湘教版七年级数学下册知识点总结

知识点总结

湘教版七年级数学下册知识点归纳

第一章二元一次方程组

一、二元一次方程组

1、概念：

①二元一次方程：含有两个未知数，且未知数的指数（即次数）都是1的

方程，叫二元一次方程。

②二元一次方程组：两个二元一次方程（或一个是一元一次方程，另一个

是二元一次方程；或两个都是一元一次方程；但未知数个数仍为两个）合

在一起，就组成了二元一次方程组。

2、二元一次方程的解和二元一次方程组的解：

使二元一次方程左右两边的值相等（即等式成立）的两个未知数的值，

叫二元一次方程的解。

使二元一次方程组的两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值，

叫二元一次方程组的解。

注：①、因为二元一次方程含有两个未知数，所以，二元一次方程的解是

一组（对）数，用大括号联立；②、一个二元一次方程的解往往不是唯一

的，而是有许多组；③、而二元一次方程组的解是其中两个二元一次方程

的公共解，一般地，只有唯一的一组，但也可能有无数组或无解（即无公

共解）。

二元一次方程组的解的讨论：

已知二元一次方程组alx+bly=cl.

a2x+b2y=c2

①、当al/a2丰bl/b2时，有唯一解；"

②、当al/a2=bl/b2丰cl/c2时,无解;〃

③、当al/a2=bl/b2=cl/c2时,有无数解。"

例如：对应方程组：①、x+y=|4"②、x+y=3"③、"x+y=4’

3x-5y=92x+2y=52x+2y=8

♦J

例：判断下列方程组是否为二元一次方程组：〃

①、a+b=2，②、x=48③、3t+2s=5*-@xPX=11〃

b+c=3y=5ts+6=0<-2x+3y=0

3、用含一个未知数的代数式表示另一个未知数：

用含X的代数式表示Y,就是先把X看成已知数，把Y看成未知数；用

含Y的代数式表示X,则相当于把Y看成已知数，把X看成未知数。

例：在方程2x+3y=18中，用含x的代数式表示y为：,

用含y的代数式表示x为:。

4、根据二元一次方程的定义求字母系数的值：

要抓住两个方面：①、未知数的指数为1,②、未知数前的系数不能为0

例：已知方程(a-2)x*(/a/-l)-(b+5)y*(b*2-24)=3是关于x、y

的二元一次方程，求a、b的值。

5、求二元一次方程的整数解

例：求二元一次方程3x+4y=18的正整数解。"

思路：利用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的方法，可以求出方程有正整数解时x、y的取值范

围，然后再进一步确定解。〃

解：用含x的代数式表示y：y=9/2-(3/4)x用含y的代数式表示x：x=6-(4/3)

因为是求正整数解，则:9/2-(3/4)x>0,6-(4/3)y>0“

所以，0<x<6,0<y<9/2«

所以，当y=1时，x=6-4/3=14/3，舍去；当y=2时，x=6-8/3=10/3,舍去；

当y=3时，x=6-12/3=2,符合;当y=4时，x=6-16/3=2/3,舍去。2

所以，3x+4y=18的正整数解为：x=2

y=3

再例：①、如果x=3~是方程组懿-2y=5的解，求a-b的值。~

y=-12x+by=3

4•»

②、甲、乙两人共解方程组ax+5y=15,①由于甲看错了方程①中的a,得到的方程组的解“

4x-by=-2,②

为X=-3,乙看错了方程②中的b,得到的方程组的解为X=5,试计算a'2009+

y=-y=4,

(-b/10)^2010的值。♦

二、二元一次方程组的解法一一消元(整体思想就是：消去未知数，

化“二元”为“一元”)

