考研数学一(线性代数)历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)

考研数学一（线性代数）历年真题试卷汇编13(题后含答案及解析)题型有：1.选择题2.填空题3.解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1．设α1=，其中c1，c2，c3，c4为任意常数，则下列向量组线性相关的为A．α1，α2，α3．B．α1，α2，α4．C．α1，α3，α3．D．α2，α3，α4．正确答案：C解析：用排除法：当c1≠0时，(A)组、(B)组都线性无关；当c3+c1≠0时，(D)组线性无关．因此，只有选项(C)正确．知识模块：向量2．设A，B，C均为n阶矩阵．若AB=C，且B可逆，则A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价．B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价．C．矩阵c的行向量组与矩阵B的行向量组等价．D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．正确答案：B解析：因为矩阵B可逆，所以B可以表示成若干个初等矩阵之积．而用初等矩阵右乘矩阵相当于对矩阵施行初等列变换．经一次初等列变换，变换前与变换后的矩阵的列向量组可以相互线性表示，经若干初等列变换，亦是如此，即变换前与变换后矩阵的列向量组等价．所以选(B)．知识模块：向量3．设α1，α2，α3均为3维向量，则对任意常数k，l，向量组α1+kα3，α2+lα3线性无关是向量组α1，α2，α3线性无关的A．必要非充分条件B．充分非必要条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件正确答案：A解析：记向量组(Ⅰ)：α1+kα3，α2+lα3；向量组(Ⅱ)：α1，α2，α3．(Ⅰ)是由(Ⅱ)线性表出的，写成矩阵形式即是：[α1+kα3，α2+lα3]=[α1，α2，α3]当(Ⅱ)线性无关时，矩阵[α1，α2，α3]为列满秩的，由于用列满秩阵左乘矩阵后，矩阵的秩不变，而矩阵的秩为2，所以此时上式等号左边矩阵的秩也为2，也就是该矩阵的列秩为2，从而知向量组(Ⅰ)线性无关，所以，(Ⅰ)线性无关是(Ⅱ)线性无关的必要条件．但(Ⅰ)线性无关不是(Ⅱ)线性无关的充分条件，例如当k=l=0时，(Ⅰ)线性无关即向量组α1，α2线性无关，却不能保证(Ⅱ)线性无关．知识模块：向量4．设咒阶方阵A的秩为r，且r＜n，则在A的n个行向量中A．必有r个行向量线性无关．B．任意r个行向量均可构成极大线性无关组．C．任意r个行向量均线性无关．D．任一行向量均可由其它r个行向量线性表示．正确答案：A涉及知识点：向量5．向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm线性无关的充分条件是(Ⅰ)中A．每个向量均不是零向量．B．任意两个向量的分量都不成比例．C．任一向量均不能由其余m一1个向量线性表示．D．有一部分向量线性无关．正确答案：C涉及知识点：向量6．设m×n矩阵A的秩r(A)=m＜n，E为m阶单位阵，则A．A的任意m个向量必线性无关．B．A的任意一个m阶子式都不为0．C．若BA=O，则B=O．D．经初等行变换，可将A化为(Em｜O)的形式．正确答案：C解析：由BA=O知A的每个列向量均为齐次线性方程组Bx=0的解向量，因r(A)=m，知A的列向量组的极大无关组含m个向量，故方程组Bx=0的基础解系至少含m个解向量，即m一r(B)≥m，→r(B)≤0，→r(B)=0，→B=O．故(B)正确．注意当r(A)=m＜n时，要将A化为标准形，仅仅通过初等行变换是不行的，还要对A作初等列变换，才能化成标准形，故(D)不对。知识模块：向量7．设有两组n维向量α1，α2，…，αm与β1，β2，…，βm，若存在两组不全为零的数λ1，λ2，…，λm和k1，k2，…，kn，使(λ1+k1)α1+…+(λm+km)αm+(λ1一k1)β1+…+(λm一km)βm=0，则A．α1，…，αm和β1，…，βm都线性相关．B．α1+β1，…，αm+βm，α1一β1，…，αm一βm线性相关．C．α1，…，αm和β1，…，βm都线性无关．D．α1+β1，…，αm+βm，α1—β1，…，αm—βm线性无关．正确答案：B解析：由条件知有不全为零的数λ1，…，λm，k1，…，km，使λ1(α1+β1)+…+λm(αm+βm)+k1(α1—β1)+…+km(αm—βm)=0，所以，向量组α1—β1，…，αm+βm，α1—β1，…，αm—βm必线性相关。知识模块：向量8．