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文档简介

2020年中考数学必考经典题讲练案【苏科版】专题12四边形的几何综合问题【方法指导】1.平行四边形的判定与性质的作用平行四边形对应边相等,对应角相等,对角线互相平分及它的判定,是我们证明直线的平行、线段相等、角相等的重要方法,若要证明两直线平行和两线段相等、两角相等,可考虑将要证的直线、线段、角、分别置于一个四边形的对边或对角的位置上,通过证明四边形是平行四边形达到上述目的.2.菱形的性质与判定:菱形是在平行四边形的前提下定义的,首先它是平行四边形,但它是特殊的平行四边形,特殊之处就是“有一组邻边相等”,因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法.菱形的四条边都相等,

菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角;菱形是轴对称图形,它有2条对称轴,分别是两条对角线所在直线.3.矩形的性质与判定:关于矩形,应从平行四边形的内角的变化上认识其特殊性:一个内角是直角的平行四边形,进一步研究其特有的性质:是轴对称图形、内角都是直角、对角线相等.同时平行四边形的性质矩形也都具有.在处理许多几何问题中,若能灵活运用矩形的这些性质,则可以简捷地解决与角、线段等有关的问题.4.正方形:①正方形的四条边都相等,四个角都是直角;②正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.

④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形,同时,正方形又是轴对称图形,有四条对称轴.【题型剖析】【类型1】平行四边形的计算与证明【例1】(2019•宿豫区模拟)如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线分别交BC、AD于点E、F,G、H分别是OB、OD的中点.求证:(1)OE=OF;(2)四边形GEHF是平行四边形.【变式1-1】(2019•亭湖区二模)已知点E、F分别是▱ABCD的边BC、AD的中点.(1)求证:四边形AECF是平行四边形;(2)若BC=10,∠BAC=90°,求▱AECF的周长.【变式1-2】(2019•海门市一模)如图,▱ABCD中,点E是BC边的一点,延长AD至点F,使∠DFC=∠DEC.求证:四边形DECF是平行四边形.【变式1-3】(2019•建邺区一模)如图,四边形ABCD是平行四边形,分别以AB,CD为边向外作等边△ABE和△CDF,连接AF,CE.求证:四边形AECF为平行四边形.【类型2】菱形的计算与证明【例2】(2019•海门市二模)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,过C作CF∥AB交DE延长线于点F,连接AF、DC.求证:(1)DE=FE;(2)四边形ADCF是菱形.【变式2-1】(2019•兴化市二模)已知:如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,∠ABC的平分线交AD于点F.(1)求证:四边形ABEF是菱形;(2)若AE=6,BF=8,平行四边形ABCD的面积是36,求AD的长.【变式2-2】(2019•江都区二模)如图,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD∥BC,AE∥DC,EF⊥CD于点F.(1)求证:四边形AECD是菱形;(2)若AB=5,AC=12,求EF的长.【变式2-3】(2019•宿迁模拟)如图,在四边形ABCD中,AB∥DC,AB=AD,对角线AC.BD交于点O,AC平分∠BAD,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E.连接OE.(1)求证:四边形ABCD是菱形;(2)若AB.OE=2,求线段CE的长.【类型3】矩形的计算与证明【例3】(2019•丹阳市一模)已知:如图,在菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,DE∥AC,AE∥BD.(1)求证:四边形AODE是矩形;(2)若AB=2,∠BCD=120°,求四边形AODE的面积.【变式3-1】(2019•建湖县二模)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠ADC,对角线AC、BD交于点O,AO=BO,DE平分∠ADC交BC于点E,连接OE.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若AB=2,求△OEC的面积.【变式3-2】(2019•延边州二模)如图,在平行四边形ABCD中,过点D做DE⊥AB于E,点F在边CD上,DF=BE,连接AF、BF.(1)求证:四边形BFDE是矩形;(2)若CF=3,BE=5,AF平分∠DAB,求平行四边形ABCD的面积.【类型4】四边形综合问题【例4】.(2019•桓台县二模)已知,正方形ABCD,∠EAF=45°,(1)如图1,当点E,F分别在边BC,CD上,连接EF,求证:EF=BE+DF;(2)如图2,点M,N分别在边AB,CD上,且BN=DM,当点E,F分别在BM,DN上,连接EF,请探究线段EF,BE,DF之间满足的数量关系,并加以证明;(3)如图3,当点E,F分别在对角线BD,边CD上,若FC=2,则BE的长为.