逻辑代数基础

逻辑代数基础用于描述客观事物逻辑关系的数学工具，又称布尔代数(BooleAlgebra)或开关代数。逻辑代数可以帮助从实现同一逻辑功能的众多方案中选择出最佳方案，该方案既能达到要求的逻辑功能，使用的元器件和连线又很少。逻辑指事物因果关系的规律。

逻辑代数描述客观事物间的逻辑关系，相应的函数称逻辑函数，变量称逻辑变量。逻辑变量和逻辑函数的取值都只有两个，通常用1和0表示。与普通代数比较用字母表示变量，用代数式描述客观事物间的关系。

相似处相异处运算规律有很多不同。引言第2页,共94页，2024年2月25日，星期天逻辑代数中的1和0不表示数量大小，

仅表示两种相反的状态。

注意例如：开关闭合为1晶体管导通为1电位高为1

断开为0截止为0低为0正逻辑体制负逻辑体制规定高电平为逻辑1、低电平为逻辑0规定低电平为逻辑1、高电平为逻辑0通常未加说明，则为正逻辑体制第3页,共94页，2024年2月25日，星期天主要要求：

掌握逻辑代数的常用运算。理解并初步掌握逻辑函数的建立和表示的方法。

3.1

逻辑代数的基本运算掌握真值表、逻辑式和逻辑图的特点及其相互转换的方法。

第4页,共94页，2024年2月25日，星期天一、三种基本逻辑运算

基本逻辑函数

与逻辑或逻辑非逻辑与运算(逻辑乘)串联开关模型

或运算(逻辑加)并联开关模型

非运算(逻辑非)

短路开关模型1.与逻辑决定某一事件的所有条件都具备时，该事件才发生灭断断亮合合灭断合灭合断灯

Y开关

B开关

A开关

A、B都闭合时，灯

Y才亮。

规定:开关闭合为逻辑1断开为逻辑0灯亮为逻辑1灯灭为逻辑0

真值表111YAB000001010逻辑表达式Y=A·B

或Y=AB

与门

(ANDgate)有0出0；全1出1

第5页,共94页，2024年2月25日，星期天开关A或B闭合或两者都闭合时，灯Y才亮。2.

或逻辑

决定某一事件的诸条件中，只要有一个或一个以上具备时，该事件就发生。灭断断亮合合亮断合亮合断灯

Y开关

B开关

A有1出1全0出0

000111YA

B101110逻辑表达式Y=A+B

或门

(ORgate)≥1

3.非逻辑决定某一事件的条件满足时，事件不发生；反之事件发生。开关闭合时灯灭，开关断开时灯亮。

AY0110Y=A

1

非门(NOTgate)

又称“反相器”

第6页,共94页，2024年2月25日，星期天二、复合逻辑由基本逻辑运算组合而成

与非逻辑(NAND)先与后非若有

0

出

1若全

1

出

0100011YA

B101110011或非逻辑(NOR)先或后非若有

1

出

0若全

0

出

1100YA

B001010与或非逻辑(AND–OR–INVERT)先与后或再非第7页,共94页，2024年2月25日，星期天异或逻辑(Exclusive–OR)若相异出1若相同出0同或逻辑(Exclusive-NOR，即异或非)若相同出1若相异出0000011YAB101110100111YAB001010注意：异或和同或互为反函数，即第8页,共94页，2024年2月25日，星期天[例]试对应输入信号波形分别画出下图各电路的输出波形。解：Y1有0出0全1出1

