2024年广东省湛江市霞山区乐群学校中考一模数学试题（含解析）

2024年广东省湛江市霞山区乐群学校中考数学一模试卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．的相反数的倒数是（

）A．2023 B． C． D．2．某种细菌的半径约为米，数据用科学记数法表示为（

）A． B． C． D．3．下列几何体中，主视图（主视图也称正视图）和俯视图形状不相同的是（）A． B． C． D．4．计算，正确的结果是（

）A． B． C． D．5．为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入阳光特色大课间，小聪把它抽象成图2的数学问题：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，，则∠E的度数是（

）A．30° B．40° C．60° D．70°6．已知一组数据：1，2，a，b，5，8的平均数和中位数都是4（a，b均为正整数，在去掉其中的一个最大数后，该组数据的（

）A．中位数不变 B．众数不变 C．平均数不变 D．方差不变7．已知不等式组的解集为，则（

）A． B． C． D．无法确定8．点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，可推出DE∥BC的条件是（）A．＝，＝ B．＝，＝C．＝，＝ D．＝，＝9．如图，是内接四边形的一个外角，若，则的度数是（）A． B． C． D．10．如图，在扇形中，有一动点P从点O出发，沿匀速运动，则的长度s与时间t之间的函数关系用图象描述大致是（）A． B．C． D．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．分解因式：﹣=．12．化简：．13．若二次根式有意义，实数则x的取值范围是．14．如图，小明在操场上从A点出发，沿直线前进8米后向左转45°，再沿直线前进8米后，又向左转45°；照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走了米．

15．若单项式与是同类项，则m+n=．16．如图，AB，BC是⊙O的两条弦，AB垂直平分半径OD，∠ABC＝75°，BC＝cm，则OC的长为cm．三．解答题（共9小题，满分66分）17．计算：．18．先化简，再求值：，其中．19．不透明的口袋里装有如图所示的标有数字的三种颜色的小球（大小、形状相同），其中红球有个，蓝球有个，现从中任意摸出一个是红球的概率为．(1)求袋中黄球的个数；(2)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个球，请用树状图法或列表法求两次摸到都是红球的概率；(3)若小明共摸次球（每次摸个球，摸后放回），球面得分之和为，问：小明有哪几种摸法？（只考虑分数的组合，不考虑个球被摸出的先后顺序）20．已知关于x的一元二次方程求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；若a和b是这个一元二次方程的两个根，求的最小值．21．如图，已知在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，延长DC到点E，使CE＝CD，延长BC到点F，使CF＝BC，顺次连接点B，E，F，D，且BD＝1，AC＝．(1)求菱形ABCD的面积；(2)求证：四边形BEFD是矩形；(3)四边形BEFD的周长为

．22．随着疫情的消失，三年的管控使人们的消费和旅游在年的“五一”假期得以全面释放．小明和小军分别骑车和驾车从本村出发，沿同一条公路去东门外生态公园游玩．小明骑一段时间后，小军驾车出发，结果半路遭遇堵车，当小明迫上小军后，小军坐小明的自行车一起去生态公园小军泊车时间忽略不计，如图是小明、小军两人在去生态公园过程中经过的路程与小明出发时间之间的函数图像．请结合图像回答：

(1)村与公园的距离为______，小明骑车速度是______．(2)小军在离开村多少公里处遭遇堵车？从小军遇到堵车到追上小明用了多长时间？(3)直接写出两人何时相距？23．如图，为⊙的直径，点是⊙上一点，与⊙相切于点，过点作，连接，．(1)求证：是的角平分线；(2)若，，求的长．24．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点，顶点为D（0，4），AB＝，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'．（1）求抛物线C的函数表达式；（2）若抛物线C'与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点．①抛物线C'的解析式为（用含m的关系式表示）；②求m的取值范围；（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C'上的对应点为P'，设M是C上的动点，N是C'上的动点，试探究四边形PMP'N能否成为正方形，若能，求出m的值；若不能，请说明理由．25．在中，，点D为的中点，点E、F分别在边、上，且满足．(1)如图1，当时，若，，则＝；(2)如图2，当时，求证：；(3)如图3，当时将沿翻折，边与交于点G，若，，求的长．