1、代入消元法：由二元一次方程组中的一个方程，将一个未知数用含另

一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二

元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

注：代入法解二元一次方程组的一般步骤为：

①、从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程的一个未

知数用含另一个未知数的代数式表示出来；

②、将变形后的关系式代入另一个方程(不能代入原来的方程

哦！)，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

③、解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

④、将求得的未知数的值代入变形后的关系式(或原来的方程组中任

一个方程)中，求出另一个未知数的值；

⑤、把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就是方程组的解。

2、加减消元法：两个二元一次方程中同一未知数前的系数相反或相等

（或利用等式的性质可变为相反或相等）时，将两个方程的左右两边分别

相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，进而求得这

个二元一次方程组的解，这种方法叫加减消元法，简称加减法。

注：加减法解二元一次方程组的一般步骤为：

①、方程组的两个方程中，如果同一个未知数前的系数既不相反又

不相等时，就根据等式的性质，用适当的数乘以方程的两边（注意，左右

两边每一项都要乘以这个数），使同一未知数前的系数相反或相等；

②、把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个

一元一次方程；

③、解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；

④、将这个求得的未知数的值代入原方程组中的任意一个方程中，求

出另一个未知数的值，并把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，就

是方程组的解。

例：解方程组：

①、4y-（2y+x+16）/2=-6x②、,x/2+y/3=13/2

2y+3x=7-2x-yx^3-y/4=3/2，

3、用换元法解方程组：

根据题目的特点，利用换元法简化求解，同时应注意换元法求出的解要代

回关系式中，求出方程组中未知数的解。

例：i、解方程组：5/（x+l）+4/（厂2）=2"

7%+43/（尸2）=13/20

p

2a-3b=13川a=8.3o/,nx□/1xt0

ii、已知方程组%+5b-309的解是b-12，则方程组2（X+2）-3（L1）=13.

3@+5b-30.9b-1.23（x+2旗（尸L）=30.9.

的解是：（〉p

x=8.3x=10.3x=6.3x=10.3

A、y=L2B、y=2.2♦c、Y=2.2D、=0.2+

4、用整体代入法解方程组：

例:解方程组：2x-y=6①+

(x+2y)(4x-2y)=192②。

例：解方程组：,

解：将②变形为：(x+2y)X2(2x-y)=192③,把①代入③

得：(x+2y)X2X6=192，即x+2y=16(4)

再把①和④组成新的方程组：

2x-y=6。解得：。x=5.6+

x+2y=16*-y=5.2*-

5、另外几种类型的例题：

(1)、若|m+n-5|+(2m+3n-5)2=0，求(m-n)?的值。

(2)、已知代数式x2+ax+b,当x=-1时；它的值是5,当x=1

时，它的值是T,求当x=2时，代数式的值。

(3)、已知方程组5x+y=3〃与x-2y=5^有相同的解，求m,n的值。〃

mx+5y=4+5x+ny=1+

P

(4)、已知方程组3x-5y=2M的解x、y互为相反数，求m、x以及y的值。"

2x+7y=m-18*-

(5)、关于x、y的方程组2x-y=k"的解，也是方程2x+y=3的解，求k的值。

3x+y=k+l+

(6)、某蔬菜公司收购到某种蔬菜140吨，准备加工后上市销售。该公

司的加工能力是：每天可以精加工6吨或者粗加工16吨。现计划用15天

完成加工任务，该公司应安排几天粗加工，几天精加工，才能按期完成任

务？如果每吨蔬菜粗加工后的利润为1000元，精加工后的利润为2000

元，那么照此安排，该公司出售这些加工后的蔬菜共获利多少元？

三、实际问题与二元一次方程组

1、利用二元一次方程组解实际应用问题的一般过程为：审题并找出数量

关系式一＞设元（设未知数）一＞根据数量关系式列出方程组一＞解

方程组一〉检验并作答（注意：此步骤不要忘记）

2、列方程组解应用题的常见题型:

（1）、和差倍分问题：解这类问题的基本等量关系式是：较大量-较

小量=相差量，总量=倍数X倍量；

（2）、产品配套问题：解这类题的基本等量关系式是：加工总量成比

例；

（3）、速度问题：解这类问题的基本关系式是：路程=速度X时

间，包括相遇问题、追及问题等；

（4）、航速问题：①、顺流（风）：航速=静水（无风）时的速度+

水（风）速；

②、逆流（风）：航速=静水（无

风）时的速度-水（风）速；

（5）、工程问题：解这类问题的基本关系式是：工作总量=工作效率

X工作时间，（有时需把工作总量看作1）；

（6）、增长率问题：解这类问题的基本关系式是：原量X（1+增长

率）=增长后的量，原量X（1-减少率）=减少后的量;

