常微分方程试题及参考答案

常微分方程试题一、填空题(每小题3分，共39分)1.常微分方程中的自变量个数是________.2.路程函数S(t)的加速度是常数a，则此路程函数S(t)的一般形式是________.3.微分方程=g()中g(u)为u的连续函数，作变量变换________，方程可化为变量分离方程.4.微分方程F(x,y′)=0中令P=y′,若x、P平面上的曲线F(x,P)=0的参数形式为x=(t),P=ψ(t),t为参数，则方程参数形式的通解为________.5.方程=(x+1)3的通解为________.6.如果函数f(x,y)连续，y=

(x)是方程=f(x,y)的定义于区间x0≤x≤x0+h上，满足初始条件

(x0)=y0的解.则y=

(x)是积分方程________定义于x0≤x≤x0+h上的连续解.7.方程=x2+xy，满足初始条件y(0)=0的第二次近似解是________.8.方程+a1(t)

+…+an-1(t)

+an(t)x=0

中ai(t)

i=1,2,…，n是〔a,b〕上的连续函数，又x1(t),x2(t),…，xn(t)为方程n个线性无关的解，则其伏朗斯基行列式W(t)应具有的性质是：________.9.常系数线性方程x(4)(t)-2x″(t)+x(t)=0的通解为________.10.设A(t)是区间a≤t≤b上的连续n×n矩阵，x1(t),x2(t),…，xn(t)是方程组x′=A(t)x的n个线性无关的解向量.则方程组的任一解向量x(t)均可表示为：x(t)=________的形式.11.初值问题(t)+2x″(t)-tx′(t)+3x(t)=e-t,x(1)=1,x′(1)=2,x″(1)=3可化为与之等价的一阶方程组________.12.如果A是3×3的常数矩阵，-2为A的三重特征值，则方程组x′=Ax的基解矩阵expAt=________.13.方程组

的奇点类型是________.二、计算题(共45分)1.(6分)解方程

=.2.(6分)解方程

x″(t)+

=0.3.(6分)解方程

(y-1-xy)dx+xdy=0.4.(6分)解方程5.(7分)求方程：

S″(t)-S(t)=t+1

满足S(0)=1,(0)=2的解.6.(7分)求方程组

的基解矩阵Φ(t).7.(7分)验证方程：

有奇点x1=1,x2=0,并讨论相应驻定方程的解的稳定性.三、证明题(每小题8分，共16分)1.设f(x,y)及连续，试证方程

dy-f(x,y)dx=0

为线性方程的充要条件是它有仅依赖于x的积分因子.2.函数f(x)定义于-∞<x<+∞，且满足条件|f(x1)-f(x2)|≤N|x1-x2|,其中0<N<1,证明方程

x=f(x)

存在唯一的一个解.

常微分方程试题参考答案一、填空题(每小题3分，共39分)1.

12.2+c1t+c23.u=4.

c为任意常数5.y=(x+1)4+c(x+1)26.y=y0+

7.(x)=8.对任意t9.x(t)=c1et+c2tet+c3e-t+c4te-t10.x(t)=c1x1(t)+c2x2(t)+cnxn(t)11.

x1(1)=1,x2(1)=2,x3(1)=312.expAt=e-2t[E+t(A+2E)+]13.焦点二、计算题（共45分）1.

解：将方程分离变量为

改写为

等式两边积分得

y-ln|1+y|=ln|x|-

即

y=ln

或

ey=2.

解：令

则得

=0

当0时

-

arccosy=t+c1

y=cos(t+c1)

即

则x=sin(t+c1)+c2

当=0时

y=

即x

3.

解：这里M=y-1-xy,

N=x

令u=xye-x

u关于x求偏导数得

与Me-x=ye-x-e-x-xye-x

相比有

则

因此

u=xye-x+e-x

方程的解为

xye-x+e-x=c4.

解：方程改写为

这是伯努利方程，令

z=y1-2=y-1

代入方程

得

解方程

z=

=

于是有

或

5.

特征方程为

特征根为

对应齐线性方程的通解为s(t)=c1et+c2e-t

f(t)=t+1,

不是特征方程的根

从而方程有特解=（At+B）,代入方程得

-(At+B)=t+1

两边比较同次幂系数得

A=B=-1

故通解为

S(t)=c1et+c2e-t-(t+1)

据初始条件得

c1=

因此所求解为：S(t)=6.

解：系数矩阵A=则，而det

特征方程det()=0,有特征根

对对对

因此基解矩阵

7.

