固体物理学：第5章 固体能带论

5.1.1基本概念实际晶体是由大量电子和原子核组成的多粒子体系。由于电子与电子、电子与原子核、原子核与原子核之间存在着相互作用。一个严格的固体电子理论，必须求解多粒子体系的薛定谔方程。但求解这样复杂的多粒子体系几乎是不可能的，必须对方程简化，为此能带理论作了一些近似和假定，将多体问题化为单电子问题。5.1布洛赫（Bloch）定理经绝热近似，自洽场近似和周期场近似，可将多种粒子体系简化为单电子在周期势场中运动的问题。绝热近似：晶体中电子和离子的质量相差很大，两者的速度相差很大，在讨论快速运动的电子时，认为电子完全跟得上离子的运动，或者说离子的瞬时位置不是很重要的，可以近似认为离子不动，这种近似称为绝热近似，也称玻恩-奥本海默(Born-Oppenheimer)近似。在绝热近似下，多种粒子的多体问题简化为多电子问题。5.1布洛赫（Bloch）定理自洽场近似：在绝热近似下得到的有相互作用的多电子体系仍然不能求解，因为任何一个指定的电子运动依赖于所有其他电子的位置，而指定电子本身又影响其他电子的运动。不过，可以认为一切电子的运动是自洽的，这样我们可以引入一个“自洽场”Qi，它表示第i个电子在所有其他电子的场中的势能，而且也考虑了第i个电子对其他电子的影响。5.1布洛赫（Bloch）定理原则上，自洽场可以由哈特利-福克(Hartree-Fock)方程组的解得到。Qi只与第i个电子的坐标有关，即Qi(ri)对一切电子形式相同,可以取消角标i。自洽场近似又称为哈特利-福克近似，或单电子近似，它的引入使有相互作用的多电子体系简化为无相互作用的电子体系。5.1布洛赫（Bloch）定理周期场近似：对于理想晶体离子处在其平衡位子，离子排列成晶格，具有周期性，因而，所有离子的势场和其他电子的平均场构成等效势场V(r)是以晶格原胞为周期的周期性势场，可表示为：式中,为晶格的格矢量。5.1布洛赫（Bloch）定理在上述三个近似之下,求解晶体中电子运动本征态的问题简化为解周期场中单电子薛定谔方程：5.1布洛赫（Bloch）定理5.1.2布洛赫定理1.周期性势场周期性势场：把孤立原子当成一个带正电的点电荷，由于晶格原子周期性排列，内部原子的势场也具有周期性，边界处势能将提高。5.1布洛赫（Bloch）定理rV(r)xV(x)a由于，晶格的周期性，金属中的正离子形成一种周期性的势场，电子实际上是在这种周期性的势场中运动。周期性势函数V(r)可展成傅立叶级数傅立叶系数：5.1布洛赫（Bloch）定理rV(r)xV(x)a电子受到相邻原子实作用；电子之间互的作用；其它原子实作用。在单电子近似下，电子的势能V(r)是以晶格为周期的函数：在已知周期性外场V(r)，可通过解薛定格方程，求出电子的波函数和能量。5.1布洛赫（Bloch）定理2.布洛赫定理处于周期性势场中的电子的波函数必定是按晶格周期函数调幅的平面波该波函数称为布洛赫函数。这里，uk(r)具有与势函数V(r)同样的周期性，对布拉非点阵的晶格平移矢量有

n1,n2,n3为整数。5.1布洛赫（Bloch）定理结论：周期性势场中的电子波函数为周期性函数uk(r)和自由电子的平面波调制结果—调幅平面波。由布洛赫函数可得所以，布洛赫定理可表述为：在以布拉菲格子原胞为周期的势场中运动的电子,当平移晶格矢量Rn时，单电子态波函数只增加相位因子exp(ik∙Rn)。5.1布洛赫（Bloch）定理一维布洛赫函数uk(r)是周期性函数推广到三维，布洛赫函数5.1布洛赫（Bloch）定理3.克龙尼克模型一维周期性方势场，势阱的势能为零，势垒高度V0势阱的宽度是c，相邻势阱之间的势垒宽度为b，周期为a=b+c，V0足够大，b足够小，乘积为有限值。当电子能量E