设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表示，但不能由向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αm—1线性表示，记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm—1，β．则A．αm不能由(Ⅰ)线性表示，也不能由(Ⅱ)线性表示．B．αm不能由(Ⅰ)线性表示，但可由(Ⅱ)线性表示．C．αm可由(Ⅰ)线性表示，也可由(Ⅱ)线性表示．D．αm可由(Ⅰ)线性表示，但不可由(Ⅱ)线性表示．正确答案：B解析：由条件，存在常数k1，…，km—1，km，使β=k1α1+km—1αm—1+…+kmαm…(*)，且km必有km≠0(否则，β=k1α1+km—1αm—1，这与β不能由(Ⅰ)线性表示矛盾)，于是由(*)式解得αm=一αm—1，即αm可由(Ⅱ)线性表示．但αm不能由(Ⅰ)线性表示，否则．存在常数λ1，…，λm—1，使αm=λ1α1+αm—1αm—1，代入(*)式，得β=(k1+λ1)α1+…+(km—1+λm—1)αm—1，这与β不能由(Ⅰ)线性表示矛盾，所以αm不能由(Ⅰ)线性表示．综上可知只有(B)正确．知识模块：向量9．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组中线性无关的是A．α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3。B．α1+α2，α2+α3，α3一α1．C．α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．D．α1+α2+α3，2α1—3α2+22α3，3α1+5α2—5α3．正确答案：C解析：选项(C)中的3个向量分别为β1=α1+2α2，β2=2α2+3α3，β3=3α3+α1，则利用矩阵乘法可将此线性表示式写成[β1β2β3]=[α1α2α3]，因α1，α2，α3线性无关，故矩阵[α1α2α3]为列满秩矩阵，而用列满秩矩阵左乘矩阵不改变矩阵的秩，于是r[β1β2β3]==3即知向量组β1，β2，β3线性无关，故选项(C)正确．用上述方法也容易判别选项(D)中的3个向量线性相关．至于选项(A)、(B)．由观察易知两组向量都是线性相关的．知识模块：向量10．若向量组α，β，γ线性无关；α，β，δ线性相关，则A．α必可由β，γ，δ线性表示．B．β必不可由α，β，δ线性表示．C．δ必可由α，β，γ线性表示．D．δ必不可由α，β，γ线性表示．正确答案：C解析：由部分组与整体组线性相关性的关系，知α，β线性无关．又α，β，δ线性相关，由此知δ可由α，β线性表示：δ=k1α+k2β=k1α+k2β+0r，所以(C)正确．或由α，β，γ线性无关，而α，β，γ，δ线性相关，知δ必可由α，β，γ线性表示．知识模块：向量11．设α1，α2，…，αs均为n维向量，下列结论不正确的是A．若对于任意一组不全为零的数k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs≠0，则α1，α2，…，αs线性无关．B．若α1，α2，…，αs线性相关．则对于任意一组不全为零的数，k1，k2，…，ks，都有k1α1+k2α2+…+ksαs=0C．α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为s．D．α1，α2，…，αs线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关．正确答案：B解析：反例：α1=线性相关，但存在k1=1与k2=2不全为零。使k1α1+k2α2≠0．注意，“对于任意”与“存在”二者是不同的．知识模块：向量填空题12．若向量组α1=(1，1，2，一2)，α2=(1，3，一x，一2x)，α3=(1，一1，6，0)的秩为2，则x=_________．正确答案：2解析：由，知x=2．知识模块：向量13．向量空间w={(x，2y，0)T∈R3｜x，y∈R)的维数为_________．正确答案：2解析：w中的向量可写成α=(x，2y，0)T=x(1，0，0)T+y(0，2，0)T，可见w是由向量α1=(1，0，0)T，α2=(0，2，0)T生成的R3的子空间，α1，α2线性无关，因而可作为w的基，所以dim(w)=2．知识模块：向量14．设向量组α1=(2，1，1，1)，α2=(2，1，a，a)，α3=(3，2，1，a)，α4=(4，3，2，1)线性相关，且a≠1，a=_________．正确答案：解析：由以α1，α2，α3，α4为行构成的方阵的行列式等于零，即(a一1)(2s一1)=0，及a≠1，得a=．