能量原理与变分法

能量原理与变分法§12-1外力功变形能外力功：弹性体在外力作用下发生变形，于是外力的作用点将沿外力的作用方向产生位移（相应位移）。外力在相应位移上所作的功称为外力功。变形能：在外力作功的同时，弹性体因变形而具有了作功的能力，即弹性体因变形而储存了能量。这种能量称为变形能。外力功和变形能的关系：若外力从零平缓地增加到最终值，则变形中的弹性体每一瞬时都处于平衡状态，故其动能和其它能量损失不计，于是认为全部外力共都转变成变形能。即：能量法：利用外力功和变形能的概念，建立分析变形、位移、内力的原理和方法，称为能量法。第2页,共28页，2024年2月25日，星期天外力功的计算：§12-2外力功和变形能的计算F——广义力

——广义位移梁为非弹性体时：梁为弹性体时：在线弹性范围内:第3页,共28页，2024年2月25日，星期天变形能的计算：

如果弹性体上作用几个广义力（包括力偶），产生相应的广义位移（包括角位移），那么非线性弹性体的变形能：线性弹性体的变形能：

克拉比隆（Clapeyron

）原理：弹性体的变形能等于广义力与其相应广义位移乘积之半的总和。第4页,共28页，2024年2月25日，星期天?对于杆C先加再加特性1：计算U时不能用叠加原理。(a)(c)(b)例：现有a，b，c三根杆，已知其长度l和刚度EA相等，

求：各杆的变形能。第5页,共28页，2024年2月25日，星期天特性2：U只与载荷的最终数值有关；与加载方式无关。(a)(c)(b)对于杆C先加再加第6页,共28页，2024年2月25日，星期天

杆件在基本变形情况下的变形能：

变形形式外力功位移与力的关系变形能第7页,共28页，2024年2月25日，星期天组合变形情况下杆件的变形能：在所截取的微段内，可以认为内力为常量。轴力、剪力、弯矩、扭矩对微段来说是处于外力位置。所以整个杆的变形能注意：对以抗弯为主的杆件及杆系，因轴力和剪力远小于弯矩对变形的影响，所以在计算这类杆件的变形时通常不计轴力和剪力的影响。第8页,共28页，2024年2月25日，星期天思考：变形能的计算能不能用叠加原理第9页,共28页，2024年2月25日，星期天材料质点（微单元体）能量原理与变分法

静力平衡变形几何物理关系偏微分方程

变分法整个变形体的能量

积分方程（能量的变分为零）

变分法是有限元方法的基础变分法与微分方程的描述，两者可以转化第10页,共28页，2024年2月25日，星期天

静力可能状态物体Q，在内部受体力(X，Y，Z)作用，在静力边界S

上受面力(，，)作用

外力与内力(应力）处处（物体内和边界上）满足平衡。第11页,共28页，2024年2月25日，星期天

在物体内满足平衡微分方程

在静力边界上满足静力边界条件

在位移边界上，其反力由上式给出第12页,共28页，2024年2月25日，星期天

在物体内位移与应变满足几何方程ud=vd=wd=

在位移边界Su上，满足位移边界条件变形协调变形可能状态第13页,共28页，2024年2月25日，星期天

静力可能状态（s）和变形可能状态（d）是同一物体的两种不同的受力状态和变形状态，两者可以彼此完全独立而没有任何关系

静力可能状态的应力所给出的变形一般不满足变形协调变形可能状态给出的应力一般不满足平衡微分方程第14页,共28页，2024年2月25日，星期天

可能功原理外力（体力和面力，包括反力）在变形可能的位移上所做功

＝内力（应力）在变形可能的应变上所做功第15页,共28页，2024年2月25日，星期天证明:散度定理第16页,共28页，2024年2月25日，星期天真实状态（静力可能状态）虚位移状态（变形可能状态）虚位移（功）原理第17页,共28页，2024年2月25日，星期天外力虚功＝内力虚功（1）虚功原理没有涉及到物理方程，即没有规定应力与应变之间的具体关系，因此，对弹性、塑性情况均适用。（2）虚位移原理完全等价于平衡微分方程和力边界条件。使用可能功原理，并考虑到位移边界上反力功为零第18页,共28页，2024年2月25日，星期天使用位移法求解，应力、应变等都通过几何方程和物理方程看作是位移的函数。若位移及与之相应的应力与应变满足：（1）单值连续（由它给出的应变满足变形协调条件），（2）位移边界条件，（3）平衡微分方程，（4）静力边界条件，则该位移就是问题的解，即为真实位移。

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仅满足前两个条件的位移场是变形可能的位移场，而后两个条件等价于虚位移原理。故求解弹性力学问题又可叙述为：

(1)在所有变形可能的位移场中，寻找所给出的应力能满足虚位移原理的位移场。或者

(2)真实的位移场除必须是变形可能的位移外，它所给出的应力还应满足虚位移原理。第20页,共28页，2024年2月25日，星期天最小势能原理

内力虚功物体是弹性的，则单位体积内的内力虚功对于整个弹性体内力虚功＝应变能因虚位移而引起的改变第21页,共28页，2024年2月25日，星期天

外力虚功

如果作用的外力是保守力，大小和方向都不变，只是作用点的位置改变外力虚功＝外力势能因虚位移而引起的改变第22页,共28页，2024年2月25日，星期天

称为弹性体的总势能，它是应变能与外力势能之和从弹性体的真实状态出发产生虚位移，所引起的总势能变分应为零，即在真实状态总势能取极值。对于处于稳定平衡的真实状态，应是取最小值，最小势能原理：在所有变形可能的位移中，使总势能达到最小值的位移，就是真实的位移。将上述结果代入虚功原理，得位移变分原理第23页,共28页，2024年2月25日，星期天（1）虚位移原理无论是弹性、还是塑性情况下都成立，但位移变分方程式仅对弹性保守系统有效。（2）变分与微分在数学上的意义等同都是指微小的变化，因此运算方法相同，但它们的运算对象不同：微分运算中，自变量一般是坐标等变量，因变量是函数。变分运算中，自变量是函数，因变量是函数的函数，即数学上所谓的泛函。总势能是位移函数的泛函。对泛函求极值的问题，数学上称之为变分法将求解弹性力学中偏微分方程的问题转化为求解势能变分问题第24页,共28页，2024年2月25日，星期天（1）设满足位移边界的近似位移函数为 使用位移变分原理近似求解

=U＋V＝

(ak，bk，ck)

（2）求弹性体的总势能 第25页,共28页，2024年2月25日，星期天

=

ak＋bk＋＝0（3）总势能变分为零，求待定系数第26页,共28页，2024年2月25日，星期天例题3用变分方法求简支梁在均布荷载作用下的挠度解：（1）设位移函数为

w(x)=c1x(l

x)+c2x2(l2

x2)+

显然，该挠度函数满