（7）、盈亏问题：解这类问题的关键是从盈（过剩）、亏（不足）两

个角度来把握事物的总量;

（8）、数字问题：解这类问题，首先要正确掌握自然数、奇数、偶数

等有关概念、特征及其表示；

（9）、几何问题：解这类问题的基本关系是有关几何图形的性质、周

长、面积等计算公式；

（10）、年龄问题：解这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数相等。

例1：一批水果运往某地，第一批360吨，需用6节火车车厢加上15辆

汽车，第二批440吨，需用8节火车车厢加上10辆汽车，求每节火车车

厢与每辆汽车平均各装多少吨？

例2：甲、乙两物体分别在周长为400米的环形轨道上运动，已知它们

同时从一处背向出发，25秒后相遇，若甲物体先从该处出发，半分钟后乙

物体再从该处同向出发追赶甲物体，则再过3分钟后才赶上甲，假设甲、

乙两物体的速度均不变，求甲、乙两物体的速度。

例3：甲、乙二人分别以均匀速度在周长为600米的圆形轨道上运动，

甲的速度比乙大，当二人反向运动时.，每150秒相遇一次，当二人同向运

动时，每10分钟相遇一次，求二人的速度。

例4：有两种酒精溶液，甲种酒精溶液的酒精与水的比是3：7,乙种酒

精溶液的酒精与水的比是4：1,今要得到酒精与水的比是3:2的酒精溶

液50kg,求甲、乙两种溶液各取多少kg?

例5：一张方桌由一个桌面和四条桌腿组成，如果1立方米木料可制成

方桌桌面50个，或制作桌腿300条，现有5立方米木料.，请问，要用多

少木料做桌面，多少木料做桌腿，能使桌面恰好配套？此时，可以制成多

少张方桌？

例6：某人要在规定的时间内由甲地赶往乙地，如果他以每小时50千米

的速度行驶，就会迟到24分钟，如果他以每小时75千米的速度行驶，则

可提前24分钟到达乙地，求甲、乙两地间的距离。

农作物品种每公顷需劳动力每公顷需投入资金

水稻4人1万元

棉花8人1万元

蔬菜5人2万元

例7：某农场有300名职工耕种51公顷土地，计划种植水稻、棉花、蔬

菜三种农作物，已知种植各种农作物每公顷所需劳动力人数及投入资金如

右表：

已知该农场计划投入资金67万元，应该怎样安排这三种农作物的种植面

积才能使所有职工都有工作而且投入资金正好够用？

例8：某酒店的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两

人间每人每天35元，一个50人的旅游团到该酒店租了若干间客房，且每

间客房恰好住满，一天共花去1510元，求两种客房各租了多少间？

捐款数额捐助贫困中学生人数捐助贫困小学生人数

年级（元）（名）（名）

初一年级400024

初二年级420033

初三年级7400

例9：某山区有23名中、小学4U因贫困失学需要捐助，资助一名中学生

的学习费用需要a元，资助一名小学生的学习费用需要b元。某校学生积

极捐款，初中各年级学生捐款数额与使用这些捐款恰好资助受捐助中学生

和小学生人数的部分情况如右表：

（1）、求a、b的值；

（2）初三年级的捐款解决了其余贫困中小学生的学习费用，请分别计算

出初三年级的捐款所资助的中学生和小学生人数。

四、三元一次方程组的解法

1、概念：由三个方程组成方程组，且方程组中共含有三个未知数，每个

方程中含有的未知数的次数都是1次，这样的方程组叫三元一次方程组。

注：三元一次方程组中的三个方程并不一定都是三元一次方程，只需满足

“方程组中共含有三个未知数”的条件即可。

2、解三元一次方程组的基本思想：

一消元,|一消元,|

二兀一次.〉―兀一/欠+）一兀一次+

程组』（代入法、加减法）-方程组」（代入法、加减法），方程'

