考研数学二(常微分方程)-试卷1

考研数学二（常微分方程）-试卷1(总分：64.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：11，分数：22.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________解析：2.微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为()

（分数：2.00）

A.xy2=4。

B.xy=4。

C.x2y=4。

√

D.一xy=4。解析：解析：原微分方程分离变量得两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4。应选C。3.设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=()

（分数：2.00）

A.

B.

C.

√

D.解析：解析：原方程可化为，其通解为曲线y=x+Cx2与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为4.已知y1(x)和y2(x)是方程y"+p(x)y=0的两个不同的特解，则方程的通解为()

（分数：2.00）

A.y=Cy1(x)。

B.y=Cy2(x)。

C.y=C1y1(x)+C2y2(x)。

D.y=c[y1(x)一y2(x)]。

√解析：解析：由于y1(x)和y2(x)是方程y"+p(x)y=0的两个不同的特解，则y1(x)一y2(x)为该方程的一个非零解，则y=C[y1(x)一y2(x)]为该方程的解。5.设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y"+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则()

（分数：2.00）

A.

√

B.

C.

D.解析：解析：由已知条件可得由λy1+μy2仍是该方程的解，得(λy1"+μy2")+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)q(x)，则λ+μ=1；由λy1一μy2是所对应齐次方程的解，得(λy1"一μy2")+ρ(x)(λy1一μy2)=(λ一μ)q(x)，那么λ一μ=0。综上所述6.设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()

（分数：2.00）

A.C1y1+C2y2+y3。

B.C1y1+C1y2一(C1+C2)y3。

C.C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3。

D.C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3。

√解析：解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y""+p(x)y"+q(x)y=0的解，且(y2一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)。比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故本题的答案为D。7.已知，y1=x，y2=x2，y3=ex为方程y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)的二个特解，则该方程的通解为()

（分数：2.00）

A.y=C1x+C2x2+ex。

B.y=C1x2+C2ex+x。

C.y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x。

√

D.y=C1(9C一x2)+C2(x2一ex)。解析：解析：方程y""+p(x)y"+q(x)y=f(x)是一个二阶线性非齐次方程，则(x一x2)和(x—ex)为其对应齐次方程的两个线性无关的特解，则原方程通解为y=C1(x一x2)+C2(x一ex)+x，故选C。8.具有特解y1=e-x，y2=2xe-x，y2=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()

（分数：2.00）

A.y"""一y""一y"+y=0。

B.y"""+y""一y"一y=0。

√

C.y"""一6y""+11y"一6y=0。

D.y"""一2y""一y"+2y=0。解析：解析：由y1=e，y2=2xe-x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，λ=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(λ一1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2一λ一1=0，对应的微分方程为y"""+y""一y"一y=0，故选B。9.在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()

（分数：2.00）

A.y"""+y""一4y"一4y=0。

B.y"""+y""+4y"+4y=0。

C.y"""一y""一4y"+4y=0。

D.y"""一y""+4y"一4y=0。

√解析：解析：已知题设的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为λ=1，λ=±2i，所以特征方程为(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=0，即λ3一λ2+4λ一4=0。因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分方程为y"""一y""+4y"一4y=0。10.函数y=C1ex+C2e-2x+xex满足的一个微分方程是()

（分数：2.00）

A.y""一y"一2y=3xex。

B.y""一y"一2y=3ex。

C.y""+y"一2y=3xex。

D.y""+y"一2y=3ex。

√解析：解析：根据所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为λ1=1，λ2=一2。因此对应的齐次微分方程的特征方程为λ2+λ一2=0．故对应的齐次微分方程为y""+y"一2y=0。又因为y*=xex为原微分方程的一个特解，而λ=1为特征根且为单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项形式为f(x)=Cex(C为常数)。比较四个选项，应选D。11.若y=xex+x是微分方程y""一2y"+ay=bx+c的解，则()

（分数：2.00）

A.a=1，6=1，c=1。

B.a=1，b=1，c=一2。

√

C.a=一3，b=一3，c=0。

D.a=一3，b=1，c=1。解析：解析：由于y=xex+x是方程y""一2y"+ay=bx+c的解，则xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根λ1=λ2=1，则a=1。x为非齐次方程的解，将y=x代入方程y""一2y"+y=bx+c，得b=1，c=一2，故选B。二、填空题(总题数：10，分数：20.00)12.微分方程的通解是1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：y=Cxe-x(x≠0)）解析：解析：原方程等价为两边积分得ln｜y｜=ln｜x｜一x+C。取C=eC1，整理得y=Cxe-x(x≠0)。13.微分方程的通解为1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：y=x.eCx+1）解析：解析：令y=xu，代入原方程，则有zu"+u=ulnu，即两边求积分，即得ln｜lnu一1｜=ln｜x｜+C，去掉对数符号与绝对值符号得y=xeCx+1，C为任意常数。14.微分方程y"=1+x+y2+xy2的通解为1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：将已知微分方程变形整理得15.微分方程xy"+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：原方程可化为(xy)"=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2，即16.微分方程3extanydx+(1一ex)sec2ydy=0的通解是1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：tany=C(ex一1)3）解析：解析：两边同乘以，方程分离变量为17.微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：xe1-x）解析：解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=ux，则有所以原方程可化为解此微分方程得ln｜lnu一1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnu=C1x+1，u=eC1x+1，将u｜x=1=1代入，得C1=一1，u=e1-x，因此原方程的解为y=xe1-x。18.微分方程y"+ytanx=cosx的通解y=1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：(x+C)cosx）解析：解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知19.微分方程｜x=1满足y=1的特解为1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：20.微分方程xy"+2y=sinx满足条件的特解为1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：[*]）解析：解析：将已知方程变形整理得，根据通解公式得21.微分方程y"+y=e-xxcosx满足条件y(0)=0的特解为1。

