连续系统振动梁的弯曲振动

连续系统振动梁的弯曲振动梁的弯曲振动动力学方程细长梁的横向弯曲振动梁各截面的中心惯性轴在同一平面xoy内外载荷作用在该平面内在低频振动时可以忽略剪切变形以及截面绕中性轴转动惯量的影响梁在该平面作横向振动（微振）,这时梁的主要变形是弯曲变形欧拉－伯努利梁（Bernoulli-EulerBeam）

f(x,t):单位长度梁上分布的外力m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩梁参数：I截面对中性轴的惯性积

单位体积梁的质量S梁横截面积E弹性模量外部力：假设：连续系统的振动/梁的弯曲振动第2页,共50页，2024年2月25日，星期天f(x,t):单位长度梁上分布的外力

m(x,t):单位长度梁上分布的外力矩微段受力分析令：y(x,t):

距原点x

处的截面在t

时刻的横向位移

截面上的剪力和弯矩微段的惯性力微段所受的外力微段所受的外力矩连续系统的振动/梁的弯曲振动第3页,共50页，2024年2月25日，星期天力平衡方程：以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去高阶小量得：材料力学的等截面假设，弯矩与挠度的关系：变截面梁的动力学方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动第4页,共50页，2024年2月25日，星期天变截面梁的动力学方程：等截面梁的动力学方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动第5页,共50页，2024年2月25日，星期天固有频率和模态函数变截面梁：讨论梁的自由振动根据对杆纵向振动的分析，梁的主振动可假设为：代入自由振动方程：等截面梁：通解：和可通过梁的边界条件确定

连续系统的振动/梁的弯曲振动第6页,共50页，2024年2月25日，星期天等截面梁：主振动：第i阶主振动：

无穷多个和由系统的初始条件确定

系统的自由振动是无穷多个主振动的叠加：连续系统的振动/梁的弯曲振动第7页,共50页，2024年2月25日，星期天常见的约束状况与边界条件（1）固定端挠度和截面转角为零（2）简支端挠度和弯矩为零（3）自由端弯矩和剪力为零连续系统的振动/梁的弯曲振动第8页,共50页，2024年2月25日，星期天例：求悬臂梁固有频率和模态函数解：一端固定，一端自由边界条件固定端：挠度和截面转角为零自由端：弯矩和截面剪力为零非零解条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动第9页,共50页，2024年2月25日，星期天频率方程当

i=1,2,3时当

时各阶固有频率：对应的各阶模态函数：简化连续系统的振动/梁的弯曲振动第10页,共50页，2024年2月25日，星期天铅垂梁的前三阶模态形状第一阶模态第二阶模态第三阶模态一个节点两个节点无节点节点位置连续系统的振动/梁的弯曲振动第11页,共50页，2024年2月25日，星期天例：简支梁固有频率和模态函数解：一端固定铰，一端滑动铰固定铰：挠度和截面弯矩为零滑动铰：挠度和截面弯矩为零频率方程：固有频率：连续系统的振动/梁的弯曲振动第12页,共50页，2024年2月25日，星期天频率方程：固有频率：模态函数：第一阶模态第二阶模态第三阶模态第四阶模态模态形状节点位置无节点一个节点两个节点三个节点连续系统的振动/梁的弯曲振动第13页,共50页，2024年2月25日，星期天例：两端自由梁的固有频率和模态函数背景：导弹飞行系统类别：半正定系统存在刚体模态导弹飞行1导弹飞行2连续系统的振动/梁的弯曲振动第14页,共50页，2024年2月25日，星期天频率方程：模态函数：当

i=1,2,3时解得：当

时自由端：弯矩和截面剪力为零当

时对应刚体模态连续系统的振动/梁的弯曲振动第15页,共50页，2024年2月25日，星期天第二阶模态第三阶模态第四阶模态第五阶模态自由梁的模态形状连续系统的振动/梁的弯曲振动第16页,共50页，2024年2月25日，星期天例：试用数值确定一根一端固定另一端简支的梁的频率方程，并且绘出第一阶模态和第二阶模态的挠度曲线。连续系统的振动/梁的弯曲振动第17页,共50页，2024年2月25日，星期天解：梁的自由振动方程：边界条件固定端：自由端：模态函数：连续系统的振动/梁的弯曲振动第18页,共50页，2024年2月25日，星期天连续系统的振动/梁的弯曲振动第19页,共50页，2024年2月25日，星期天非零解条件：频率方程：求得：对应的各阶模态函数：代入：连续系统的振动/梁的弯曲振动第20页,共50页，2024年2月25日，星期天第一阶模态：第二阶模态：0.560连续系统的振动/梁的弯曲振动第21页,共50页，2024年2月25日，星期天例：悬臂梁一端固定，另一端有弹性支撑边界条件固定端：挠度和截面转角为零弹性支撑端：剪力、弯矩分别与直线弹簧反力、卷簧反力矩相等弹簧二：直线弹簧与挠度成正比弹簧一：卷簧与截面转角成正比弯矩平衡条件：剪力平衡条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动第22页,共50页，2024年2月25日，星期天固定端：弹性支撑端：由固定端条件解得：由弹性支撑固定端条件解得：连续系统的振动/梁的弯曲振动第23页,共50页，2024年2月25日，星期天或非零解条件导出频率方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动第24页,共50页，2024年2月25日，星期天（1）若k1、k2

