高数函数的极限

高数函数的极限在十八世纪，著名人口学家马尔萨斯提出，如果人口的数量按照等比级数增长，最终地球将无法承受人类的生存。用数学的语言叙述这个论断：(1+α)x

=

+∞，其中α是大于0的常数。这个问题属于函数极限的范畴。例如：整标函数第2页,共33页，2024年2月25日，星期天一、函数极限的定义在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限。下面，我们将主要研究以下两种情形：第3页,共33页，2024年2月25日，星期天1.自变量趋向无穷大时函数的极限第4页,共33页，2024年2月25日，星期天通过上面演示实验的观察:问题:如何用数学语言刻划函数“无限接近”.第5页,共33页，2024年2月25日，星期天第6页,共33页，2024年2月25日，星期天②几何解释:直线y=A为曲线的水平渐近线(horizontalasymptote)第7页,共33页，2024年2月25日，星期天例1.

证明证:取因此注:就有故欲使即第8页,共33页，2024年2月25日，星期天②另两种情形:称为单侧极限第9页,共33页，2024年2月25日，星期天直线y=A仍是曲线y=f(x)

的渐近线.几何意义:都有水平渐近线都有水平渐近线第10页,共33页，2024年2月25日，星期天=例(1)例(2)定理第11页,共33页，2024年2月25日，星期天例2证：(1)第12页,共33页，2024年2月25日，星期天2.自变量趋于有限值时函数的极限第13页,共33页，2024年2月25日，星期天第14页,共33页，2024年2月25日，星期天②几何解释:注意：第15页,共33页，2024年2月25日，星期天例3证例4证第16页,共33页，2024年2月25日，星期天联系，以便对于任给的ε，总能找到对应的δ，对于满足在用函数极限的定义证明时，必须找出δ与ε之间的注意：0<|x-|<δ的一切x，使不等式|f(x)-A|<ε都成立例5证第17页,共33页，2024年2月25日，星期天例6.证明证:欲使取则当时,必有因此只要第18页,共33页，2024年2月25日，星期天例7证:故取当时,必有因此第19页,共33页，2024年2月25日，星期天3.左极限和右极限(one-sidedlimit):例如,第20页,共33页，2024年2月25日，星期天左极限右极限(right-handlimit)(left-handlimit)第21页,共33页，2024年2月25日，星期天左右极限存在但不相等,例8证定理第22页,共33页，2024年2月25日，星期天例如9,第23页,共33页，2024年2月25日，星期天二、函数极限的性质定理2（函数极限的局部有界性）定理1（函数极限的惟一性）(注:对于六种极限形式都成立只要做相应的修改即可,可类似证明)

若存在，那么该极限是唯一的，若那么存在常数M>0,和使得当有22页定理422页定理5第24页,共33页，2024年2月25日，星期天推论3.不等式性质定理(保序性)注意:若将小于等于改成小于,极限式子也不可以改成小于.例如:第25页,共33页，2024年2月25日，星期天定理(局部保号性)推论第26页,共33页，2024年2月25日，星期天4夹逼准则第27页,共33页，2024年2月25日，星期天上两式同时成立,证第28页,共33页，2024年2月25日，星期天5.子列收敛性(函数极限与数列极限的关系)定义定理第29页,共33页，2024年2月25日，星期天例如,函数极限与数列极限的关系函数极限存在的充要条件是它的任何子列的极限都存在,且相等.第30页,共33页，2024年2月25日，星期天例10证二者不相等,第31页,共33页，2024年2月25日，