3x+4y+z=14<-3x+4z=7d

例1：解方程组x+5y+2z=17+2x+3y+z=9。

2x+2y-z=3"5x_9y+7z=8*

例2：在丫=ax?+bx+c中，当x=l时、y=0；x=2时，y=3；x=3

时，y=28,求a、b、c的值。当x=T时、y的值是多少？

例3：甲、乙、丙三数之和是26,甲数比乙数大1,甲数的两倍与丙数的

和比乙数大18,求这三个数。

例4：小明从家到学校的路程为3.3千米，其中有一段上坡路，一段平

路，一段下坡路，如果保持上坡路每小时行3千米，平路每小时行4千

米，下坡路每小时行5千米，那么小明从家到学校需要1小时，从学校回

家只需要44分钟。求小明家到学校的上坡路、平路、下坡路各是多少千

米？

第二章整式的乘法

1.同底数幕的乘法：a™-an=ara+n,底数不变，指数相加.

2.幕的乘方与积的乘方:(am)n=amn,底数不变,指数相乘;

(ab)"=a%n,积的乘方等于各因式乘方的积.

3.单项式的乘法：系数相乘，相同字母相乘，只在一个因式中含有的字

母，连同指数写在积里.

4.单项式与多项式的乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc,用单项式去乘多项

式的每一项，再把所得的积相加.

5.多项式的乘法：(a+b),(c+d)=ac+ad+bc+bd,先用多项式的每一项

去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

6.乘法公式：

(1)平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b\两个数的和与这两个数的差

的积等于这两个数的平方差；

(2)完全平方公式：

①(a+b)2=a2+2ab+b2,两个数和的平方，等于它们的平方和，加上它

们的积的2倍；

②(a-b)2=a2-2ab+b2,两个数差的平方，等于它们的平方和，减去它

们的积的2倍；

X③(a+b-c)2=a1-+b2+c2+2ab-2ac-2bc,略.

7.配方：

(1)若二次三项式x?+px+q是完全平方式，则有关系式：(2).

X(2)二次三项式ax?+bx+c经过配方，总可以变为alx-hV+k的形

式，利用a(x-h)2+k

①可以判断ax?+bx+c值的符号；②当x=h时，可求出ax，bx+c的最大

(或最小)值k.

X(3)注意：xIxj

nnn，n

8.同底数嘉的除法：a'-?a=a-,底数不变，指数相减.

9.零指数与负指数公式：

1

(1)a0=l(aHO)；a-n=a°,(aWO).注意：0°,0。无意义；

(2)有了负指数，可用科学记数法记录小于1的数，例如：

-C：

0.0000201=2.01X10.

第三章因式分解

1.因式分解

定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分

解。

即：多项式几个整式的积

11-1,八

-xla+o)

例：333

因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。

2.因式分解的方法：

(1)提公因式法：

①定义：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提

到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分

解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是

一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。

系数一一取各项系数的最大公约数

，字母一一取各项都含有的字母

指数一一取相同字母的最低次募

例：12a吊％+必，的公因式

是.

解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、

6,它们的最大公约数为2；字母部分都含有因式，故多

项式的公因式是2.

②提公因式的步骤

第一步：找出公因式；

第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式

除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。

注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因

式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。

例1：把1M6-ISoft2-24a3*5分解因式.

解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幕

是ab,故公因式为6abo

解：12a^-18a&2-24a5*5

=6a&（2a-3&-4ff^2）

例2：把乂“一%+44-力多项式分解因式

解析：由于4一-⑧，多项式30c一**遥4-分可以变形为

3（》-4）-耳工-4）,我们可以发现多项式各项都含有公因式（工一4）,所

以我们可以提取公因式（工-4）后，再将多项式写成积的形式.