01100110

00110011Y2Y3相同出

0相异出

1第9页,共94页，2024年2月25日，星期天三、逻辑符号对照

国家标准曾用标准美国标准第10页,共94页，2024年2月25日，星期天3.2逻辑代数的基本定律和公式

主要要求：

掌握逻辑代数的基本公式和基本定律。第11页,共94页，2024年2月25日，星期天一、逻辑代数的基本定律

逻辑常量运算公式逻辑变量与常量的运算公式0

·

0

=

00

·

1

=

01

·

0

=

01

·

1

=

10

+

0

=

00

+

1

=

11

+

0

=

11

+

1

=

10–1律重迭律互补律还原律0+A=A1+A=11·A=A0·A=0A+A=AA·A=A

第12页,共94页，2024年2月25日，星期天交换律、结合律与普通代数相似交换律A+B=B+AA·B=B·A结合律(A+B)+C=A+(B+C)(A·B)·C=A·(B·C)分配律A(B+C)=AB+AC

A+BC=(A+B)(A+C)普通代数没有！利用真值表逻辑等式的证明方法

利用基本公式和基本定律第13页,共94页，2024年2月25日，星期天111111111100

[例]

证明等式A+BC=(A+B)(A+C)解：真值表法公式法右式=(A+B)(A+C)用分配律展开=AA+AC+BA+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A·1+BC=A+BC0000ABCA+BC(A+B)(A+C)000001010011100101110111第14页,共94页，2024年2月25日，星期天

吸收律A+AB=A

A+AB=A(1+B)=A

二、逻辑代数的常用公式第15页,共94页，2024年2月25日，星期天0011111011011100A+BA·BA

B0011001000011100A·BA+BA

B吸收律A+AB=A

推广公式：思考：(1)若已知

A+B=A+C，则

B=C吗？

(2)若已知

AB=AC，则B=C吗？

推广公式：摩根定律(又称反演律)第16页,共94页，2024年2月25日，星期天主要要求：

了解逻辑函数式的定义

实际逻辑问题，其逻辑关系远比基本逻辑复杂。对各种复杂的逻辑关系，常用逻辑函数来描述。3.3逻辑函数了解逻辑函数的约束条件第17页,共94页，2024年2月25日，星期天将逻辑变量作为输入，将逻辑运算的结果作为输出，当输入变量的取值确定之后，输出的值便被唯一的确定下来。反映这种输入与输出之间的逻辑关系的函数便称为逻辑函数。逻辑函数记为：Y=F（A，B，C……）其中：A、B、C……为逻辑变量，Y为逻辑函数，F为某种对应的逻辑关系。逻辑函数具有与普通代数不同的特点：（1）逻辑函数A、B、C……的取值仅为0和1两种；（2）函数和变量之间的关系由与、或、非三种基本运算决定。一、逻辑函数的定义第18页,共94页，2024年2月25日，星期天逻辑变量的取值没有限制的逻辑函数称为完全描述的逻辑函数；若逻辑变量的某些取值组合不可能出现、或是逻辑函数值不唯一，该逻辑函数称为非完全描述的逻辑函数（或称带约束条件的逻辑函数）。与此相对应的取值组合则称为其约束条件。如：8421BCD码中，1010~1111这六种组合是不允许出现的，就称为约束条件。又如：交通灯控制系统中，黄灯亮时，若车已越过停车线，逻辑值为1，未越过停车线，逻辑值为0。其逻辑函数取值是不唯一的。二、逻辑函数的约束条件第19页,共94页，2024年2月25日，星期天主要要求：

了解逻辑函数的表示方法

逻辑函数可通过真值表、逻辑代数式、逻辑图和卡诺图四种方式来表达。3.4逻辑函数的表示了解逻辑函数各种表示方式的特点和相互转换的方法第20页,共94页，2024年2月25日，星期天一、真值表

真值表以表格的形式描述所有变量的取值组合与对应的逻辑函数值。列真值表方法(1)按

n位二进制数递增的方式列出输入变量的各种取值组合。(2)