（分数：2.00）填空项1:__________________

（正确答案：正确答案：y=e-xsinx）解析：解析：原方程的通解为y=e-∫1dx(∫e-x/sup>cosx.e∫1dxdx+C)=e-x(∫cosxdx+C)=e-x(sinx+C)。由y(0)=0得C=0，故所求解为y=e-xsinx。三、解答题(总题数：10，分数：22.00)22.解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。__________________________________________________________________________________________解析：23.求微分方程(x2一1)dy+(2xy—cosx)dx=0满足y(0)=1的解。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：整理微分方程(x2一1)dy+(2xy—cosx)sx=0，得先解对应的齐次方程，解得ln｜y｜=一ln｜x2一1｜+C，即有将上式代入原微分方程得到故C(x)=sinx+c，则原微分方程的解为又因为y(0)=1，代入上式得到c=一1，则原微分方程的解为)解析：24.求微分方程y""一3y"+2y=2xex的通解。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：齐次方程y""一3y"+2y=0的特征方程为λ2—3λ+2=0，由此得λ1=2，λ2=1。即对应齐次方程的通解为Y=C1e2x+C2ex。设非齐次方程的特解为y*=(ax+b)xex，则有(y*)"=[ax2+(2a+b)x+b]ex。(y*)""=[ax2+(4a+b)x+2a+2b]ex，代入原方程得a=一1，b=一2，因此所求解为y=C1e2x+C2ex一x(x+2)ex。)解析：25.求微分方程y""一a(y")2=0(a＞0)满足初始条件y｜=0=0,y｜=一1的特解。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：令y"=p，则将之代入原方程，得分离变量并积分，由此得,由x=0，y=0，y"=p=一1，得C1=1，即)解析：已知函数f(x)满足方程f""(x)+f"(x)一2f(x)=0及f""(x)+f(x)=2ex。（分数：4.00）(1).求f(x)的表达式；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：齐次微分方程f""(x)+f"(x)一2f(x)=0的特征方程为λ2+λ一2=0，特征根为λ1=1，λ2=一2，因此该齐次微分方程的通解为f(x)=C1ex+C2e-2x。再由f""(x)+f(x)=2e得2C1ex一3C2e-2x=2ex，因此可知C1=1，C2=0。所以f(x)的表达式为f(x)=ex。)解析：(2).求曲线y=f(x2)∫0x一t2)dt的拐点。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：曲线方程为则令y""=0得z=0。下面证明z=0是y""=0唯一的解，当x＞0时，可知y""＞0；当x＜0时，2x＜0，2(1+2x2)ex2∫0xe-t2dt＜0．可知y""＜0可知x=0是y""=0唯一的解。同时，由上述讨论可知曲线y=f(x2)∫0x－t2)dt在x=0左、右两边的凹凸性相反，因此(0，0)点是曲线y=f(x2)f(－t2)dt唯一的拐点。)解析：26.求微分方程y""(x+y"2)=y"满足初始条件y(1)=y"(1)=l的特解。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：因本题不含y，所以可设y"=p，于是y""=p"，因此原方程变为p"(x+p2)=p，从而有，解之得x=p(p+C)。将p(1)=1代入x=P(P+c)得C=0于是x=p2，所以，从而结合y(1)=1得故)解析：设函数f(x)在[0，+∞)上可导,f(0)=1，且满足等式（分数：4.00）(1).求导数f"(x)；（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由题设知(x+1)f"(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0。上式两边对x求导，得(x+1)f""(x)=一(x+2)f"(x)，两边积分，得ln｜f"(x)｜=一x一ln(x+1)+C1，所以在题设等式中令x=0，得f"(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f"(0)=一1，代入f"(x)的表达式，得C=一1，故有)解析：(2).证明：当x≥0时，成立不等式e-x≤f(x)≤1。（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________

正确答案：(正确答案：由(I)中结果知，当x≥0时f"(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。设φ(x)=f(x)一e-x，则当x≥0时，φ"(x)≥0，即φ(x)单调增加。因而φ(x)≥φ(0)=0，即有f(x)≥e-x。综上所述，当x≥0时，不等式e-x≤f(x)≤1成立。)解析：27.设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，求f(t)。

（分数：2.00）_________________________