参考答案与解析1．A【分析】根据相反数的定义：“只有符号不同的两个数叫做相反数”，倒数的定义：“乘积为1的两个数叫做倒数”，进行求解即可．【解答】解：的相反数为，的倒数为：2023；故选A．2．B【分析】根据绝对值小于1的数表示成科学记数法的形式表示即可．【解答】．故选：B【点拨】本题考查了把绝对值小于1的数表示成科学记数法，其形式为，n为正整数，且n为原数的第一个非零数字起左边的零的个数，包括小数点前的零．3．D【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据从正面看得到的图形是主视图，从上面看得到的图形是俯视图，可得答案，掌握三视图的定义是解题的关键．【解答】A、主视图、俯视图都是等腰三角形，故A不符合题意；B、主视图、俯视图都是矩形，故B不符合题意；C、主视图、俯视图都是矩形，故C不符合题意；D、主视图是两个相邻的矩形、俯视图是三角形，故D符合题意；故选：D．4．B【分析】根据同底数幂的除法运算法则求解即可．【解答】解：．故选B．【点拨】本题考查了同底数幂的除法．解题的关键在于正确的计算．5．A【分析】过点作，先根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论、平行线的性质可得，然后根据角的和差即可得．【解答】解：如图，过点作，，，，，，，，，故选：A．【点拨】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．6．B【分析】根据该组数据的平均数得出a+b的值，再根据中位数得出a、b的值，讨论去掉一个最大数后，该组数据的平均数、标准差和中位数、众数的变化情况．【解答】解：根据数据1，2，a，b，5，8的平均数为4，得（1+2+a+b+5+8）=6×4，解得a+b=8；由中位数是4，所以a=b=4或a=3，b=5；去掉一个最大数8后，该组数据的平均数和方差都变小，中位数可能是4，也可能是3，当a=b=4时，众数与原来相同，都是4；当a=3，b=5时，众数与原来也相同，都是5．故选：B．【点拨】本题考查了数据的分析与应用问题，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数，方差的定义以及求解方法，属于基础题．7．A【分析】本题考查不等式和有理数的乘方，解题的关键是先根据不等式求出，的值，再根据有理数的乘方进行运算，即可．【解答】解不等式组，解得：，∵不等式的解集为：，∴，，解得：，∴．故选：A．8．B【分析】根据平行线分线段成比例定理判断即可．【解答】解：当＝或＝时，DE∥BC，B选项中，＝，＝，∴＝，∴DE∥BC，故选：B．【点拨】本题考查的是平行线的判定，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．9．C【分析】根据圆内接四边形对角互补即可求得答案．【解答】解：∵四边形是内接四边形，∴，∵，∴，∵，∴，故选：C．【点拨】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握知识点是解题关键．10．B【分析】本题考查的是动点问题的函数图象；根据从点O到点A的过程中逐渐增大，从点A到点B的过程中的长度为定值，从点B到点O的过程中逐渐变小，可得答案．【解答】解：∵圆的半径为定值，∴从点O到点A的过程中逐渐增大，当点P从点A到点B的过程中的长度为定值，当点P从点B到点O的过程中逐渐变小．用图象描述大致是：故选：B．11．【分析】利用平方差公式分解即可．【解答】故答案为：【点拨】本题考查了用平方差公式分解因式，关键是掌握平方差公式的特征：是两项，且异号；每项的绝对值可表示为一个数的平方．12．【分析】先对二次根式进行化简，再进行平方计算即可．【解答】解：，故答案为：．【点拨】本题考查了实数的运算，熟练掌握二次根式的化简和乘方运算是解题的关键．13．【分析】根据二次根式的定理，被开方数大于等于0列出不等式即可求解．【解答】由定理得被开方数，故填：．【点拨】本题考查二次根式的定义，掌握二次根式的定理是解题的关键．14．【分析】根据多边形的外角和即可求出答案．【解答】解：根据题意可知：∵小明需要转次才会回到原点，∴小明共走了米，故答案为：．【点拨】本题考查了利用多边形的外角和定理求多边形的边数，熟练掌握任何一个多边形的外角和都是是解题的关键．15．5【分析】根据同类项可直接进行求解．【解答】解：由单项式与是同类项，可得：，解得：n=1；∴；故答案为5．【点拨】本题主要考查同类项，熟练掌握同类项的概念是解题的关键．16．4【分析】如图：连接．