考研数学一概率与数理统计-试卷2-真题(含答案与解析)-交互

考研数学一（概率与数理统计）-试卷2(总分64,做题时间90分钟)1.选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1.

设随机事件A与B互不相容，则()A

B

C

D

该题您未回答:х

该问题分值:2答案:D解析：已知因此选项A、B不能选．由于故选D．2.

某射手的命中率为p(0＜P＜1)，该射手连续射击n次才命中k次(k≤n)的概率为()A

pk(1一p)n一kB

CnkPk(1一p)n一kP．C

Cn一1k一1PpkP(1一p)n一kP．D

Cn一1k一1p一k一1P(1一P)n一kP该题您未回答:х

该问题分值:2答案:C解析：n次射击视为n次重复独立试验，每次射击命中概率为p，没有命中的概率为1一p，设事件A=“射击n次命中k次”=“前n一1次有k一1次击中，且第n次也击中”，则P(A)=Cn一1k一1pk一1n(1一p)n一1一(k一1)．p=Cn一1k一1pk(1一p)n一k．应选C．3.

设两两独立且概率相等的三事件A，B，C满足条件则P(A)的值为()A

B

C

D

该题您未回答:х

该问题分值:2答案:A解析：设P(A)=x，则P(A)=P(B)=P(C)=x，且P(AB)=P(BC)=P(AC)=x2，由公式P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(BC)一P(AC)+P(ABC)4.

对于任意两事件A和B，与A∪B=B不等价的是()A

B

C

D

该题您未回答:х

该问题分值:2答案:D解析：选项A、B、C均与A∪B=B等价，当A≠B时，由A∪B=B不能推得选项D．这表明A∪B=B与不等价，故选D．5.

假设X为随机变量，则对任意实数a，概率P{X=a}=0的充分必要条件是()A

X是离散型随机变量．B

X不是离散型随机变量．C

X的分布函数是连续函数．D

X的概率密度是连续函数．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:C解析：对任意实数a有P{X=a}=0是连续型随机变量的必要条件但非充分条件，因此选项B、D不能选，又离散型随机变量必有a使P{X=a}≠0，选项A不能选，故正确选项是C．事实上，P{X=a}=0F(a)一F(a—0)=0对任意实数a，F(a)=F(a一0)F(x)是x的连续函数．6.

设相互独立的两随机变量X与Y均服从分布B(1，)，则P{X≤2Y}=()A

B

C

D

该题您未回答:х

该问题分值:2答案:D解析：7.

设相互独立的两随机变量X，Y均服从E(1)分布，则P{l＜min(X，Y)≤2}的值为()A

e一1．B

1一e一1．C

1一e一2．D

e一2一e一4．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:D解析：P{1＜min(X，Y)≤2}=P{min(X，Y)＞1}一P{min(X，Y)＞2}=P{X＞1，Y＞1}一P{X＞2，Y＞2}=P{X＞1}P{Y＞1}一P{x＞2}P{Y＞2}=e一1．e一1—e一2．e一2=e—e一4．故选项D正确．8.

对于任意两随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是()A

E(XY)=E(x)．E(Y)．B

Cov(X，Y)=0．C

D(XY)=D(X)．D(Y)．D

D(X+Y)=D(X)+D(Y)．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:C解析：因为Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)．E(Y)=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，所以A与B等价，由D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见选项B与D等价．于是，“X和Y不相关”与选项A，B和D等价，故应选C．9.

已知随机变量X与y的相关系数大于零，则()A

D(X+Y)≥D(X)+D(Y)．B

D(X+Y)＜D(X)+D(Y)．C

D(X—Y)≥D(X)+D(Y)．D

D(X—Y)＜D(X)+D(Y)．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:D解析：根据公式D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2Cov(X，Y)确定正确选项．由于X与Y的相关系数D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)＞D(X)+D(Y)．D(X—Y)=D(X)+D(Y)一2Cov(X，Y)＜D(X)+D(Y)．应选D．10.

设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，是样本均值，记则可以作出服从自由度为n一1的t分布统计量()A

B

C

D

该题您未回答:х

该问题分值:2答案:B解析：11.

设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ已知，σ未知，X1，X2，…，Xn为取自总体X的简单随机样本，则不能作出统计量()A

B

C

D

该题您未回答:х

该问题分值:2答案:C解析：因为σ2未知，故选C．2.填空题1.

每箱产品有10件，其中次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2％，一件次品被误判为正品的概率为10％．则随机检验一箱产品，通过验收的概率p=________．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：0．892解析：设事件A=“一箱产品能够通过验收”，则P(A)=p．事件B=“任取一件产品为正品”，=“任取一件产品为次品”，则依题设可知2.

袋中有8个球，其中3个白球、5个黑球，现随意从中取出4个球，如果4个球中有2个白球、2个黑球，试验停止．否则将4个球放回袋中，重新抽取4个球，直到出现2个白球、2个黑球为止，用X表示抽取次数，则P(X=k)=________(后=1，2，…)．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：解析：若设事件Ai=“第i次取出4个球为2个白球、2个黑球”，由于是有放回取球，因此Ai相互独立，根据超几何分布知3.