解：因

故x1=1，x2=0是方程组奇点令X1=x1-1,X2=x2,即x1=X1+1,x2=X2代入原方程，得

化简得

*

这里R(X)=,显然

（当时）方程组*中，线性部分矩阵

det(A-)=

由det(A-)=0

得可见相应驻定解渐近稳定三、证明题（每小题8分，共16分）1.证明：若dy-f(x,y)dx=0为线性方程则f(x,y)=因此仅有依赖于x的积分因子反之，若仅有依赖于x的积分因子。这里Ｍ＝－f(x,y),N=1由-

方程为

这是线性方程.2.证明：由条件|f(x1)-f(x2)|N|x1-x2|,易知，f(x)为连续函数，任取x0作逐步点列

xn+1=f(xn)

n=0,1,考虑级数x0+因由归纳法知对任意k,|xk-xk-1|故级数x0+

收敛即序列{xn}收敛，设

对xn+1=f(xn),两边求极限，注意f(x)连续，故x*=f(x*)即x*是方程x=f(x)的解又设是方程x=f(x)的任一解，则因N<1,必有x*=因此解是唯一的常微分方程试题库二、计算题（每题6分）1.解方程：SKIPIF1<0；2.解方程：SKIPIF1<0；3.解方程：；4.解方程：SKIPIF1<0；5.解方程：SKIPIF1<0；6.解方程：SKIPIF1<0；7.解方程：SKIPIF1<0；8.解方程：SKIPIF1<0；9.解方程：SKIPIF1<0；10.解方程：SKIPIF1<0；11.解方程：SKIPIF1<0；12.解方程：SKIPIF1<0；13.解方程：SKIPIF1<0；14.解方程：SKIPIF1<0；15.解方程：SKIPIF1<0；16.解方程：SKIPIF1<0；17.解方程：SKIPIF1<0；18.解方程：SKIPIF1<0；19.解方程：SKIPIF1<0；20.解方程：SKIPIF1<0；选题说明：每份试卷选2道题为宜。二、计算题参考答案与评分标准：（每题6分）1.解方程：SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0是原方程的常数解，（2分）当SKIPIF1<0时，原方程可化为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2分）积分得原方程的通解为：SKIPIF1<0.（2分）2.解方程：SKIPIF1<0解：由一阶线性方程的通解公式SKIPIF1<0（2分）SKIPIF1<0SKIPIF1<03.解方程：解：由一阶线性方程的通解公式SKIPIF1<0（2分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2分）4.解方程：SKIPIF1<0解：由一阶线性方程的通解公式SKIPIF1<0（2分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0（2分）SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2分）5.解方程：SKIPIF1<0解：原方程可化为：SKIPIF1<0，（2分）即SKIPIF1<0，（2分）原方程的通解为：SKIPIF1<0.（2分）6.解方程：SKIPIF1<0解：原方程可化为：SKIPIF1<0，（2分）即SKIPIF1<0，（2分）原方程的通解为：SKIPIF1<0.（2分）7.解方程：SKIPIF1<0解：因为SKIPIF1<0，所以原方程为全微分方程，（2分）由SKIPIF1<0，（1分）得:SKIPIF1<0，（2分）故原方程的通解为：SKIPIF1<0.（1分）8.解方程：SKIPIF1<0

解：其特征方程为：SKIPIF1<0，（1分）特征根为SKIPIF1<0为2重根，SKIPIF1<0.（2分）所以其基本解组为：SKIPIF1<0，（2分）原方程的通解为：SKIPIF1<0.（1分）9.解方程：SKIPIF1<0解：其特征方程为：SKIPIF1<0，（1分）特征根为：SKIPIF1<0为3重根，SKIPIF1<0，为2重根，SKIPIF1<0为2重根.（2分）所以其基本解组为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2分）原方程的通解为：SKIPIF1<0.（1分）10.解方程：SKIPIF1<0解：其特征方程为：SKIPIF1<0，（1分）特征根为：SKIPIF1<0.（2分）所以其实基本解组为：SKIPIF1<0，（2分）原方程的通解为：SKIPIF1<0.（1分）11.解方程：SKIPIF1<0；解：原方程可化为：SKIPIF1<0，（2分）积分得通解为：SKIPIF1<0.（4分）12.解方程：SKIPIF1<0解：原方程可化为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（3分）积分得原方程的通解为：SKIPIF1<0.（3分）13.解方程：SKIPIF1<0解：原方程可化为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（3分）积分得原方程的通解为：SKIPIF1<0.（3分）14.解方程：SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0是原方程的常数解，（1分）当SKIPIF1<0时，原方程可化为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2分）积分得原方程的通解为：SKIPIF1<0.（3分）15.解方程：SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0是原方程的常数解，（1分）当SKIPIF1<0时，原方程可化为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2分）积分得原方程的通解为：SKIPIF1<0.（3分）16.解方程：SKIPIF1<0解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是原方程的常数解，（1分）当SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，原方程可化为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，（2分）积分得原方程的通解为：SKIPIF1<0.（3分）17.解方程：SKIPIF1<0解：分析可知SKIPIF1<0是其特解.（2分）对应齐方程的SKIPIF1<0通解为：SKIPIF1<0，