解：Xx-4)+x(4-x)^

=3(x-4)一-4)v

=(3-x)(x-4)*J

例3：把多项式—x2+2x分解因式。

解：―/+2》=-(/_2/=_武丁_2)«

(2)运用公式法

定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因

式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

平方差公式：ai2—b1=(a+AX®—

碟用完豹昉公式：a2±2o&+方2=g土炉

c逆用立方和公式：a5+A5=(a+一a&+占｝拓展)

d逆用立方差公式：a5-/=(/>-与(丁+向+林3拓展)

注意：①公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。

②选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式

是二项式可考虑平方差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方

公式。

例1：因式分解"一14。+49J

解：/-14。+49=(。-7)2，

例2：因式分解。~+2破6+0)+(6+C)'*1

解：a2+2a(b+c)+(b+c)2=(a+b+c')2*J

<3)分加触(喻，

①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；，

例：把多项式式>一。+6—1分解因式"

解：ab-a+b-1=(ab-a)+(b-l)=a(b-l)+(b-I)=(a+l\b-1)

②将多项式分组后能运用公式进行因式分解.。

例：将多项式a2-2ab-l+/因式分解.

解：a2-2ab-l+b2^

=(a2-lab+Z>:)-1=(n-i>)2-1=(a-b+V)(a-b-Y)*i

(4)十字相乘法(形如x2+3+gX^E=(x+pXK+q)形式的多项式,

可以考虑运用此种方法)

方法：常数项拆成两个闻8p和q,这两数的和p+q为一次项系距

1+(p+q)x+pq，

1+(p+q)x+pg=(x+PXX+g)，

例：分解因式1-》-30分解因式Y+52x+100+，

补充点详解补充点详解“

我们可以将-30分解成pXq的形式，我们可以将100分解成pXq的形式，。

使电乐T,pXq=-30,我们就有p=Y,使3=52,pXq=100,我们就有p=2,P

q=5或q=-6,p=5oq=50或q=2,p=50。，

所以将多项式1+（P+q）x+pq可以分所以将多项式X，+（P+q）x+pg可以分+

解为（x+p）（x+q）解为（x+pXx+q）。

x2-x-30=(x-6)(x+5)x2+52x+100=(x+50)(x+2)。

3.因式分解的一般步骤:

如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式

就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式,

通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括

为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。

注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则

就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分

解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必

须是几个整式的积的形式。

一、例题解析

提公因式法

提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.

确定公因式的方法：

系数一一取多项式各项系数的最大公约数；

字母（或多项式因式）一一取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幕.

【例11分解因式：。

⑴15如-武-1叫》广5为正整数）。

⑵-&7”泣1（m、"为大于1的自然数）。

【巩固】分解因式：。-丁尸-。-二）。-丁）"+2（7-炉5-二），〃为正整数.2

【例2】先化简再求值，.T（x+y）+（x+j）（x-y）-x）其中x=-2,j='P

♦J

求代数式的值：（3x-2『（2x+l）-（3x-2X2x+iy+x（2x+l）（2—3x），其中x=-].P

【例3】已知：b+c-a=-2,-d-c)+d(|c-|a+1J)+1c(2d+2c-2a)•

分解因式：x'(x+j-二X3,+二-a)+寸二(二->-i')+x\r(:-x-r)(x-r-a).

公式法

平方差公式：

①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反;

②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；

③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.

完全平方公式：

①左边相当于一个二次三项式；

②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；

③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；

④右边是这两个数或式的和（或差）的完全平方，其和或差由左边中间一项

的符号决定.

一些需要了解的公式：

4'=（4+坎。‘一帅+。’）/一”=（4一力）（"+而+工）。

=4,+302b+3曲W（a-ft）1-3a:b^3ab2-b"

第四章相交线与平行线

一、知识网络结构

,相交线

相交线垂线

同位角、内错角、同旁内角

「平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线

'定义：—

判定1：同位角相等，两直线平行

平行线及其判定,

平行线的判定判定2：内错角相等，两直线平行

相交线与平行线判定3:同旁内角互补，两直线平行

判定4：平行于同一条直线的两直线平行

・性质1:两直线平行，同位角相等

性质2：两直线平行，内错角相等

平行线的性质;性质3：两直线平行，同旁内角互补

性质4:平行于同一条直线的两直线平行

命题、定理

平移

二、知识要点

1、在同一平面内，两条直线的位置关系有两种:相交和平

亿，争矍是相交的一种特殊情况。

2、在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线。如果两条直线只有二

仝公共点，称这两条直线相交；如果两条直线没有公共点,称这两条直

线平行。

3、两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两

个角是

邻补角。邻补角的性质：邻补角互补。如图1所

示，与互为邻补角，

与互为邻补角。+:

180°；+=

180°；+=180°；+=180°o

4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两

边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角。对顶角的性质：对顶角

相等。如图1所示，与互为对顶

用O-；-O

5、两条直线相交所成的角中，如果有一个是直角或90°时,称这两条直

线互相垂直，

其中一条叫做另一条的垂线。如图2所示，当=90。

时，±O

垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

性质3：如图2所示，当e±_b

时，====90°o

点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫点到直线的距

离。

6、同位角、内错角、同旁内角基本特征：

①在两条直线（被截线）的同一方,都在第三条直线（截线）的同一侧,这样

的两个角叫同位角。图3中，共有对同位

角：与是同位角；

与是同位角；与是同位

角；与是同位角。

②在两条直线（被截线）上回，并且在第三条直线（截线）的两侧，这样的

两个角叫内错角。图3中，共有对内错角：与是

内错角；与是内错角。

③在两条直线（被截线）的左回，都在第三条直线（截线）的同一旁,这样的

两个角叫同旁内角。图3中，共有对同旁内

角：与是同旁内角；与是同旁内

角。

圉3

7；平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也

互相平行。

平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。如图4所示，如果a〃b,

则:

性质2：两直线平行，内错角相等。如图4所示，如果a〃b,

贝（J=;=»

性质3：两直线平行，同旁内角互补。如图4所示，如果a〃b,

则+=1800；

+=180°o

性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果a〃b,a〃c,则

//O

8、平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。如图5所示，如

果=

或=或=或=

,则a〃b。

判定2：内错角相等，两直线平行。如图5所示，如

果=或=，贝！Ia〃bo

圉5

判定3：同旁内角互补，两直线平行。如图5所示，如

果+=180°；

+=180°,则a〃b。

判定4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。如果a〃b,a〃c,则

//0

9、判断一件事情的语句叫血题。命题由题设和结论两部分组成,有

真命题和假命题之分。如果题设成立，那么结论一定成立,这样的命

题叫真命题；如果题设成立，那么结论不一定成立,这样的命题叫假

命题。真命题的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫定理，它可以

作为继续推理的依据。

10、平移：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，图形的这

种移动叫做平移变换，简称平移。

平移后，新图形与原图形的形状和大小完全相同。平移后得到的新图

形中每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这样的两个点叫做

对应点。

平移性质：平移前后两个图形中①对应点的连线平行且相等；②对应线段

相等；③对应角相等。

第五章旋转

知识框架

—.知识概念

1.旋转：在平面内，将一个图形绕一个图形按某个方向转动一个角度，这

样的运动叫做图形的旋转。这个定点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转

角。（图形的旋转是图形上的每一点在平面上绕着某个固定点旋转固定角

度的位置移动，其中对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的长度、对

应角的大小相等，旋转前后图形的大小和形状没有改变。）

2.旋转对称中心：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形

重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的

角度叫做旋转角（旋转角小于0°,大于360°）o

3.中心对称图形与中心对称：

中心对称图形：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与自身重合，

那么我们就说，这个图形成中心对称图形。

中心对称：如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重

合，那么我们就说，这两个图形成中心对称。

4.中心对称的性质：

关于中心对称的两个图形是全等形。

关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心

