12.3角平分线的性质1

直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定角的平分线的性质角的平分线的性质1

如图，是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC。将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线。你能说明它的道理吗？探究ADCBE2根据角平分仪的制作原理怎样作一个角的平分线？（不用角平分仪或量角器）OABCENOMCENM探究3

２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠AOB的内部交于Ｃ．如何用尺规作角的平分线？AＢＯＭＮＣ作法：

１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．３．作射线OC．则射线ＯＣ即为所求．

4练习平分平角∠AOB，通过上面的步骤得到射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？ABOCD结论：作平角的平分线即可平分平角，由此也得到过直线上一点作这条直线的垂线的方法。5如图：将∠AOB对折，再折出一个直角三角形(使第一条折痕为斜边)，然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？

AOBAOBCDEP探究可以看出，第一条折痕OC是∠AOB_________第二次形成了____条折痕，分别为__________,它们是角平分线上的一点到∠AOB两边的_______这两个距离_______平分线2PD、PE距离相等相等6角的平分线上的点到角的两边的距离相等由此我们得到角平分线的性质定理：你能用三角形全等证明这个性质吗？7如何证明几何命题？：1、明确命题中的已知和求证；2、根据题意，画出图形，并用数学符号

表示已知和求证；3、经过分析，找出由已知推出求证的途径，

写出证明过程。角的平分线上的点到角的两边的距离相等8AOBCDEP已知：OC是∠AOB的平分线，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE分析：仔细观察图形，思考证明两条线断相等的方法有哪些？△PDO≌△PEO吗？9OABED思考：如图所示OC是∠AOB的平分线,P是OC上任意一点,问PE=PD?为什么?CPPD,PE没有垂直OA,OB,它们不是角平分线上任一点到这个角两边的距离,所以不一定相等10运用角平分线的性质角的平分线上的点到角的两边的距离相等。1、距离指的是点到角的两边的垂线段的长；2、该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，

不需要用全等三角形；3、使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有垂直。AOBCDEP已知：OC是∠AOB的平分线，P在OC上，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，求证：PD=PE11例：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P。求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等。BACPMN例题展示：12证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足为D、E、F，BACPDEFMN∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，PD⊥AB，PE⊥BC∴PD=PE同理PE=PF∴PD=PE=PF即点P到三边AB，BC，CA的距离相等13想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么性质？ACPDEFMNB14我们知道，角平分线上的点到____________相等到角两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？你能证明吗？角两边的距离15AOBCDEP已知：P是∠AOB内一点，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，求证：OC是∠AOB的平分线。因此：到角两边的距离相等的点在角的平分线上16想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么性质？三角形的三条角平分线交于一点，并且它到三角形三边的距离相等。ACPDEFMNB17直线表示三条相互交叉的公路,现要建一个货物中转站,要求它到三条公路的距离相等,则可供选择的地址有:()

A.一处B.两处

C.三处D.四处分析:由于没有限制在何处选址,故要求的地址共有四处。18练习如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P。求证：点P到三边AB，BC，CA所在直线的距离相等。CBAPDE19如图，要在S区建一个集贸市场，使它到