设X服从参数为λ的泊松分布，P{x=1}=P{X=2}，则概率P{0＜X2＜3}=________．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：2e一2解析：，解得A=2，所以P{0＜X2＜3}=P{X=1{=2e一2．4.

若为随机变量X的概率密度函数，则a=________．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：解析：5.

设随机变量X与Y均服从正态分布N(μ，σ2)，则P{max(X，Y)＞μ}一P{min(X，Y)＜μ}=________．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：0解析：P{max(X，Y)＞μ}一P{min(X，Y)＜μ}=1一P{max(X，Y)≤μ}一[1一P{min(X，Y)≥μ}]=一P{max(X，Y)≤μ}+P{min(X，Y＞≥μ}=一P{X≤μ，Y≤μ}+P{X≥μ，Y≥μ}=一P{X≤μ}+P{X≤μ，Y＞μ}+P{X＞μ，Y＞μ}=一P{X≤μ}+P{Y＞μ}，因为X与Y均服从正态分布N(μ，δ2)，所以6.

设(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则P{X＜y}=________．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：解析：7.

设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0．4，则X2的数学期望E(X2)=________．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：18．4解析：根据题意可知，X服从n=10，P=0．4的二项分布，因此有E(X)=np=4，D(X)=np(1一p)=2．4，因此E(X2)=D(X)+E2(X)=18．4．8.

设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X—1，则Y与Z的相关系数为________．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：0．9解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X一1)=2Cov(X，Y)，D(Z)=D(2X一1)=4D(X)．Y与Z的相关系数ρYZ为9.

已知总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，X2n是取自总体X容量为2n的简单随机样本，当σ2未知时，Y=(X2i—X2i一1)2为σ2的无偏估计，则C=________，D(Y)=________．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：解析：根据E(Y)=σ2求得C，为此需要先求出X2i一X2i一1分布．由于Xi～N(μ，σ2)，且相互独立，故X2i—X2i一1～N(0，2σ2)，E(X2i—X2i—1)2=D(X2i—X2i—1)+[E(X2i—X2i—1)]2=2σ2．10.

设X1，X2，…，Xn为来自区间[一a，a]上均匀分布的总体X的简单随机样本，则参数a的矩估计量为________．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：解析：因为E(X)=0，不能用一阶矩来估计．11.

设总体X～N(μ1，σ12)，总体Y～N(μ2，σ22)，其中σ12，σ22；未知，设x1，x2，…，xn1是来自总体X的样本，y1，y2，…，yn2是来自总体Y的样本，两样本独立，则对于假设检验H0：μ2=μ2←→H1：μ1≠μ2，使用的统计量为________，它服从的分布为________．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:正确答案：u统计量；N(0，1)解析：3.解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1.

为了减少比赛场次，把20个球队任意分成两组(每组10队)进行比赛，求最强的两队被分在不同组内的概率．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：先考虑总的基本事件数是从20个球队里任意选取10个，再考虑有利事件的基本事件数，即从2个强队里任意选出一组，再从剩余的18个队中任意选出9组的选法数．从20个球队里任意选出10个队分成一组，剩余的10个队为第二组的总的基本事件数为N=C2010用事件A表示两个强队不在同一组内，则可以先从这两个强队中任意选出一队，再从剩余的18个队中任意选出9组，则事件A的基本事件数为M=C21C189，则最强的两队被分在不同组内的概率为2.

电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0．01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率(先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差)．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：一小时内使用电话的用户数量作为随机变量X，则X～B(300，0．01)，概率函数为p(x；300，0．01)=C300x(0．01)x(0．99)300一x．一小时内有4个用户使用电话的概率为p(4；300，0．01)=C3004(0．01)4(0．99)296≈0．1689，X近似服从泊松分布，λ=np=300×0．01=3，泊松分布的概率函数为一小时内有4个用户使用电话的概率为P(X=4)=p(4；3)=≈0．1680，二者的相对误差为≈5‰．3.

设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为P{x=i}=(i=一1，0，1)，Y的概率密度为记Z=X+Y(Ⅱ)求Z的概率密度fZ(z)．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：4.

设随机变量X在区间(0，1)上服从均匀分布，当X取到x(0＜x＜1)时，随机变量Y等可能地在(x，1)上取值．试求：(Ⅰ)(X，Y)的联合概率密度；(Ⅱ)关于Y的边缘概率密度函数；(Ⅲ)P{X+Y＞1}．该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：(Ⅰ)根据题设X在(0，1)上服从均匀分布，因此其概率密度函数为而变量Y，在X=x的条件下，在区间(x，1)上服从均匀分布，所以其条件概率密度为再根据条件概率密度的定义，可得联合概率密度(Ⅱ)根据求得的联合概率密度，不难求出关于Y的边缘概率密度5.

已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，一1)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布．(Ⅰ)求(X，Y)的联合密度函数f(x，y)；(Ⅱ)求边缘密度函数fX(x),FY(y)及条件密度函数fX|Y(x|y)，fY|X(y|x)；并问X与Y是否独立；(Ⅲ)计算概率P{X＞0，Y＞0}，该题您未回答:х

该问题分值:2答案:

正确答案：(Ⅰ)由于以(0，0)，(1，一1)，(1，1)为顶点的三角形面积为1，如图4—2所示，故6.

根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的．求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的