平分。

关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或者在同一直线上）且相等。

一、精心选一选（每小题3分，共30分）

1.c下面的图形中a，是中心对称e图形的是（+）

2.平面直角坐标系内一点P（-2,3）关于原点对称的点的坐标

是（）

A.（3,一

2）B.（2,3）

C.（—2,—3）D.（2,—3）

3.3张扑克牌如图1所示放在桌子上，小敏把其中一张旋转180°后得

到如图（2）所示，则她所旋转的牌从左数起是（）

_/・），•JI,f■

w

<1>

A.第一张B.第二张C.第三

张D.第四张

4.在下图右侧的四个三角形中，不能由△46。经过旋转或平移得到的

是（）

5.如图3的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（）

皮］

A.向右平移7格

B.以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称，再以AB为对称轴作轴对称

C.绕AB的中点旋转180°,再以AB为对称轴作轴对称

D.以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格

6.从数学上对称的角度看，下面几组大写英文字母中，不同于另外三

组的一组是（）

A.ANEG

B.KBXN

C.XIII0

D.ZDWII

7.如图4,C是线段BD上一点，分别以BC、CD为边在BD同侧作等边

△ABC和等边ACDE,AD交CE于F,BE交AC于G,则图中可通过旋转而

相互得到的三角形对数有（）.

A.1对B.2

对C.3

对D.4对

8.下列这些复杂的图案都是在一个图案的基础上，在“几何画板”软

件中拖动一点后形成的，它们中每一个图案都可以由一个“基本图案”

通过连续旋转得来，旋转的角度是（）

A30°B45°C60°D90°“

9.如图5所示，图中的一个矩形是另一个矩形顺时针方向旋转90。后

图5〃

A.1个B.2个

C.3个D.4个

10.如图6,AABC和AADE都是等腰直角三角形，NC和NADE

都是直角，点C在AE上，△ABC绕着A点经过逆时针旋转后能

够与AADE重合得到图7,再将图23—A—4作为“基本图形”绕

着A点经过逆时针连续旋转得到图7.两次旋转的角度分别为（）

二、耐心填一填(每小题3分，共24分)

11.关于中心对称的两个图形，对称点所连线段都经

过，而且被______________平分.

12.在平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形这五种图形中，既

是轴对称图形，又是中心对称图形的是.

13.时钟上的时针不停地旋转，从上午8时到上午11时，时针旋转的

旋转角是.

14.如图8,△48。以点力为旋转中心，按逆时针方向旋转60°,得

AAB，C,则△488'是三角形.

15.已知aVO,则点P(al—a+3)关于原点的对称点P।在第一

__象限

16.如图9,△(：(»是AAOB绕点。顺时针方向旋转40°后所得的图

形，点C恰好在AB上，NA()D=90°,则ND的度数

是.

17.如图10,在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，

若大圆的半径为2,则图中阴影部分的面积是.

18.如图，四边形ABCD中，ZBAD=ZC=90°,AB=AD,AELBC于E,若

线段AE—5,则S四边形ABCD=o

三、细心解一解（共46分）

19.（6分）如图12,四边形ABCD的NBAD=NC=90°,AB=AD,AEJ_BC于

E,旋转后能与重合。

图12。

（1）旋转中心是哪一点？

（2）旋转了多少度？

（3）如果点A是旋转中心，那么点B经过旋转后，点B旋转到什么位置？

20.（4分）如图13,请画出关于点0点为对称中心的对称图形

图13

21.（6分）如图14,方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正

方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点的坐标为.

①把向上平移5个单位后得到对应的，画出，并写出的坐标;

②以原点为对称中心，再画出与关于原点对称的，并写出点的坐标.

18.（4分）如图15,方格中有一条美丽可爱的小金鱼.

（1）若方格的边长为1,则小鱼的面积为.

（2）画出小鱼向左平移3格后的图形（不要求写作图步骤和过程）.

22.（6分）如图16,E、F分别是正方形ABCD的边CD、DA上一点，且CE

+AF=EF,请你用旋转的方法求NEBF的大小.

19.（8分）将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的

两张三角形胶片和.将这两张三角形胶片的顶点与顶点重合，把绕点顺时

是.2分“

（2）当继续旋转至如图③位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理

由.

（3）在图③中，连接期，探索BO与3之间有怎样的位置关系,

并证明.

