高中数学第三章三角恒等变换3 1两角和与差的三角函数3 1 3两角和与差的正切教案苏教版必修4

3．1.3两角和与差的正切eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))教学分析由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例题的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．三维目标1．会由两角和与差的正、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式证明．3．通过推导两角和与差的正切公式以及运用公式解决具体问题，使学生从中体会化归思想的作用．4．通过对例题解题思路的探求，使学生学会用分析的方法寻求解题思路．重点难点教学重点：两角和与差的正切公式的推导及运用．教学难点：运用公式解决简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明过程中解题思路的探求．课时安排2课时eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))第1课时导入新课思路1.(复习导入)前面我们推出了公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α＋β)、S(α－β)后自然想到两角和与差的正切，即有没有tan(α－β)，tan(α＋β)的公式呢？由此导入新课．思路2.(问题导入)我们现在很容易由两角和与差的正弦、余弦公式求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，那么能不能直接由tan45°和tan30°求出tan15°呢？推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))1．推导两角和与差的正切公式．2．用两角和与差的正切公式进行简单的三角函数式的化简、求值及三角恒等式的证明．教师引导学生回顾并写出两角和与差的正弦、余弦公式及同角三角函数关系式．点拨学生推出tan(α－β)，tan(α＋β)．学生很容易想到利用同角三角函数关系式，化弦为切得到．但学生很可能想不到讨论，这时教师不要直接提醒，让学生自己悟出来．当cos(α＋β)≠0时，tan(α＋β)＝eq\f(sinα＋β,cosα＋β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ－sinαsinβ).如果cosαcosβ≠0，即cosα≠0且cosβ≠0时，分子分母同除以cosαcosβ，得tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)，根据角α、β的任意性，在上面的式子中，β用－β代之，则有tan(α－β)＝eq\f(tanα＋tan－β,1－tanαtan－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ).由此推得两角和与差的正切公式，简记为T(α－β)、T(α＋β)．让学生自己联想思考，两角和与差的正切公式中α、β、α±β的取值是任意的吗？学生回顾自己的公式探究过程可知，α、β、α±β都不能等于eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)，并引导学生分析公式结构特征，加深公式记忆．至此，教师与学生一起归类总结，我们把前面六个公式分类比较可得：C(α＋β)、S(α＋β)、T(α＋β)叫和角公式；S(α－β)、C(α－β)、T(α－β)叫差角公式．并由学生综合分析以上六个公式的推导过程，从而得出以下逻辑联系图．可让学生自己画出这六个框图．通过逻辑联系图，深刻理解它们之间的内在联系，借以理解并灵活运用这些公式．同时教师应提醒学生注意：不仅要掌握这些公式的正用，还要注意它们的逆用及变形用．如两角和与差的正切公式的变形式：tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)，tanα－tanβ＝tan(α－β)(1＋tanαtanβ)，在化简求值中就经常应用到，使解题过程大大简化，也体现了数学的简洁美．