小于V0时，电子有几率从一个势阱穿到另一个势阱中去。5.1布洛赫（Bloch）定理abxV0c-a

-b0c在–b<x<c区域，粒子的势能在其他区域，粒子的势能为V(x)=V(x+na)，其中n为任意整数，依照布洛赫定理，波函数写成5.1布洛赫（Bloch）定理abxV0c-a

-b0c代入薛定谔方程

经过整理,得到u(x)满足方程5.1布洛赫（Bloch）定理在势场突变的点，波函数

(x)以及它的导数必须连续，实际上这就要求函数u(x)和它的导数必须连续。5.1布洛赫（Bloch）定理在区域0<x<c，势能V=0此时，令

u(x)满足的方程式可写成这是一个二阶常系数微分方程。5.1布洛赫（Bloch）定理abxV0c-a

-b0c它的解是：其中A0和B0是任意常数。

5.1布洛赫（Bloch）定理在区域–b<x<0,势能为V0求E<V0的解，令在此区域，u(x)所满足的方程式是其解为：式中C0和D0是任意常数。5.1布洛赫（Bloch）定理在na<x+na<na+c

区域，由于V=0所以函数u(x+na)为:由于u具有周期性因此有5.1布洛赫（Bloch）定理同理，在na-b<x+na<na区域，函数u可写成:由于u具有周期性

因此有5.1布洛赫（Bloch）定理现在将考虑边界条件，在x=0处，函数u和它的导数连续的条件是：5.1布洛赫（Bloch）定理在x=c处，由u的连续条件得到：而于是：5.1布洛赫（Bloch）定理同理，在x=c处，由连续的条件可得：5.1布洛赫（Bloch）定理以上4式组成关于未知量A0,B0,C0,D0的齐次线形方程组，它们有非零的解是其系数组成的行列式必须等于零，此行列式化简后，得:5.1布洛赫（Bloch）定理由于k是实数，

即参量

与能量有关，所以，这是一个决定粒子能量的超越方程，相当复杂，为了简化，假定V0→

，b→0

(c→a)，但V0b保持有限值。5.1布洛赫（Bloch）定理则令

于是:其中由于波矢k是实数，有-1≤coska≤1因此并不是所有

a值都满足方程。5.1布洛赫（Bloch）定理由图看出，在允许取的E值（称为能级）之间，有一些不允许取的E值（称为能隙）。5.1布洛赫（Bloch）定理能级禁带由于，因此，

a本身代表能量。这就表明，并不是所有的能量状态都是许可的，画出许可的a值，找出其对应的coska，由此算出同每个E对应的k值，就可得到上图所示的E~k曲线。5.1布洛赫（Bloch）定理0E禁带能级4.结论在周期性势场中，电子有带状结构的能带，允带与禁带交替排列，禁带出现在布里渊区边界k=πh/a

处,h为整数。5.1布洛赫（Bloch）定理0E禁带能级E

是K的偶函数E(K)=E(-K)。能量越高，允带越宽。能量的宽度随着势场对电子束缚程度的增加而减小。5.1布洛赫（Bloch）定理0E禁带能级能量是波矢的周期函数。周期为倒格矢，为此通常需要用一个带指数n来标明是哪个能带。即En(K)E(K)=E(K+Kh)，可以将所有的能带都限制在第一布里渊区。5.1布洛赫（Bloch）定理0E禁带能级5.周期性边界条件与波矢K的取值1.一维晶格：

由波恩—卡曼边界条件，第n个原子位移una=u(n+N)a，K的取值：

m=0,±1,±2……

一个q点占“体积”=2π/Na，第一布里渊区内可取的q点数=N，波矢q的密度=Na/2π=Lc/2π5.1布洛赫（Bloch）定理2.三维晶格:晶体沿a1、a2、a3