分别求出各种组合对应的输出逻辑值填入表格。真值表可看作由左右两栏组成，左栏列出所有变量的取值组合，右栏列出变量取值组合对应的逻辑函数值。第21页,共94页，2024年2月25日，星期天【例】举重比赛中有三个裁判员，规定只要有两个或两个以上的裁判员认可，则试举成功，否则试举失败。试给出该“举重判决”问题的真值表。解：三个裁判员作为三个输入变量，分别用A、B、C表示，裁判认可用1表示，否决用0表示。用Y表示输出逻辑函数，试举成功用1表示，试举失败用0表示。由此可列出Y与A、B、C的逻辑关系。ABCY00000010010001111000101111011111第22页,共94页，2024年2月25日，星期天00000111011101111111011110110011110101011001000111100110101000101100010010000000YDCBA输出变量输入变量4个输入变量有

24

=16种取值组合。第23页,共94页，2024年2月25日，星期天二、逻辑代数式用与、或、非等基本逻辑运算表示输入与输出之间关系的表达式称为逻辑代数式，简称逻辑式。逻辑函数式一般根据真值表、卡诺图或逻辑图写出。

(1)找出函数值为

1的项。(2)将这些项中输入变量取值为

1的用原变量代替，取值为

0的用反变量代替，则得到一系列与项。(3)将这些与项相加即得逻辑式。真值表逻辑式例如

ABC1000111100110101000100100100YCBA011010001111

逻辑式为第24页,共94页，2024年2月25日，星期天

n个变量有2n种组合，可对应写出2n个乘积项，这些乘积项均具有下列特点：包含全部变量，且每个变量在该乘积项中(以原变量或反变量)只出现一次。这样的乘积项称为这n个变量的最小项，也称为n变量逻辑函数的最小项。1.

最小项的定义和编号

(一)最小项表达式逻辑函数的标准形式有最小项表达式和最大项表达式两种第25页,共94页，2024年2月25日，星期天如何编号？如何根据输入变量组合写出相应最小项？例如

3变量逻辑函数的最小项有

23=8个将输入变量取值为1的代以原变量，取值为0的代以反变量，则得相应最小项。

简记符号例如

1015m5m44100ABC111110101100011010001000最小项ABCm7m6m5m4m3m2m1m0输入组合对应的十进制数76543210第26页,共94页，2024年2月25日，星期天2.

最小项的基本性质

(1)

对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为

1，

而其余各种变量取值均使其值为

0。三变量最小项表110000000111101000000110100100000101100010000100100001000011100000100010100000010001100000001000ABCm7m6m5m4m3m2m1m0ABC(2)

不同的最小项，使其值为

1的那组变量取值也不同。(3)

对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为

0。(4)

对于变量的任一组取值，全体最小项的和为

1。第27页,共94页，2024年2月25日，星期天3.

最小项编号

最小项用m表示，通常用十进制数作最小项的下标编号。把最小项中的原变量当作1，反变量当作0，所得的二进制数所对应的十进制数即为最小项的编号。4.

最小项表达式若干最小项之和构成最小项表达式（也叫标准与-或）

一般形式

简写形式

第28页,共94页，2024年2月25日，星期天

标准与或式中输入变量的排列顺序非常重要，排列顺序一旦确定，就不能任意改变，否则会造成表达式错误。排列顺序一般采用英文字母的自然排列顺序，不能省略。在与或逻辑函数表达式中，若与项不是最小项，可利用A+/A=1形式补充缺少的变量，将逻辑函数变换成最小项之和的最小项表达式。例1：将Y=AB+AC+BC变换为最小项表达式例2：将变换为标准与-或式第29页,共94页，2024年2月25日，星期天（二）逻辑函数的标准或与式——最大项表示式

n个变量有2n种组合，可对应写出2n个相加项，这些相加项均具有下列特点：包含全部变量，且每个变量在该相加项中(以原变量或反变量)只出现一次。这样的相加项称为这n个变量的最大项，也称为n变量逻辑函数的最大项。1.

最大项的定义和编号

第30页,共94页，2024年2月25日，星期天如何编号？如何根据输入变量组合写出相应最小项？例如

3变量逻辑函数的最大项有

23=8个将输入变量取值为0的代以原变量，取值为1的代以反变量，则得相应最大项。

简记符号例如

M7M6M5M4M3M2M1M0输入组合对应的十进制数76543210111110101100011010001000最大项ABC0113M31004M4第31页,共94页，2024年2月25日，星期天2.