同时为零，则退化为悬臂梁的情形讨论：连续系统的振动/梁的弯曲振动第25页,共50页，2024年2月25日，星期天（2）若k1＝0、k2无穷大，则退化为一端固定另一端简支的情形讨论：连续系统的振动/梁的弯曲振动第26页,共50页，2024年2月25日，星期天例：悬臂梁自由端附有质量求频率方程解：固定端：自由端：弯矩为零，剪力与质量惯性力平衡利用同上述算例相同的方法，得频率方程：其中：为集中质量与梁质量之比为梁质量连续系统的振动/梁的弯曲振动第27页,共50页，2024年2月25日，星期天说明：以上分析中没有考虑剪切变形和截面转动惯量的影响，因此以上有关梁的分析只适用于细长梁（梁的长度大于梁高度5倍以上）若梁为非细长梁，必须考虑剪切变形和截面转动惯量的影响铁木辛柯梁（Timoshenkobeam）考虑剪切变形使得梁的刚度降低，考虑转动惯量使得梁的惯性增加，这两个因素都会使梁的固有频率降低连续系统的振动/梁的弯曲振动第28页,共50页，2024年2月25日，星期天模态函数的正交性等截面梁：变截面梁自由振动方程：主振动：代入，得：设：连续系统的振动/梁的弯曲振动第29页,共50页，2024年2月25日，星期天（1）（2）(1)式两边乘并沿梁长

积分：分部积分：在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零

(3)代入（3）式：同理，(2)式两边乘并沿梁长积分：相减：连续系统的振动/梁的弯曲振动第30页,共50页，2024年2月25日，星期天时，主振型关于质量的正交性

主振型关于刚度的正交性

i=j恒成立第j

阶主质量第j

阶主刚度第j

阶固有频率连续系统的振动/梁的弯曲振动第31页,共50页，2024年2月25日，星期天第j

阶主质量第j

阶主刚度第j

阶固有频率时时主振型中的常数按归一化条件确定：正则振型正则振型的正交性：连续系统的振动/梁的弯曲振动第32页,共50页，2024年2月25日，星期天梁横向振动的强迫响应方程：令：代入：两边乘并沿梁长积分：由正交性条件：第j

个正则坐标方程第j

个正则坐标的广义力由分部积分：连续系统的振动/梁的弯曲振动第33页,共50页，2024年2月25日，星期天梁初始条件的处理两式乘并沿梁长积分，由正交性条件：

第j

个正则坐标方程：第j

个正则模态响应：得到后，即可得到梁的响应连续系统的振动/梁的弯曲振动第34页,共50页，2024年2月25日，星期天如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩利用函数:

连续系统的振动/梁的弯曲振动第35页,共50页，2024年2月25日，星期天中点受常力P作用产生静变形例：简支梁求：当P突然移出时梁的响应解：由材力得初始条件:

梁中点的静挠度连续系统的振动/梁的弯曲振动第36页,共50页，2024年2月25日，星期天梁两端简支固有频率：振型函数：归一化条件：模态初始条件：连续系统的振动/梁的弯曲振动第37页,共50页，2024年2月25日，星期天模态初始条件：没有激振力，正则广义力为零正则广义力模态响应：梁响应：连续系统的振动/梁的弯曲振动第38页,共50页，2024年2月25日，星期天例：简支梁求：梁的响应中点受力矩

作用连续系统的振动/梁的弯曲振动第39页,共50页，2024年2月25日，星期天解：由上例知：固有频率：振型函数：正则广义力：第i

个正则方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动第40页,共50页，2024年2月25日，星期天例：悬臂梁自由端作用有正弦力求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。连续系统的振动/梁的弯曲振动第41页,共50页，2024年2月25日，星期天解：强迫振动方程：模态函数：设解为：代入方程：连续系统的振动/梁的弯曲振动第42页,共50页，2024年2月25日，星期天利用正则模态正交性条件：两边乘并沿梁长对x

积分：模态稳态解：梁的响应：连续系统的振动/梁的弯曲振动第43页,共50页，2024年2月25日，星期天梁自由端的响应令x=l：连续系统的振动/梁的弯曲振动第44页,共50页，2024年2月25日，星期天例：简支梁，左端承受正弦支撑运动试求梁的响应。连续系统的振动/梁的弯曲振动第45页,共50页，2024年2月25日，星期天解：振动方程解释：微段分析力平衡方程连续系统的振动/梁的弯曲振动第46页,共50页，2024年2月25日，星期天以右截面上任一点为矩心，力矩平衡：略去高阶小量：连续系统的振动/梁的弯曲