位线，所以OF＝AE，然后利用三角形的面积求出CE的长，再利用勾股定理可得AE，进而可以解决问题．【解答】（1）解：如图，⊙O即为所求；（2）证明：如图，连接OE，CE，∵AC为⊙O的直径，∴∠AEC＝90°，∴∠CEB＝90°，∵D是BC中点，∴CD＝ED，∴∠DCE＝∠DEC，∵OC＝OE，∴∠OCE＝∠OEC，∴∠OED＝∠OEC+∠DEC＝∠OCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；（3）解：如图，过点O作OF⊥CE于点F，∴F是CE的中点，∵O是AC的中点，∴OF是△ACE的中位线，∴OF＝AE，在△ABC中，∠ACB＝90°，∵AC＝8，AB＝10，∴BC＝＝6，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴10CE＝8×6，∴CE＝4.8，∴AE＝＝＝6.4，∴OF＝3.2，∴O到CE的距离为3.2．【点评】本题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解决本题的关键是掌握切线的判定与性质．23．【分析】（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F，根据△AOE∽△BOF，则设A的横坐标是m，则可利用m表示出A和B的坐标，利用待定系数法求得k的值；（2）根据AC∥x轴，则可利用m表示出C的坐标，利用三角形的面积公式求解．【解答】解：（1）作AE、BF分别垂直于x轴，垂足为E、F．∵△AOE∽△BOF，又＝，∴＝＝＝．由点A在函数y＝的图象上，设A的坐标是（m，），∴＝＝，＝＝，∴OF＝3m，BF＝，即B的坐标是（3m，）．又点B在y＝的图象上，∴＝，解得k＝9，则反比例函数y＝的表达式是y＝；（2）由（1）可知，A（m，），B（3m，），又已知过A作x轴的平行线交y＝的图象于点C．∴C的纵坐标是，把y＝代入y＝得x＝9m，∴C的坐标是（9m，），∴AC＝9m﹣m＝8m．∴S△ABC＝×8m×＝8．【点评】本题考查了待定系数法确定函数关系式以及相似三角形的判定与性质，正确利用m表示出个点的坐标是关键．24．【分析】（1）设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，根据题意列方程组即可；（2）设购买甲种书柜m个．则购买乙种书柜（24﹣m）个，所需资金为w元，乙种书柜的数量不少于甲种书柜的数量得出m的取值范围，所需经费＝甲种书柜总费用+乙种书柜总费用，列出函数解析式，根据一次函数的性质求值即可．【解答】解：（1）设甲乙两种书柜每个的价格分别是x、y元，由题意得：，解得：，答：甲种书柜单价180元，乙种书柜单价240元；（2）设购买甲种书柜m个．则购买乙种书柜（24﹣m）个，所需资金为w元，由题意得：24﹣m≥m，解得：m≤12，w＝180m+240（24﹣m）＝﹣60m+5760，∵﹣60＜0，w随m的增大而减小，∵0≤m≤12，∴当m＝12时，w取最小值，wmin＝﹣60×12+5760＝5040（元），答：购买甲书柜12个，乙书柜12个时，资金最少．最少资金5040元．【点评】本题考查一次函数的应用以及二元一次方程组和一元一次不等式的解法，关键是一次函数性质的应用．25．【分析】（1）根据点A是的中点求出∠AFE＝90°，求出∠OAE+∠AED＝90°，根据∠OAE＝∠OBA，∠PEB＝∠PBE推出∠OB+∠PBE＝90°，即∠OBP＝90°，根据切线的判定得出即可；（2）根据相似三角形的判定得出△ACE∽△ABC，得出比例式＝，求出AB＝2AE，即可得出答案．【解答】解：（1）PB与⊙O相切，理由是：连接OA、OB，OA交CD于F，∵点A是的中点，∴OA⊥CD，