第六章数据的分析

一、知识点讲解：

1.平均数：

（1）算术平均数：一组数据中，有n个数据，则它们的算术平均数为

i=&+f+…+不1

n

（2）加权平均数：

若在一组数字中，勺出现/1次，制出现力次，…，船出现左欠，那么“元=g+X吵+…+#小

p/1+/2+-+A

叫做Xi、X2、…、4的加权平均数。其中，力、力、…、fk分别是勺、X2、…、Xk的权

权的理解:反映了某个数据在整个数据中的重要程度。

权的表示方法：比、百分比、频数（人数、个数、次数等）。

2.中位数：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数

据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据

的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数。

3.众数：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。

4.平均数中位数众数的区别与联系

相同点

平均数、中位数和众数这三个统计量的相同之处主要表现在：都是来

描述数据集中趋势的统计量；都可用来反映数据的一般水平；都可用来作

为一组数据的代表。

不同点

它们之间的区别，主要表现在以下方面。

1）、定义不同

平均数：一组数据的总和除以这组数据个数所得到的商叫这组数据的平均

数。

中位数：将一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数叫做这组

数据的中位数。

众数：在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。

2）、求法不同

平均数：用所有数据相加的总和除以数据的个数，需要计算才得求出。

中位数：将数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据个数是奇

数，则处于最中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶

数，则中间两个数据的平均数是这组数据的中位数。它的求出不需或只需

简单的计算。

众数：一组数据中出现次数最多的那个数，不必计算就可求出。

3）、个数不同

在一组数据中，平均数和中位数都具有惟一性，但众数有时不具有惟一

性。在一组数据中，可能不止一个众数，也可能没有众数。

4）、代表不同

平均数：反映了一组数据的平均大小，常用来一代表数据的总体“平均水

平”。

中位数：像一条分界线，将数据分成前半部分和后半部分，因此用来代表

一组数据的“中等水平”。

众数：反映了出现次数最多的数据，用来代表一组数据的“多数水平”。

这三个统计量虽反映有所不同，但都可表示数据的集中趋势，都可作为数

据一般水平的代表。

5）特点不同

平均数：与每一个数据都有关，其中任何数据的变动都会相应引起平均数

的变动。主要缺点是易受极端值的影响，这里的极端值是指偏大或偏小

数。

中位数：与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它没有影响；它是一

组数据中间位置上的代表值，不受数据极端值的影响。

众数：与数据出现的次数有关，着眼于对各数据出现的频率的考察，其大

小只与这组数据中的部分数据有关，不受极端值的影响，其缺点是具有不

惟一性，一组数据中可能会有一个众数，也可能会有多个或没有。

6）、作用不同

平均数：是统计中最常用的数据代表值，比较可靠和稳定，因为它与每一

个数据都有关，反映出来的信息最充分。平均数既可以描述一组数据本身

的整体平均情况，也可以用来作为不同组数据比较的一个标准。因此，它

在生活中应用最广泛，比如我们经常所说的平均成绩、平均身高、平均体

重等。

中位数：作为一组数据的代表，可靠性比较差，因为它只利用了部分数

据。但当一组数据的个别数据偏大或偏小时，用中位数来描述该组数据的

集中趋势就比较合适。

众数：作为一组数据的代表，可靠性也比较差，因为它也只利用了部分数

据。。在一组数据中，如果个别数据有很大的变动，且某个数据出现的次

数最多，此时用该数据（即众数）表示这组数据的“集中趋势”就比较适

合。

5.极差：一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。极

差反映的是数据的变化范围。

6.方差：设有n个数据巧，占,…，X，，各数据与它们的平均数的差的平方分别是（巧-1）2,（巧-£尸，…,

（x“-T尸,…，我们用它们的平均数，即用“

2

S'=X（X1-7）2+（X2-X）+---+（X”-fy］"

来衡量这组需据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差。V

1—2

22

当一组数据比校小时可以用公式/=一［（再2+x2+...+x„）-nx］计算。，

n

方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小，就越稳定。

标准差：方差的算术平方根，即

+&-才+…+（/-元月

并把它叫做这组数据的标准差.它也是一个用来衡量一组数据的波动大小

的重要的量.

7.极差、方差和标准差的区别与联系：

联系：极差、方差和标准差都是用来衡量（或描述）一组数据偏离平均数

的大小（即波动大小）的指标，常用来比较两组数据的波动情况。

区别：极差是用一组数据中的最大值与最小值的差来反映数据的变化范

围，主要反