由AB垂直平分半径OD可得即进而得到再说明明为等腰直角三角形即可求解．【解答】解：如图：连接OA，OB.∵AB垂直平分半径OD，∴∴又∵∴又∵OB=OC，∴∴△OBC是等腰直角三角形,∴cm．故答案为4．【点拨】本题属于圆的综合题，主要解直角三角形、等腰三角形的判定与性质等知识点，根据题意得到是解题答本题的关键．17．1【分析】分别计算乘方运算，零次幂，特殊角的三角函数值，绝对值，再合并即可得到答案．【解答】解：【点拨】本题考查的是乘方运算，零次幂的含义，绝对值的化简，特殊角的三角函数值，二次根式的加减运算，掌握以上知识是解题的关键．18．，【分析】此题考查了分式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．同时还考查了分母有理化．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则变形，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．【解答】解：．当时，原式．19．(1)袋中黄球的个数是1个(2)(3)有三种摸法：摸红球次，黄球次；摸红球次，黄球次，蓝球次；摸红球次，黄球次，蓝球次【分析】本题考查概率的知识，解题的关键是掌握概率的运用，树状图和列表法求出所有结果的可能性，进行解答，即可．（1）根据题意，设有个黄球，根据概率公式，即可；（2）根据题意，运用树状图和列表法求出所有结果的可能性，进行解答，即可；（3）设小明摸到红球有次，摸到黄球有次，则摸到蓝球有次，再根据球面得分之和为，进行计算，即可．【解答】（1）设有个黄球∵红球有个，蓝球有个，任意摸出一个是红球的概率为∴，解得：，经检验，是原方程的解，且符合题意，答：袋中黄球的个数是个．（2）列表法如下：红红蓝黄红/（红，红）（红，蓝）（红，黄）红（红，红）/（红，蓝）（红，黄）蓝（红，蓝）（红，蓝）/（蓝，黄）黄（红，黄）（红，黄）（黄，蓝）/共种等可能的结果，其中两次摸到都是红球的有种，∴两次摸到都是红球的概率为．（3）设小明摸到红球有次，摸到黄球有次，则摸到蓝球有次∴整理得：∴∵，，均为自然数∴当时，，；当时，，；当时，，；综上所述，小明共有三种摸法：摸红球次，黄球次；摸红球次，黄球次，蓝球次；摸红球次，黄球次，蓝球次．20．（1）证明见解析；（2）3.【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=m2+4＞0，从而证出无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）由根与系数的关系可得出a+b=﹣[﹣（m+2）]，ab=m，结合a2+b2=（a+b）2﹣2ab解答．【解答】（1）在关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m=0中a=1，b=﹣（m+2），c=m，所以△=m2+4m+4﹣4m=m2+4，无论m取何值，m2+4＞0，所以，无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）因为a和b是这个一元二次方程的两个根，所以a+b=﹣[﹣（m+2）]=m+2，ab=m，所以a2+b2=（a+b）2﹣2ab=（m+2）2﹣2m=m2+2m+4=（m+1）2+3．无论m为何值，（m+1）2≥0，所以a2+b2的最小值为3．【点拨】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2=﹣，x1•x2=．21．(1)菱形ABCD的面积为；(2)见解析(3)【分析】（1）直接由菱形的面积公式求解即可；（2）先证四边形BEFD是平行四边形，再由三角形中位线定理得OCBE，则BE⊥BD，得∠DBE=90°，即可得出结论；（3）由三角形中位线定理得出BE的长，再由矩形的性质得EF=BD=1，BE=DF=，即可求解．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是菱形，BD=1，AC=，∴=AC•BD=××1=；（2）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OB=OD，∵CE=CD，CF=BC，∴四边形BEFD是平行四边形，OC是△BDE的中位线，∴OCBE，∴BE⊥BD，∴∠DBE=90°，∴平行四边形BEFD是矩形；（3）解：∵四边形ABCD是菱形，∴OC=OA=AC，由（2）可知，OC是△BDE的中位线，∴BE=2OC=AC=，∵四边形BEFD是矩形，∴EF=BD=1，BE=DF=，∴四边形BEFD的周长=2（BD+BE）=2+2，故答案为：2+2．