最大项的基本性质

②

不同的最大项，使其值为

0的那组变量取值也不同。③

对于变量的任一组取值，任意两个最大项的相加为

1。④

对于变量的任一组取值，全体最大项的积为

0。①

对任意一最大项，只有一组变量取值使它的值为

0，

而其余各种变量取值均使其值为

1。3.最小项与最大项的关系

变量数相同时，下标号相同的最大项和最小项互补，即例如

第32页,共94页，2024年2月25日，星期天4.逻辑函数的标准或与式

每一个或项都是最大项的或与逻辑式称为标准或与式，又称最大项表达式。

标准或与式中输入变量的排列顺序非常重要，排列顺序一旦确定，就不能任意改变，否则会造成表达式错误。排列顺序一般采用英文字母的自然排列顺序，不能省略。简写形式

一般形式

第33页,共94页，2024年2月25日，星期天真值表标准或与式例如

ABC0000011110111101100110101100YCBA1110000111

反函数逻辑式为(1)找出函数值为

0的项。(2)将这些项中输入变量取值为

1的用反变量代替，取值为

0的用反变量代替，则得到一系列或项。(3)将这些或项相乘即得逻辑式Y。*(4)也可反演规则得出逻辑式Y则逻辑式第34页,共94页，2024年2月25日，星期天[例]

已知逻辑函数Y的真值表如下，试给出标准与-或式和标准或-与式。ABCY00010010010101101001101011011110m0m2m4m6（1）找出真值表中Y=1对应的最小项，M1M3M5M7解：（2）找出真值表中Y=0对的最大项，则标准或-与式为则标准与-或式为同一逻辑函数，在标准与-或式中已有的最小项编号，则在标准或-与式中的最大项序号恰好是没有的最小项编号。第35页,共94页，2024年2月25日，星期天例1：将逻辑函数Y=(A+C)(/A+B)变换为最大项表达式当求出最小项表达式时，同一逻辑函数的最大项表达式可根据最小项表达式中缺少的编号直接写出。例2：将逻辑函数变换为最小项表达式和最大项表达式···？第36页,共94页，2024年2月25日，星期天

同一个逻辑函数除了用标准与或式和标准或与式描述外，还可以用其它类型的逻辑式描述(统称非标准式)。（三）逻辑函数的非标准式

常见的非标准式有与或式、或与式、与非与非式、或非或非式、与或非式。下面是表示示例和各表达式之间的转换：第37页,共94页，2024年2月25日，星期天逻辑式有多种形式，采用何种形式视需要而定。各种形式间可以相互变换。例如与或表达式

或与表达式与非-

与非表达式或非-

或非表达式与或非表达式转换方法举例

与或式与非式

用还原律

用摩根定律

或与式或非式与或非式

用还原律

用摩根定律

用摩根定律

第38页,共94页，2024年2月25日，星期天

在无约束条件的逻辑函数的表示式基础上，增加约束条件逻辑表示式，就是带约束条件的逻辑函数的表示式。带约束条件的逻辑函数表示式也分标准式和非标准式两大类。（四）具有约束条件的逻辑函数表示式（1）标准式

约束条件就是某些变量取值组合不可能出现，或者某些变量取值组合对应的函数值不唯一，这些取值组合对应的最小项称为约束项，亦称无关项。为了使用方便，需要将约束项进行编号，常用di表示。约束项下标i的编号规则类似最小项下标i的编号规则。第39页,共94页，2024年2月25日，星期天

【例3-2】某四变量逻辑函数，其中变量A、B、C、D为表示1位十进制数X的8421BCD码，当4≤X≤8时，逻辑函数Y为1；否则Y为0。试列出该逻辑函数的真值表，并给出具有无关项逻辑函数的标准与或式。