对于两角和与差的正切公式，当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不存在时，不能使用T(α±β)处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，例如：化简tan(eq\f(π,2)－β)，因为taneq\f(π,2)的值不存在，所以改用诱导公式tan(eq\f(π,2)－β)＝eq\f(sin\f(π,2)－β,cos\f(π,2)－β)＝eq\f(cosβ,sinβ)来处理等．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))例1课本本节例1.变式训练在△ABC中，已知tanA、tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两个根，求tanC的值．解：∵tanA、tanB是方程3x2＋8x－1＝0的两根，∴tanA＋tanB＝－eq\f(8,3)，tanAtanB＝－eq\f(1,3).∴tanC＝tan[180°－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝－eq\f(－\f(8,3),1－－\f(1,3))＝2.例2课本本节例2.变式训练求tan11°＋tan34°＋tan11°tan34°的值．解：原式＝tan45°(1－tan11°tan34°)＋tan11°tan34°＝1－tan11°tan34°＋tan11°tan34°＝1.点评：充分利用两角和与差的正切公式的变形式：tanα±tanβ＝tan(α±β)(1tanαtanβ).例3课本本节例3.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))课本本节练习1、2、3、4.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))由于学生有了推导两角和与差的正弦、余弦公式的学习经历，因此，教学中应该让学生独立地推导两角和与差的正切公式．对于公式的成立条件，可以让学生推导出公式观察、比较、分析，以便在掌握公式结构的基础上加以讨论．对于公式的结构特点的分析、归纳、总结，可以结合教科书中“思考”引导学生去发现，并结合例1和例2的解答帮助学生更好地掌握这些特点，同时体会这些特点在解题中的作用．本小节共两课时，本节课为第1课时，主要是推导公式、讨论探究公式的成立条件，并完成课本例1、例2、例3.例3是一道具有几何背景的简单问题，在该题的教学中，要注意让学生体会已知一个角的三角函数值，确定角的方法．eq\o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))本节课从内容上来看，难度较小，但两角和与差的正切公式有其成立的条件．这点教材中未做特别说明，是学生易出错的地方．在教学中，应注意引导学生对公式的结构特征仔细观察，清楚公式变形的本质属性，解题时灵活选用．同时注意鼓励学生进行一题多解，一题多变，并从中体会重要的数学思想方法，这才是本节教学的核心问题，而不是一些特殊的变换技巧．eq\o(\s\up7(),\s\do5(备课资料))一、对两角和与差的正切公式的理解1．两角和的正切公式是根据同角三角函数的关系式eq\f(sinα,cosα)＝tanα及正、余弦的和角公式导出的，因为公式S(α＋β)与C(α＋β)具有一般性，因此公式T(α＋β)也具有一般性，在公式T(α＋β)中以－β代β便可得到公式T(α－β)．2．两公式只有当tanα，tanβ或tan(α±β)都存在，即α≠kπ＋eq\f(π,2)，β≠kπ＋eq\f(π,2)，α±β≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时才成立，这是由任意角的正切函数的定义域所决定的．3．当tanα，tanβ或tan(α±β)的值不都存在时，不能使用T(α±β)来处理某些相关问题，但可改用诱导公式或其他方法，如化简tan(eq\f(π,2)＋β)，因为taneq\f(π,2)的值不存在，不能利用公式T(α＋β)，所以要改用诱导公式来解，则tan(eq\f(π,2)＋β)＝eq\f(sin\f(π,2)＋β,cos\f(π,2)＋β)＝eq\f(cosβ,－sinβ)＝－eq\f(1,tanβ).二、备用习题1．如果tan(α＋β)＝eq\f(2,5)，cot(α＋eq\f(π,4))＝4，则tan(β－eq\f(π,4))为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(13,18)C.eq\f(3,22)D.eq\f(13,22)2．已知tan(α－eq\f(β,2))＝eq\f(1,2)，tan(β－eq\f(α,2))＝－eq\f(1,3)，则taneq\f(α＋β,2)的值等于________．