方向初基元胞数为N1、N2、N3有：K的取值：

5.1布洛赫（Bloch）定理一个q点占“体积”=(2π)3/Vc第一布里渊区内可取的q点数=N波矢q的密度=Vc/(2π)35.1布洛赫（Bloch）定理3.二维晶格:一个q点占“体积”=(2π)2/Sc，第一布里渊区内可取的q点数=N，波矢q的密度=Sc/(2π)2能带的连续性：第一布区内，波矢“q”(或K)可取N

个值，每个能带内有N个能量状态，N

很大，能带内的能级密集，近似看成连续。5.1布洛赫（Bloch）定理6.状态密度一个等能面对应一系列的波矢k(或q)点。可以证明第n个能带在能量En处的状态密度为：在已知E~K的关系，可求出状态密度。5.1布洛赫（Bloch）定理二维：一维：5.1布洛赫（Bloch）定理5.2.1一维周期性势场近自由电子近似模型：原子实形成的周期性势场较弱，电子近似认为是自由电子，在薛定谔方程中取平均势V0作为周期势V(x)的零级近似，而将V(x)的起伏部分当做微扰。零级近似时，用势场平均值V0代替弱周期性势场；所谓弱周期性势场是指比较小的周期起伏[V(x)-V0]=ΔV作为微扰处理。5.2近自由电子近似(微扰法)单电子的周期性势场周期性势场展成傅立叶级数(一维）

其中

h=±1,±2……

取V0=0，根据微扰理论，零级近似波函数为平面波。5.2近自由电子近似(微扰法)1.一维定态非简并微扰近似认为近自由电子处于一维无限深势阱中，再加上周期性的微扰，近自由电子的哈米尔顿算符可写成：5.2近自由电子近似(微扰法)原单电子薛定谔方程用哈米尔顿算符表示为：5.2近自由电子近似(微扰法)根据量子力学的定态微扰理论，上式的解为：5.2近自由电子近似(微扰法)其中，零级近似解E(0)(K)和Ψ(0)(x)就是自由电子的能量和波函数：5.2近自由电子近似(微扰法)首先计算能量的修正项，根据量子力学的微扰理论，其修正项有如下公式：5.2近自由电子近似(微扰法)5.2近自由电子近似(微扰法)其中微扰矩阵元的计算如下：能量二级近似：则二级修正项的电子能量为：5.2近自由电子近似(微扰法)然后计算波函数的修正项，根据量子力学的微扰理论，其修正项有如下公式：5.2近自由电子近似(微扰法)容易验证uk(x)=uk(x+na)，调幅平面波，Bloch函数。5.2近自由电子近似(微扰法)2.一维定态简并微扰当k→k-kh，分母→0，修正项变得很大。这时，自由电子的k态与k’=k-kh

态能量相近，属于简并情况，不能用非简并微扰，用简并微绕处理。

5.2近自由电子近似(微扰法)所以对于一维情况，同时满足k’=k-kh和（k’）2=k2这两个条件的只有两个，分别是：5.2近自由电子近似(微扰法)它们的能量是：5.2近自由电子近似(微扰法)简并微扰的零级波函数是自由电子简并态波函数的线性组合：把和展式代入

等式两边同乘，积分、整理得：5.2近自由电子近似(微扰法)A、B不全为0的条件是：5.2近自由电子近似(微扰法)（*）它的解给出能量的本证值：当即布里渊区的边界，此处能量相等5.2近自由电子近似(微扰法)微扰后，能级发生分裂，分裂为其间的能量差为禁带宽带Eg=2|Vh|5.2近自由电子近似(微扰法)把代入（*）式，A/B=±1从而可以得到波函数的两个解为5.2近自由电子近似(微扰法)2.近自由电子能量与波函数的讨论自由电子E~K关系近自由电子E~K关系(对能量的讨论)（1）当波矢K远离布里渊区边界的情况当K值离布里渊区边界hπ/a

较远时，由于k’=k-kh，故k’也远离布里渊区边界，即非简并情况，能量与波函数修正项较大，即5.2近自由电子近似(微扰法)能量的修正项较小电子近似认为是自由电子，E~K