解：由于变量A、B、C、D取值为8421BCD码，1010~1111取值组合不可能出现，由已知条件4≤X≤8时，逻辑函数Y为1列出该逻辑函数的真值表，

ABCDY00000001001000110100010101100111100010011010101111001101111011110000111110××××××第40页,共94页，2024年2月25日，星期天由真值表写出对应的具有无关项逻辑函数的标准与或式（简写形式）：标准或与式（简写形式）：表示变量（A,B,C,D）取值组合不可能出现的1010~1111六个编号最小项。表示变量（A,B,C,D）取值组合不可能出现的1010~1111六个编号最大项。第41页,共94页，2024年2月25日，星期天

类似普通代数中函数的约束条件表示方法，逻辑代数中的约束条件也可以采用与逻辑函数分开，单独用与项（也可以或项）表示，称约束条件的非标准表示式。（2）非标准式

也可单独用或项表示为：约束条件可单独用与项表示为：第42页,共94页，2024年2月25日，星期天重要规则

(一)

代入规则A

A

A

A均用代替A均用代替B均用C代替利用代入规则能扩展基本定律的应用。

将逻辑等式两边的某一变量均用同一个逻辑函数替代，等式仍然成立。第43页,共94页，2024年2月25日，星期天变换时注意：(1)

不能改变原来的运算顺序。(2)

反变量换成原变量只对单个变量有效，而长非

号保持不变。可见，求逻辑函数的反函数有三种方法：利用反演规则、摩根定律或真值表。原运算次序为

(二)

反演规则对任一个逻辑函数式

Y，将“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变量换成原变量，则得到原逻辑函数的反函数。第44页,共94页，2024年2月25日，星期天如果逻辑函数为编号表示的标准最小项或最大项表达式，一般不采用反演规则求反函数。可根据最小项与最大项的互补关系，若原函数为标准的最小项表达式，对应反函数采用标准的最大项表达式，则反函数中的最大项编号就是原函数中的最小项编号；例反函数第45页,共94页，2024年2月25日，星期天

(三)

对偶规则对任一个逻辑函数式

Y，将“·”换成“+”，“+”换成“·”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，则得到原逻辑函数式的对偶式

Y

。

对偶规则：两个函数式相等，则它们的对偶式也相等。

应用对偶规则可将基本公式和定律扩展。变换时注意：(1)

变量不改变

(2)

不能改变原来的运算顺序A+AB=AA·(A+B)=A

第46页,共94页，2024年2月25日，星期天如果逻辑函数为编号表示的标准最小项或最大项表达式，一般不采用对偶规则求对偶函数。可根据最小项与最大项的对偶关系:若n变量的最小项编号mi，对应对偶式的最大项编号Mj

，则

j=2n–1-i例根据上述关系，若n变量原函数为标准的最小项表达式，对应的对偶函数采用标准的最大项表达式，则对偶函数的最大项编号由上式确定；对应的对偶函数仍采用标准的最小项表达式，则对偶函数的最小项编号就是对偶函数的标准最大项表达式中的没有的编号。对偶函数第47页,共94页，2024年2月25日，星期天运算次序为先非后与再或，因此用三级电路实现之。由基本逻辑门和复合逻辑门符号组成的能完成某一逻辑功能的电路图。

根据逻辑式画逻辑图的方法:将各级逻辑运算用相应逻辑门去实现。例：画的逻辑图反变量用非门实现与项用与门实现相加项用或门实现三、逻辑图第48页,共94页，2024年2月25日，星期天(3)

画逻辑图

与或表达式(可用2个非门、

2个与门和1个或门实现)异或非表达式(可用1个异或门和1个非门实现)=Ａ⊙B设计逻辑电路的基本原则是使电路最简。第49页,共94页，2024年2月25日，星期天例如ABC+ABC=AB（1）相邻最小项

两个最小项中只有一个变量互为反变量，其余变量均相同，称为相邻最小项，简称相邻项。例如

三变量最小项

ABC

和

ABC

相邻最小项重要特点：两个相邻最小项相加可合并为一项，

消去互反变量，化简为相同变量相与。将n变量的2n个最小项用2n个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n变量最小项卡诺图，