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．22．(1)，(2)公里；(3)或或或时【分析】（1）从小明的图像可以得到村与公园的距离，根据路程、速度和时间的关系式也可以算得小明的骑车速度；（2）利用图像和待定系数法不难得到小军、小明经过路程与小明出发时间之间的函数关系式，然后在小明的函数关系式中令即可得到小军遭遇堵车的路程处．在小军的函数关系式中令路程为即可得到小军遭遇堵车的时间，从而算出从小军遇到堵车到小明追上小军的时间；（3）分，，，几种情况讨论可以得到解答．【解答】（1）解：，从图中可以看出村与公园的距离为，小明骑车速度是，故答案为：，．（2）解：由题意不难得到小明路程与小明出发时间之间的函数关系为：，当时，，即为；当时，，在小军经过的路程与小明出发时间之间的函数图像上，设，则：，解得：，小军经过的路程与小明出发时间之间的函数关系式为：，从图像可以看出，当时，，小军在离开村公里处遭遇堵车，在中，若，则，，从小军遇到堵车到小明追上小军用了．（3）解：可以分以下几种情况讨论：当时，，解得，；当时，，解得，；当时，，解得，；当时，，解得，；综上所述，当小明出发时间分别为或或或时，小军与小明两人何时．【点拨】本题考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图像、待定系数法的应用、分类讨论的思想方法及路程、速度、时间三者之间的关系是解题关键．23．(1)见解析(2)【分析】本题考查圆，相似三角形的知识，解题的关键是掌握圆的基本性质，切线定理，相似三角形的判定和性质，即可．（1）连接，根据切线定理，则，再根据，则，等量代换，则，再根据，即可；（2）根据，，则，推出，即可．【解答】（1）证明：连接，∵与⊙相切于点，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即是的角平分线．（2）∵，∵是的直径，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．24．（1）y＝﹣x2+4；（2）①y＝（x﹣2m）2﹣4；②2＜m＜2；（3）能，m＝﹣3或6．【分析】（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2，0），再设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A（2，0）代入可得a＝﹣即可解答；（2）①由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），可得出抛物线C′的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣4；②联立两抛物线的解析式，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则得到关于m的不等式组，解不等式组即可解决问题；（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF＝FM，∠PFM＝90°，易证△PFE≌△FMH，可得PE＝FH＝2，EF＝HM＝2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．【解答】解：（1）由题意抛物线的顶点C（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y＝ax2+4，把A（﹣2，0）代入可得a＝﹣，∴抛物线C的函数表达式为y＝﹣x2+4．（2）①∵将抛物线C绕点F旋转180°，得到新的抛物线C'，∴抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），∴抛物线C′的解析式为y＝（x﹣2m）2﹣4，故答案为：y＝（x﹣2m）2﹣4．②由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8＝0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解得2＜m＜2，∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2．（3）结论：四边形PMP′N能成为正方形．理由：情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，∴PF＝FM，∠