知识模块：向量解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。设向量组α1，α2，α3为R。的一个基．β1=2α1+2kα3，β2=2α2，β3=α1+(k+1)α3．15．证明向量β1，β2，β3为R3的一个基；正确答案：将已知的线性表示式写成矩阵形式，得(β1，β2，β3)=(2α1+2kα3，2α2，α1+(k+1)α3)=(α1，α2，α3)P其中矩阵P=，由于P的行列式｜P｜一4≠0，所以P可逆，故向量组β1，β2，β3(线性无关)可作为R3的基．涉及知识点：向量16．当k为何值时，存在非零向量ξ在基α1，α2，α3与β1，β2，β3下的坐标相同，并求所有的ξ．正确答案：设非零向量ξ在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标(列)向量为X，则ξ=(α1，α2，α3)x=(β1，β2，β3)x=(α1，α2，α3)Px由此得(α1，α2，α3)Px一(α1，α2，α3)x=(α1，α2，α3)(Px—x)=(α1，α2，α3)(P—E)x=0因为矩阵(α1，α2，α3)可逆．所以(P—E)x=0，其中E为3阶单位矩阵。因为x≠0，所以P—E是降秩矩阵，对P—E施行初等行变换：可见，当且仅当k=0时方程组(P—E)x=0有非零解，且所有非零解为x=，c为任意非零常数故在基α1，α2，α3与基β1，β2，β3下的坐标相同的所有非零向量为ξ=(α1，α2，α3)=c(α1—α3)，c为任意非零常数．涉及知识点：向量17．设矩阵A=，α1，α2，α3为线性无关的三维列向量组。则向量组Aα1，Aα2，Aα3．的秩为_________．正确答案：2解析：由矩阵A的初等行变换知矩阵A的秩为2．由α1，α2，α3线性无关矩阵[α1α2α3]为满秩方阵．由矩阵乘法，有[Aα1Aα2Aα3]=A[α1α2α3]，由于用满秩方阵乘矩阵后矩阵的秩不改变．所以矩阵[Aα1Aα2Aα3]的秩等于矩阵A的秩，等于2，即向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为2．知识模块：向量18．设向量组α1，α2，…，αs(s≥2)线性无关，且β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βs—1一口、，βs=αs+α1，讨论向量组β1，β2，…，βs的线性相关性．正确答案：由于[β1β2…βs]=[α1α2…αs]，记上=式最右边的s阶矩阵为A，则由于[α1α2…αs]为列满秩矩阵，知γ[β1β2…βs]=r(A)．即有：α1，α2，…，αs线性无关(线性相关)→｜A｜≠0(｜A｜=0)，而｜A｜=1+(—1)1+s=所以，当s为奇数时，向量组线性无关；当s为偶数时，线性相关．涉及知识点：向量19．设α1=，问λ取何值时，(1)β不能由α1，α2，α3线性表示?(2)β可由α1，α2，α3线性表示且表达式唯一?(3)β可由α1，α2，α3线性表示但表达式不唯一?正确答案：没有一组数x1，x2，x3，使x1α1+x2α2+x3α3=β，该方程组的系数行列式为△=｜α1α2α3｜=λ2(λ+3)．故当λ≠0且λ≠一3时，由克莱姆法则知方程组有唯一解，即此时β可由α1，α2，α3线性表示且表达式唯一．当λ=0时，△=0，方程组为齐次线性方程组。有无穷多解，故此时P可由α1，α2，α3线性表示，且表达式不唯一．当λ=一3时，对方程组的增广矩阵施行初等行变换，可见方程组无解，故此时β不能由α1，α2，α3线性表示。涉及知识点：向量20．已知向量组具有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表示，求a、b的值．正确答案：α1与α2线性无关，且α3=3α1+2α2，→秩{α1，α2，α3}=2，→秩{β1，β2，β3}=2，→行列式｜β1β2β3｜=0，→a=3b，又β3可由α1，α2，α3=3α1+2α2线性表示，→β3可由α1，α2线性表示，→行列式｜α1α2β3｜=0，→b=5，→a=15。涉及知识点：向量21．证明：n维列向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是行列式正确答案：令矩阵A=[α1α2…αn]，则α1，α2，…，αn，线性无关→｜A｜≠0，而D=｜ATA｜=｜AT｜｜A｜=｜A｜2，故｜A｜≠0→D≠0．涉及知识点：向量22．设向量组(Ⅰ)：α1，α2，α3的秩为3；向量组(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4的秩为3：向量组(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5的秩为4．