简称为变量卡诺图。（2）变量卡诺图3.4.4卡诺图表示

1卡诺图的标准形式第50页,共94页，2024年2月25日，星期天变量取0的代以反变量取1的代以原变量AB二变量卡诺图0101000110110001AB0101m0m1m2m3

0

1

2

3ABAAB

BABABABAB四变量卡诺图

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10三变量卡诺图ABC01000111

10

m6

m7

m4

m2

m3000

m0

m5001

m1

6

7

5

4

2

3

1

0ABCD00011110000111

10以循环码排列以保证相邻性第51页,共94页，2024年2月25日，星期天变量取0的代以反变量取1的代以原变量ABCD00011110000111

10

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10ABCD相邻项在几何位置上也相邻卡诺图特点：循环相邻性同一列最上与最下方格相邻同一行最左与最右方格相邻五变量及以上卡诺图，由于小方格太多，反而显得复杂。第52页,共94页，2024年2月25日，星期天用卡诺图表示逻辑函数举例

已知标准与-或式画函数卡诺图

[例]

试画出函数Y=∑m(0,1,12,13,15)的卡诺图解：(1)

画出四变量卡诺图(2)

填图逻辑式中的最小项m0、m1、m12、m13、m15

对应的方格填1，其余不填或填0。ABCD0001111000011110

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

1

1

1

1

1

2卡诺图表示逻辑函数第53页,共94页，2024年2月25日，星期天已知标准与-或式画函数卡诺图

[例]

试画出函数Y=∑m(0,1,12,13,15)+∑d(2,3,14)的卡诺图解：(1)

画出四变量卡诺图(2)

填图逻辑式中m0、m1、m12、m13、m15

对应的方格填1;m2、m3、m14对应的方格填×;其余不填或填0。ABCD0001111000011110

0

1

3

2

4

5

7

6

12

13

15

14

8

9

11

10

1

1×

×

1

1

1×

第54页,共94页，2024年2月25日，星期天已知一般表达式画函数卡诺图解：(1)

将逻辑式转化为与-或式(2)

作四变量卡诺图找出各与项所对应的最小项方格填1，其余不填。

[例]已知，试画出Y的卡诺图。AB+ABCD0001111000011110(3)

根据与-或式填图

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

AB对应最小项为同时满足A=1，

B=1的方格。BCD对应最小项为同时满足B=1，C=0，D=1的方格AD对应最小项为同时满足A=0，D=1的方格。第55页,共94页，2024年2月25日，星期天已知真值表画函数卡诺图[例]

已知逻辑函数Y的真值表如下，试画出Y的卡诺图。解：(1)

画3变量卡诺图。ABCY00010010010101101001101011011110ABC0100011110

6

7

5

4

2

3

1

0m0m2m4m6

1

1

1

1(2)找出真值表中Y=1

对应的最小项，在卡诺图相应方格中填1，其余不填。第56页,共94页，2024年2月25日，星期天将输入变量可能的取值组合和对应的输出值按时间顺序画出的波形图例：已知输入变量A、B、C和输出Y的逻辑函数真值表如下表所示，用波形图表示该逻辑函数。输入输出ABCY00000011010001111001101011001111四、波形图第57页,共94页，2024年2月25日，星期天主要要求：