3．已知tan(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(9,40)，则tanα＝________，tan(α－eq\f(π,4))＝________.4．已知tanα，tanβ是方程x2＋(4m＋1)x＋2m＝0的两个根，且m≠－eq\f(1,2)，求eq\f(sinα＋β,cosα－β).5．已知α、β都是锐角，cosα＝eq\f(4,5)，tan(α－β)＝－eq\f(1,3)，求cosβ的值．参考答案：1．C2.eq\f(1,7)3．－eq\f(9,40)eq\f(40,9)解析：∵tan(α＋eq\f(π,4))＝－eq\f(9,40)，∴eq\f(1＋tanα,1－tanα)＝－eq\f(9,40).解得tanα＝－eq\f(49,31)，tan(α－eq\f(π,4))＝eq\f(tanα－1,1＋tanα)＝eq\f(40,9).4．解：由题意tanα＋tanβ＝－(4m＋1)，tanαtanβ＝2m，∴eq\f(sinα＋β,cosα－β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβ,cosαcosβ＋sinαsinβ)＝eq\f(tanα＋tanβ,1＋tanαtanβ)＝－eq\f(4m＋1,2m＋1).5．解：由题意tanα＝eq\f(3,4)，∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝eq\f(tanα－tanα－β,1＋tanαtanα－β)＝eq\f(\f(3,4)＋\f(1,3),1＋\f(3,4)×－\f(1,3))＝eq\f(13,9).又∵cos2β＝eq\f(1,1＋tan2β)＝eq\f(1,1＋\f(169,81))＝eq\f(81,250)，∴cosβ＝eq\f(9\r(10),50).(设计者：王光玲)第2课时导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾前面所学的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，从分析公式的推导过程入手，揭示它们的逻辑关系．思路2.(习题导入)①已知α＋β＝45°，求(1＋tanα)(1＋tanβ)的值．(答案：2)②已知sinα＝－eq\f(3,5)，α是第四象限角，求tan(eq\f(π,4)－α)的值．(答案：7)③求tan70°＋tan50°－eq\r(3)tan50°tan70°的值．(答案：－eq\r(3))学生练习，教师讲评中导入新课．推进新课eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))本节为两角和与差的三角函数的最后一节内容，对两角和与差公式进一步熟练掌握．上节课我们学习了两角和与差的正切公式，请同学们默写这些公式，并思考这些公式的使用条件．我们上节课初步运用这些公式解决了一些有关三角函数的求值和化简问题，利用这些公式除了能进行三角函数式的求值、化简之外，我们还可以运用其解决一些三角函数式的证明问题，并能解决一些实际问题．这就是我们本节课所要学习的内容．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(应用示例))例1课本本节例4.变式训练在锐角△ABC中，A、B、C是它的三个内角，记S＝eq\f(1,1＋tanA)＋eq\f(1,1＋tanB)，求证：S<1.证明：∵S＝eq\f(1＋tanA＋1＋tanB,1＋tanA1＋tanB)＝eq\f(1＋tanA＋tanB＋1,1＋tanA＋tanB＋tanAtanB)，又A＋B>90°，∴90°>A>90°－B>0°.∴tanA>tan(90°－B)＝cotB>0.∴tanAtanB>1.∴S<1.例2课本本节例5.例3求证：eq\f(sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(tan2β,tan2α).活动：证明三角恒等式，一般要遵循“由繁到简”的原则，另外“化弦为切”与“化切为弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法．证法一：左边＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ,sin2αcos2β)＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝1－eq\f(tan2β,tan2α)＝右边．