证明：向量组(Ⅳ)：α1，α2，α3，α5一α4的秩为4．正确答案：由条件知(Ⅰ)线性无关，而(Ⅱ)线性相关，故α4可由α1，α2，α3线性表示，设为：α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3．设有一组数x1，x2，x3，x4，使得x1α1+x2α2+x3α3+x4(α5一α4)=0，即(x1—λ1x4)α2+(x2—λ2x4)α2+(x3—λ3x4)α3+x4α6=0，由(Ⅲ)线性无关，得齐次线性方程组它只有零解x1=x2=x3=x4=0，故(Ⅳ)线性无关，即秩(Ⅳ)=4．亦可利用(Ⅲ)与(Ⅳ)等价，→(Ⅳ)与(Ⅲ)有相同的秩．涉及知识点：向量23．设口为实n维非零列向量，αT表示α的转置．(1)证明：A—E一为对称的正交矩阵；(2)若α=(1，2，一2)T，试求出矩阵A；(3)若β为n维列向量，试证明：Aβ=β—(bc)α，其中，b、c为实常数．正确答案：记常数b=，则b＞0，A=E—bααT．(1)AT=(E—bααT)T=E—bααT=A，所以A为对称矩阵．AAT=AA=(E—bααT)(E—bααT)=E一2bααT+b2α(αTα)αT，而αTα=，代入上式得AAT=E，所以A为正交矩阵．(2)αTα=1+4+4=9，ααT=，故(3)Aβ=(E一bααT)β=β—bα(αTβ)=β一b(αTβ)α=β一(bc)α，其中常数c=αTβ．涉及知识点：向量24．设向量组(Ⅰ)：α1，α2，…，αr线性无关，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)：β1，β2，…，βs线性表示．证明：存(Ⅱ)中至少存在一个向量β，使得βj，α2，…，αr线性无关．正确答案：可用反证法：否则，对于j=1，2，…，s，向量组βj，α2，…，αr线性相关，又α2，…，αr线性无关，故βj可由α2，…，αr线性表示，→(Ⅱ)可由α2，…，αr线性表示，又已知α1可由(Ⅱ)线性表示，→α1可由α2，…，αr线性表示，这与(Ⅰ)线性无关矛盾．涉及知识点：向量25．设向量组α1，…，αr线性无关，又β1=a11α1+a21α2+…+ar1αrβ2=a12α1+a22α2+…+ar2αr……βr=a1rα1+a2rα2+…+arrαr记矩阵A=(aij)r×r，证明：β1，β2，…，βr线性无关的充分必要条件是A的行列式｜A｜≠0．正确答案：不妨设αj及βj均为n维列向量(j=1，2，…，r)，则题设线性表示式可写成矩阵形式[β1β2…βr]=[α1α2…αr]A或B=PA，…(*)其中B=[β1β2…βr]及P=[α1α2…αr]均为n×r矩阵，且矩阵P的列向量组线性无关．于是可证两个齐次线性方程组Bx=0与Ax=0同解；若X满足Ax=0，两端左乘P并利用PA=B，得Bx=0；若x满足Bx=0，即PAx=0，或P(Ax)=0，因P的列向量组线性无关，得Ax=0，所以，Ax=0与Bx=0同解，→它们的基础解系所含向量个数相等，即r—r(A)=r—r(B)，→r(A)=r(B)．所以，向量组β1，…，βr线性无关→r[β1β2…βr]=r→r(A)=r→｜A｜≠0．涉及知识点：向量26．求下列向量组的一个极大线性无关组．并用极大线性无关组线性表出该向量组中其它向量：α1=(1，2，3，一4)，α2=(2，3，一4，1)，α3=(2，一5，8，一3)，α4=(5，26，一9，一12)，α5=(3，一4，1，2)．正确答案：α1，α2，α5是一个极大无关组，且α3=α1一α2+α5，α4=3α4+4α2—2α5．或α1，α2，α3是一个极大无关组，且α4=5α1+2α2—2α3，α5=一α1+α2+α3．涉及知识点：向量27．设有向量组(Ⅰ)：α1=(1，1，1，3)T，α2一(一1，一3，5，1)T，α3=(3，2，一1，t+2)T，α4=(一2，一6，10，t)T．(1)t为何值时，(Ⅰ)线性无关?并在此时将向量α=(4，1，6，10)T用(1)线性表出；(2)t为何值时，(Ⅰ)线性相关?并在此时求(Ⅰ)的秩及一个极大无关组．正确答案：对下列矩阵作初等行变换：[α1，α2，α3，α4｜α]=(1)由阶梯形矩阵可见，当t≠2时，α1，α2，α3，α4线性无关，此时，再对上面的阶梯形矩阵施行初等行变换，化为(2)当t=2时，α1，α2，α3，α4线性相关，其极大无关组可取为α1，α2，α3(或α1，α3，α4，)．涉及知识点：向量28．已知R3的两个基分别为求由基(Ⅰ)到基(Ⅱ)的过渡矩阵C．正确答案：由[β1β2β3]=[α1α2α3]C→C=[α1α2α3]—1[β1β2β3]=涉及知识点：向量29．设α1，…，αn—1，β1，β2均为n维实向量，α1，…，αn—1线性无关，且βj(j=1，2)与α1，