曲线是抛物线。

5.2近自由电子近似(微扰法)（2）当波矢K接近布里渊区边界的情况波矢值接近布区边界，即当K→π/a，K’→-π/a,简并情况

5.2近自由电子近似(微扰法)

5.2近自由电子近似(微扰法)

当K→π/a，K’→-π/a时，小区域内Ek除分为E-、E+外，还要分别加上或减去一个小量。5.2近自由电子近似(微扰法)（3）在布里渊区边界的情况能级分裂为禁带宽度为能带分裂的地方以及禁带宽度决定于晶体结构及周期性势场。由于Th>|Vh|，所以1-(2Th)/|Vn|<0，因此，E-的Δ2项的系数是负号、E+的Δ2项的系数是正号。

5.2近自由电子近似(微扰法)在禁带之上的能带底部，能量E+随相对波矢Δ的变化关系是一个向上弯的抛物线，而在禁带下边的能带顶部，能量E-随相对波矢Δ的变化关系是一个向下弯的抛物线。5.2近自由电子近似(微扰法)上述结果可用图示说明，两个相互影响的状态和微扰后能量为E+和E-,原来能量较高，微扰使它上升；原来能量较低，微扰使它下降，当

→0，E±均以抛物线方式分别趋于Th±|Vh|。5.2近自由电子近似(微扰法)图中画出了

>0和<0两种情形下完全对称的能级图，其中的A和C、B和D代表同一状态，因为它们是分别是>0和<0两方当→0的共同极限。5.2近自由电子近似(微扰法)3.对波函数的讨论（简并）电子电荷密度分布5.2近自由电子近似(微扰法)ρa|ψ1|2|ψ2|2Ψ1对应电荷分布，在原子实附近电子出现的几率密度最大，即负电荷大部分靠近原子实，势能比平均势能（电子均匀分布）低E-。5.2近自由电子近似(微扰法)ρa|ψ1|2|ψ2|2Ψ2对应电荷分布，在原子实附近电子出现的几率密度最小，即负电荷远离带正电的原子实，势能比平均势能高E+。5.2近自由电子近似(微扰法)ρa|ψ1|2|ψ2|2所以，形成两个态能量差这就是近自由电子近似下，禁带产生的原因。5.2近自由电子近似(微扰法)ρa|ψ1|2|ψ2|24.色散关系图（E~K）扩展区图式：直接由近自由电子模型得到，各能带分别画在各自的布里渊区，即能量最低的带在第一布里渊区，能量次低的，画在第二布里渊区，依次类推，E是K的单值函数。5.2近自由电子近似(微扰法)简约区图式：K为简约波矢，即k限制在第一布里渊区，E是k的多值函数，特点是在简约布里渊区表示出所有能带。5.2近自由电子近似(微扰法)重复式图式：各布里渊区是等价的，是简约区的每个能带在整个k空间周期性重复，特点是E是k的周期函数。5.2近自由电子近似(微扰法)5.布区与布拉格反射布区边界：由右图知，5.2近自由电子近似(微扰法)kK’结论：指向布里渊边界的任意平面波波矢

，将受到晶格的布拉格反射，反射波波矢，正是由于和相遇，形成驻波和由于电子几率密度不同，形成两个态能量差。5.2近自由电子近似(微扰法)结论：（1）在零级近似中，电子作为自由电子，其能量本征值E(0)与k的关系曲线为抛物线。在周期势场的微扰下，E(k)曲线在k=hπ/a处断开，能量突变值为2|Vh|，在诸能量断开的间隔内不存在允许的能级，称为禁带。禁带发生在何处及有多宽，取决于晶体结构和势场的函数形式。5.2近自由电子近似(微扰法)（2）因为N是很大的，因此K的取值以及相应的能级都是十分密集的，即准连续。这些准连续的能级被禁带隔开而形成一系列能带，每个能带所对应的k的取值范围都是2π/a，即一个倒易原胞的长度，而所包含的量子态数目又都是N，即等于晶体中原胞的数目。5.2近自由电子近似(微扰法)6.2.2三维周期性势场1.三维情况下的近自由电子近似波动方程