∴原式成立．证法二：右边＝1－eq\f(cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝eq\f(sin2αcos2β－cos2αsin2β,sin2αcos2β)＝eq\f(sinαcosβ＋cosαsinβsinαcosβ－cosαsinβ,sin2αcos2β)＝eq\f(sinα＋βsinα－β,sin2αcos2β)＝左边．∴原式成立．点评：此题进一步训练学生三角恒等式的变形，灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑推理能力．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能训练))课本本节练习1、2、3、4.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(课堂小结))我们在学习两角和与差的正切公式的时候，不仅要熟练掌握公式本身，更应该掌握公式的变形公式，尤其是在解决有关三角函数式的证明和化简问题时，更应该注意灵活运用公式的变形公式．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作业))课本习题3.1(3)8、9、10.eq\o(\s\up7(),\s\do5(设计感想))作为两角和与差公式的最后一节课，学生对两角和与差的正切(包括正弦、余弦)公式及其应用有了比较深刻的理解．对于本节来说，教学中可以更多地让学生自主学习，探究解决问题的来龙去脉，使学生更好地掌握用分析的方法寻求解题思路．特别是本节课本例4是一个优美的三角恒等式，可让学生课后继续探究它的对称美、简洁美、统一美、结构美等特征，让学生从中体会数学的美丽生动．eq\o(\s\up7(),\s\do5(备课资料))备选习题1．若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为()A．－1B．－eq\f(1,2)C.eq\f(5,7)D.eq\f(1,7)2．tan30°＋tan15°＋tan15°tan30°的值等于()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2)D．13.eq\f(tan55°－tan385°,1－tan－305°tan－25°)＝________.4．已知tan110°＝a，则tan50°的值为________．5．若tanx＝eq\f(1－tan20°,1＋tan20°)，则x＝________.6．已知sinα＝－eq\f(3,5)，cosβ＝eq\f(5,13)，且α，β的终边在同一象限，求tan(α＋β)的值．7．若3sinx＋eq\r(3)cosx＝2eq\r(3)sin(x＋φ)且φ∈(0，eq\f(π,2))，求tan(φ＋eq\f(π,4))的值．8．在平面直角坐标系中，点P在以原点O为圆心、6为半径的圆上运动，线段OP与以O为圆心、2为半径的圆交于R点，过P作x轴的垂线，垂足为M，过R作PM的垂线，垂足为Q，求∠POQ的最大值．参考答案：1．D2.D3.eq\f(\r(3),3)4.eq\f(a－\r(3),1＋\r(3)a)(或eq\f(1－a2,2a))5．25°＋k·180°(k∈Z)6.eq\f(63,16).7．分析：如何求φ是本题的关键．解：∵3sinx＋eq\r(3)cosx＝2eq\r(3)(eq\f(\r(3),2)sinx＋eq\f(1,2)cosx)＝2eq\r(3)(sinxcoseq\f(π,6)＋cosxsineq\f(π,6))＝2eq\r(3)sin(x＋eq\f(π,6))，∴2eq\r(3)sin(x＋φ)＝2eq\r(3)sin(x＋eq\f(π,6))．又∵φ∈(0，eq\f(π,2))，∴φ＝eq\f(π,6).∴tan(φ＋eq\f(π,4))＝eq\f(1＋tanφ,1－tanφ)＝eq\f(1＋\f(\r(3),3),1－\f(\r(3),3))＝eq\f(3＋\r(3),3－\r(3))＝eq\f(9＋3＋6\r(3),32－3)＝2＋eq\r(3).8．解：本应考虑点P在四个象限的情形，由于对称性，可不妨设点P在第一象限，设∠xOP＝α，∠xOQ＝β，则∠POQ＝α－β，Q(6cosα，2sinα)，tanβ＝eq\f(2sinα,6cosα)＝eq\f(1,3)tanα.