理解最简与-或式和最简与非式的标准。

掌握逻辑函数的卡诺图化简法。3.6逻辑函数的化简方法

掌握逻辑函数的代数化简法。第58页,共94页，2024年2月25日，星期天3.6.1逻辑函数式化简的意义与标准

化简意义使逻辑式最简，以便设计出最简的逻辑电路，从而节省元器件、优化生产工艺、降低成本和提高系统可靠性。不同形式逻辑式有不同的最简式，一般先求取最简与-

或式，然后通过变换得到所需最简式。第59页,共94页，2024年2月25日，星期天1最简与-

或式标准

(1)乘积项(即与项)的个数最少(2)每个乘积项中的变量数最少用与门个数最少与门的输入端数最少

2最简与非式标准(1)非号个数最少(2)每个非号中的变量数最少用与非门个数最少与非门的输入端数最少

3最简或-与式标准

(1)相加项(即或项)的个数最少(2)每个相加项中的变量数最少用或门个数最少或门的输入端数最少

第60页,共94页，2024年2月25日，星期天3.6.2公式化简法

运用逻辑代数的基本定律和公式对逻辑式进行化简。并项法

运用，将两项合并为一项，并消去一个变量。第61页,共94页，2024年2月25日，星期天吸收法

运用A+AB

=A和，消去多余的与项。第62页,共94页，2024年2月25日，星期天消去法

运用吸收律

，消去多余因子。第63页,共94页，2024年2月25日，星期天配项法通过乘或加入零项进行配项，然后再化简。第64页,共94页，2024年2月25日，星期天综合灵活运用上述方法

[例]化简逻辑式解：

应用[例]化简逻辑式解：

应用应用AB第65页,共94页，2024年2月25日，星期天[例]化简逻辑式解：

应用用摩根定律第66页,共94页，2024年2月25日，星期天[例]化简逻辑式解：

最简结果不是唯一第67页,共94页，2024年2月25日，星期天[例]化简逻辑式解：先将或—

与式变换成与—或式（用对偶规则）再取对偶还原公式法化简对逻辑函数变量的的个数没限制。化简需要一定技巧、有时结果较难判定是否为最简，且最简结果也不一定是唯一的。或—

与式化简第68页,共94页，2024年2月25日，星期天代数化简法

优点：对变量个数没有限制。缺点：需技巧，不易判断是否最简式。

卡诺图化简法优点：简单、直观，有一定的步骤和方法易判断结果是否最简。

缺点：适合变量个数较少的情况。一般用于四变量以下函数的化简。代数化简法与卡诺图化简法的特点3.6.3卡诺图化简法

第69页,共94页，2024年2月25日，星期天化简规律

2

个相邻最小项有

1个变量相异，相加可以消去这

1个变量，化简结果为相同变量的与；

4个相邻最小项有2个变量相异，相加可以消去这2个变量，化简结果为相同变量的与；

8个相邻最小项有3个变量相异，相加可以消去这3个变量，化简结果为相同变量的与；……

2n个相邻最小项有

n个变量相异，相加可以消去这

n个变量，化简结果为相同变量的与。消异存同

第70页,共94页，2024年2月25日，星期天ABCD0001111000011110

1

1例如

2个相邻项合并消去

1个变量，化简结果为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000011110

1

1例如

2个相邻项合并消去

1个变量，化简结果为相同变量相与。ABCD+ABCD=ABDABCD0001111000011110例如

1

1

1

1

ABCD+ABCD+ABCD+ABCD=ACD+ACD=AD

4个相邻项合并消去2个变量，化简结果为相同变量相与。8个相邻项合并消去3个变量A

1

1

1

1

1

1

1

1第71页,共94页，2024年2月25日，星期天画包围圈规则包围圈必须包含2n个相邻1方格，且必须成方形。先圈小再圈大，圈越大越是好；1方格可重复圈，但须每圈有新1；每个“1”格须圈到，孤立项也不能掉。同一列最上边和最下边循环相邻，可画圈；同一行最左边和最右边循环相邻，可画圈；四个角上的1方格也循环相邻，可画圈。注意