【变式4-1】(2019•灌南县二模)正方形ABCD的边长为1,点O是BC边上的一个动点(与B,C不重合),以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°(1)当OM经过点A时,①请直接填空:ON(可能,不可能)过D点:(图1仅供分析)②如图2,在ON上截取OE=OA,过E点作EF垂直于直线BC,垂足为点F,作EH⊥CD于H,求证:四边形EFCH为正方形;③如图2,将②中的已知与结论互换,即在ON上取点E(E点在正方形ABCD外部),过E点作EF垂直于直线BC,垂足为点F,作EH⊥CD于H,若四边形EFCH为正方形,那么OE与OA是否相等?请说明理由;(2)当点O在射线BC上且OM不过点A时,设OM交边BA的延长线于G,且OG=2.在ON上存在点P,过P点作PK垂直于直线BC,垂足为点K,使得S△PKOS△OBG,连接GP,则当BO为何值时,四边形PKBG的面积最大?最大面积为多少?【达标检测】1.(2019•无锡)下列结论中,矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A.内角和为360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直2.(2019•连云港)如图,利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD,其中∠C=120°.若新建墙BC与CD总长为12m,则该梯形储料场ABCD的最大面积是()A.18m2 B.18m2 C.24m2 D.m23.(2019•苏州)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD交于点O,AC=4,BD=16,将△ABO沿点A到点C的方向平移,得到△A'B'O'.当点A'与点C重合时,点A与点B'之间的距离为()A.6 B.8 C.10 D.124.(2019•淮安)若一个多边形的内角和是540°,则该多边形的边数是.5.(2019•南通)如图,▱ABCD中,∠DAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点,则PBPD的最小值等于.6.(2019•徐州)如图,A、B、C、D为一个外角为40°的正多边形的顶点.若O为正多边形的中心,则∠OAD=.7.(2019•徐州)如图,矩形ABCD中,AC、BD交于点O,M、N分别为BC、OC的中点.若MN=4,则AC的长为.8.(2019•常州)如图,在矩形ABCD中,AD=3AB=3,点P是AD的中点,点E在BC上,CE=2BE,点M、N在线段BD上.若△PMN是等腰三角形且底角与∠DEC相等,则MN=.9.(2019•无锡)如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=4,D为边AB上一动点(B点除外),以CD为一边作正方形CDEF,连接BE,则△BDE面积的最大值为.10.(2019•扬州)如图,已知点E在正方形ABCD的边AB上,以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG,连接DF,M、N分别是DC、DF的中点,连接MN.若AB=7,BE=5,则MN=.11.(2019•淮安)已知:如图,在▱ABCD中,点E、F分别是边AD、BC的中点.求证:BE=DF.12.(2019•宿迁)如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点E、F分别在AB、CD上,且BE=DF.(1)求证:四边形AECF是菱形;(2)求线段EF的长.13.(2019•扬州)如图,在平行四边形ABCD中,AE平分∠DAB,已知CE=6,BE=8,DE=10.(1)求证:∠BEC=90°;(2)求cos∠DAE.14.(2019•连云港)如图,在△ABC中,AB=AC.将△ABC沿着BC方向平移得到△DEF,其中点E在边BC上,DE与AC相交于点O.(1)求证:△OEC为等腰三角形;(2)连接AE、DC、AD,当点E在什么位置时,四边形AECD为矩形,并说明理由.15.(2019•泰州)如图,线段AB=8,射线BG⊥AB,P为射线BG上一点,以AP为边作正方形APCD,且点C、D与点B在AP两侧,在线段DP上取一点E,使∠EAP=∠BAP,直线CE与线段AB相交于点F(点F与点A、B不重合).(1)求证:△AEP≌△CEP;(2)判断CF与AB的位置关系,并说明理由;(3)求△AEF的周长.16.(2019•连云港)问题情境:如图1,在正方形ABCD中,E为边BC上一点(不与点B、C重合),垂直于AE的一条直线MN分别交AB、AE、CD于点M、P、N.判断线段DN、MB、EC之间的数量关系,并说明理由.问题探究:在“问题情境”的基础上.(1)如图2,若垂足P恰好为AE的中点,连接BD,交MN于点Q,连接EQ,并延长交边AD于点F.求∠AEF的度数;(2)如图3,当垂足P在正方形ABCD的对角线BD上时,连接AN,将△APN沿着AN翻折,点P落在点P'处,若正方形ABCD的边长为4,AD的中点为S,求P'S的最小值.问题拓展:如图4,在边长为4的正方形ABCD中,点M、N分别为边AB、CD上的点,将正方形ABCD沿着MN翻折,使得BC的对应边B'C'恰好经过点A,C'N交AD于点F.分别过点A、F作AG⊥MN,FH⊥MN,垂足分别为G、H.若AG,请直接写出FH的长.17.(2019•无锡)如图1,在矩形ABCD中,BC=3,动点P从B出发,以每秒1个单位的速度,沿射线BC方向移动,作△PAB关于直线PA的

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