故tan∠POQ＝tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(tanα－\f(1,3)tanα,1＋\f(1,3)tan2α)＝eq\f(2tanα,3＋tan2α).设tan∠POQ＝y，tanα＝t，则y＝eq\f(2t,3＋t2)，即yt2－2t＋3y＝0.由α是锐角，可知t＞0，从而y＝eq\f(2t,3＋t2)＞0.又Δ＝4－12y2≥0，故0＜y≤eq\f(\r(3),3)，且当t＝eq\r(3)时，y＝eq\f(\r(3),3).故y的最大值，即tan∠POQ的最大值为eq\f(\r(3),3).所以∠POQ的最大值为eq\f(π,6).附：(设计者：王光玲)3．1.3两角和与差的正切第1课时作者：徐金花，江苏省铜山县棠张中学教师，本教学设计获江苏省教学设计大赛二等奖．eq\o(\s\up7(),\s\do5(整体设计))设计思想数学课程标准指出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上．”“教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探究和合作交流的过程中真正理解与掌握基本的数学基础知识与技能、数学思想方法，获得广泛的数学活动的经验．”苏霍姆林斯基曾经说过，学生心灵深处有一种根深蒂固的需要——希望自己是一个发现者、研究者、探究者．本节课根据新课标和新课程的教学理念，采用自主探究与合作交流的教学方法，让学生积极主动的参与学习，给予他们充分的时间和空间，进行探索、猜想和发现两角和与差的正切公式．对于例习题的处理是通过一题多解、一题多变等形式让教学成为师生对话、沟通、合作、共建的交往活动．教学内容分析本节内容在上两节正、余弦和、差角公式的基础上，利用同角三角函数关系推导出正切的和差角公式，并通过三个例题及变式题的处理(主要是公式的正用、逆用和变用)巩固所学知识．教学目标分析1．知识与技能：会由正、余弦的和、差角公式推导出正切的和差、角公式．能用正切的和、差角公式进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明．2．过程与方法：学生利用正、余弦的和、差角公式自主探究正切的和、差角公式，并从推导的过程中感悟化归思想．3．情感与态度：通过对问题的自主探究和合作交流，体验团队合作的快乐，养成严谨、开放的思维习惯，感悟化归思想、数形结合思想、整体思想、方程思想，增强数学学习的信心．重点难点教学重点：正切公式的推导及用公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式的证明．教学难点：公式的灵活应用．教学准备实物投影仪多媒体eq\o(\s\up7(),\s\do5(教学过程))情景创设(多媒体出示)回顾3.1.1节例2中求tan15°的过程，我们先分别求出sin15°和cos15°，再由同角三角函数关系求出tan15°，这个计算方法较烦琐，由15°＝45°－30°，我们猜想，能否由tan45°和tan30°直接求出tan15°呢？这就是我们这节课研究的课题——两角和与差的正切．(教师板书课题)学生活动：回顾求解过程、感受计算量．自主探究：(1)如何化未知角为已知角？(2)如何化未知函数名为已知函数名？(“切”化“弦”)学生活动学生就上面的问题展开讨论，讨论将涉及下面的问题：1．同角的三角函数有哪些关系？我们选择哪个关系来研究本课题？2．问题1中涉及到的S(α＋β)和C(α＋β)公式，你能准确写出来吗？3．由问题1,2将tan(α±β)表示成α，β的“弦”的形式之后如何化成“切”的形式呢？小组讨论，合作交流．推荐两个小组代表板演推导两个公式的过程．数学建构两角和与差的正切公式：(教师板书)tan(α＋β)＝eq\f(tanα＋tanβ,1－tanαtanβ)T(α＋β)tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)T(α－β)思考：1.公式的结构特点及适用范围(符号特点；结构特点：要注意到tan(α±β)可以用tanα和tanβ的和(差)与积表示；适用范围是使公式的两边都有意义)．2．公式T(α－β)能否由T(α＋β)来推导呢？(利用化归思想，用－β代替β)(教师板书数学思想)3．由T(α＋β)公式，你能否将公式变形得到其他公式？(教师板书变形公式)变形1tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；变形2tanαtanβ＝1－eq\f(tanα＋tanβ,tanα＋β).(两个变形公式的适用范围也是使等式两边都有意义)学生活动：学生在书上划出公式，并观察公式的结构特点．