ABCD+ABCD+ABCD+ABCD卡诺

图化

简法

步骤画函数卡诺图

将各圈分别化简对填1的相邻最小项方格画包围圈

将各圈化简结果逻辑加

第72页,共94页，2024年2月25日，星期天第73页,共94页，2024年2月25日，星期天卡诺图中含无关项方格的处理原则：无关项的取值对逻辑函数值没有影响。为了使卡诺图中相邻1方格画包围圈个数最少而且包围圈中相邻1方格的个数最多，卡诺图中的无关项方格应视需要可将无关项方格看作1方格或0方格。包围圈符合要求这个包围圈不符合要求第74页,共94页，2024年2月25日，星期天m15

m9

m7

m6

m5

m4

m2

m0解：(1)画变量卡诺图[例]用卡诺图化简逻辑函数

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,4,5,6,7,9,15)ABCD0001111000011110(2)填卡诺图

1

1

1

1

1

1

1

1(3)画包围圈abcd(4)将各图分别化简圈2个可消去

1个变量，化简为3个相同变量相与。Yb=BCD圈4个可消去

2个变量，化简为2个相同变量相与。孤立项Ya=ABCDYc=

AB循环相邻

Yd=

AD(5)将各图化简结果逻辑加，得最简与-或式第75页,共94页，2024年2月25日，星期天解：(1)画变量卡诺图[例]用卡诺图化简逻辑函数

Y(A,B,C,D)=∑m(0,2,5,7,8,10,12,14,15)ABCD0001111000011110(2)填卡诺图

1

1

1

1

1

1

1

1(4)求最简与-或式

Y=

1消1个剩3个(3)画圈消2个剩2个

4个角上的最小项循环相邻最简结果未必唯一。第76页,共94页，2024年2月25日，星期天找

AB

=11,C

=

1

的公共区域找

A

=

1,

CD

=

01

的公共区域找

B

=

1,

D

=

1

的公共区域解：(1)画变量卡诺图ABCD0001111000011110(2)填图

1

1(4)化简(3)画圈[例]用卡诺图化简逻辑函数0011m30100m4

1

1

1

1

1

1

1

1要画吗？Y=第77页,共94页，2024年2月25日，星期天[例]已知某逻辑函数的卡诺图如下所示，试写出其最简与-或式。ABCD0001111000011110

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1解：

0方格很少且为相邻项，故用圈0法先求Y的最简与或式。1111111111逻辑函数Y的最简与-或式取反（或取对偶）就是对应逻辑函数Y（或Y

）的最简或-与式，反之亦然。第78页,共94页，2024年2月25日，星期天[例]已知函数真值表如下，试用卡诺图法求其最简与或式。ABCY00010011010001111001101011011111注意：该卡诺图还有其他画圈法可见，最简结果未必唯一。解：(1)画函数卡诺图ABC01000111

10

1

1

1

1

1

1(3)化简(2)画圈Y=

1

1

1

1

1

1ABC0100011110第79页,共94页，2024年2月25日，星期天将d10看成0,其余×看成1

将×看成0

ABCD00011110000111

10

1

1

1

1

1

1

×

×

×

×

×

×

×显然左图化简结果最简

解：(1)画变量卡诺图[例]用卡诺图化简函数

Y=∑m(0,1,4,6,9,13)+∑d(2,3,5,7,10,11,15)ABCD00011110000111

10(2)填图

1

1

1

1

1(4)写出最简与

-

或式最小项(3)画包围圈无关项

1

×

×

×

×

×

×

×

0

×(5)本题逻辑函数的最大项表达式第80页,共94页，2024年2月25日，星期天[例]已知函数

Y的真值

表如下，求其最简

与

-

或式。ABCY000100110100011×1000101111001110解：(1)画变量卡诺图ABC0100011110

×

1

1

1(4)写出最简与

-

或式(2)填图(3)画包围圈

×要画圈吗？第81页,共94页，2024年2月25日，星期天解：(1)画变量卡诺图ABCD0001111000011110(2)填图(4)求最简与-

或式(3)画包围圈

1

1

1

1求最简与非式基本方法是：先求最简与或式，再利用还原律和摩根定律变换为最简与非式。[例]求函数的最简与非式

1

1

×

×

×

×

×

×

×

×(5)求最简与非式分析题意称约束条件，表明与项AB和AC对应的最小项不允许出现，因此

AB和AC对应的方格为无关