思考：(1)求tan(eq\f(π,2)＋α)可以用T(α＋β)公式展开吗？(2)T(α＋β)公式成立的具体条件是什么？自主探究：一中等生口述思路“整体代换”学生感悟化归思想．小组讨论，合作交流．学生记下变形公式(不作记忆要求，会变形应用)思考：两变形公式成立的具体条件是什么？数学应用(例题用多媒体出示、变式题用实物投影仪出示)例1(1)已知tanα＝eq\f(1,2)，求tan(α＋eq\f(π,4))；(2)已知tanα＝－eq\f(1,2)，tanβ＝－5，求tan(α＋β)．分析：直接应用公式，注意公式及运算的准确性．变式1：(教材例1)已知tanα，tanβ是方程x2＋5x－6＝0的两根，求tan(α＋β)的值．分析：思路一：可以根据方程解出tanα，tanβ，再代入公式计算即可．思路二：通过计算tanα＋tanβ，tanαtanβ的值来求tan(α＋β)．反思：思路二是利用整体思想方法来解题，较思路一简捷．变式题2(教材本节练习4)已知tan(α＋β)＝eq\f(1,3)，tanα＝－2，求tanβ的值．分析：思路一：利用“β＝(α＋β)－α”变换方法，代入T(α－β)公式求解即可．思路二：由eq\f(1,3)＝tan(α＋β)展开，将tanα＝－2代入，建立关于tanβ的方程．反思：思路一通过角的变换，化未知为已知，渗透了化归思想；思路二是建立方程，体现了方程的思想．(以上几题均是公式的正用)思考：公式及变形公式有什么作用？学生活动：一中等学生口述分析思路一，师板书．一优等生口述分析思路二并板书关键步骤．学生回顾韦达定理的内容并感悟整体思想方法．两中等生口述分析思路一、思路二．(师多媒体出示解答过程，强调规范书写，并给出评分标准)思考：两种思路体现的数学思想是什么？例2(教材例2)求证：eq\f(1＋tan15°,1－tan15°)＝eq\r(3).分析：思路一：由1＝tan45°，等式左边的结构与tan(α＋β)相似，考虑逆用两角和的正切公式．思路二：本题也可由eq\r(3)联想到tan60°，进而联想到两角和的正切公式，找到证明途径(公式正用)．思路三：利用15°＝45°－30°，再代入T(α－β)公式求解．(化未知角为已知角再正用公式)自主探究：(1)如何证明等式？(2)观察等式左、右两边的结构有何特点？一优等生分析口述思路一(师板书)，一中等生分析思路二(师及时表扬学生的巧妙联想)，一潜能生分析思路三(师肯定学生的转化方法)．变式题1.求证：eq\f(cos15°＋sin15°,cos15°－sin15°)＝eq\r(3).分析：思路一：利用15°＝45°－30°，再代入S(α±β)和C(α±β)公式计算即可(此法较为烦琐)．思路二：“弦化切”处理之后即为例2，可证．思路三：逆用两角和与差的正、余弦公式化简可证．其中：cos15°－sin15°＝eq\r(2)(eq\f(\r(2),2)cos15°－eq\f(\r(2),2)sin15°)＝eq\r(2)sin(45°－15°)＝eq\f(\r(2),2).cos15°＋sin15°＝eq\r(2)(eq\f(\r(2),2)cos15°＋eq\f(\r(2),2)sin15°)＝eq\r(2)sin(45°＋15°)＝eq\f(\r(6),2).思路四：由等式左边是正值，可证其平方为3，而平方后可逆用和、差角公式，令m＝eq\f(cos15°＋sin15°,cos15°－sin15°)，则m>0，从而m2＝eq\f(1＋2sin15°cos15°,1－2sin15°cos15°)＝eq\f(1＋sin30°,1－sin30°)＝eq\f(\f(3,2),\f(1,2))＝3，可证．思路五：构造向量，利用向量的内积定义及坐标表示来证明．令a＝(1，－1)，b＝(cos15°，sin15°)，则cos15°－sin15°＝(1，－1)·(cos15°，sin15°)＝eq\r(2)×1×cosθ，其中θ为a与b的夹角，且数形结合可知θ＝15°＋45°＝60°，从而cos15°－sin15°＝eq\r(2)cos60°＝eq\f(\r(2),2)，同理可求cos15°＋sin15°＝eq\r(2)cos30°＝eq\f(\r(6),2)，从而可证．反思：本题是一题多解，开阔学生的思维，培养学生分析问题和解决问题的能力，渗透数学中的转化思想(思路二)和整体思想(思路四)和数形结合思想(思路五)．小组讨论，合作交流．不同解法的小组派代表展示证明方法．(前四种不同解法)(通过合作探究问题的过程，体验团队合作的快乐，体会公式的灵活应用、感悟化归、数形结合、整体、方程的数学思想．)(师启发思路五并多媒体出示解答过程，留时间让学生体会构造方法)变式题2.利用和(差)公式证明