其中5.2近自由电子近似(微扰法)自由电子能量及波函数(零级近似)非简并情况(微扰计算)5.2近自由电子近似(微扰法)简并微扰禁带宽度5.2近自由电子近似(微扰法)属于同一个布里渊区的能级构成一个能带，不同的布里渊区对应于不同的能带，每个布里渊区体积相同，等于倒格子原胞的体积，每个能带的量子态数目：2N（计入自旋）。在三维晶格中，不同方向上能量断开的取值不同，这使得不同的能带发生重叠。5.2近自由电子近似(微扰法)在左图中，第一布里渊区在k方向上能量最高点A，k’方向上能量最高点C，C点的能量比第二布里渊区B点高。5.2近自由电子近似(微扰法)2.几种晶格的布里渊区（1）简单立方格原胞基矢：倒格子基矢：第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体。5.2近自由电子近似(微扰法)5.2近自由电子近似(微扰法)（2）体心立方格子原胞基矢：倒格子基矢：5.2近自由电子近似(微扰法)倒格子原胞为边长为4π/a的面心立方格子。第一布里渊区为原点和12个近邻点连线的垂直平分面围成的正12面体。5.2近自由电子近似(微扰法)重要对称点：Γ:2π/a(0,0,0);H:2π/a(1,0,0);P:2π/a(0.5,0.5,0.5);N:2π/a(0.5,0.5,0)5.2近自由电子近似(微扰法)相对应的几个对称轴ΔΛΣ分别为：Δ：ΓH，四度对称轴，波矢取值：π/a(δ,0,0),0<δ<1Λ：ΓP，三度对称轴，波矢取值：2π/a(λ,λ,λ),0<λ<0.5Σ：ΓN，二度对称轴，波矢取值：2π/a(σ,σ,0),0<σ<0.5第一布里渊区为原点和6个近邻格点的垂直平分面围成的立方体。5.2近自由电子近似(微扰法)（2）面心立方格子原胞基矢：倒格子基矢：5.2近自由电子近似(微扰法)倒格子原胞为边长为4π/a的体心立方格子。第一布里渊区为原点和8个近邻点连线的垂直平分面围成的正8面体，和沿立方轴的6个次近邻格点连线的垂直平分面割去8面体的六个角，形成14面体。8个面是正六边形，6个面是正四边形。第一布里渊区为14面体。5.2近自由电子近似(微扰法)重要对称点：Γ:2π/a(0,0,0);X:2π/a(1,0,0);L:2π/a(0.5,0.5,0.5);K:2π/a(0.75,0.75,0)

5.2近自由电子近似(微扰法)相对应的几个对称轴ΔΛΣ分别为：Δ：ΓX，四度对称轴，波矢取值：2π/a(δ,0,0),0<δ<1Λ：ΓL，三度对称轴，波矢取值：2π/a(λ,λ,λ),0<λ<0.5Σ：ΓK，二度对称轴，波矢取值：2π/a(σ,σ,0),0<σ<0.755.2近自由电子近似(微扰法)3.布里渊区的性质总结（1）布里渊区的形状与晶体结构有关，其中简约布里渊区即为倒易点阵中的维格纳-赛茨原胞。（2）每一个布里渊区的体积等于倒易点阵中原胞的体积，其中包含N个可能的状态。由于每个状态可以容纳两个自旋相反的电子，因而每个布里渊区可以容纳2N个电子。5.2近自由电子近似(微扰法)（3）在布里渊区能量是不连续的，其间隔为2|Vh|，在一维情况下，即为禁带宽度。但在三维，布里渊区界面上的能量不连续性却不一定意味着禁带的存在。（4）无穷多个布里渊区中，第一布里渊区具有特别重要的意义，晶体中所有电子的能量和相应的波函数均可在第一布里渊区内表示。5.2近自由电子近似(微扰法)在近自由电子近似中，是以自由电子为基础来研究晶体中的电子状态，周期场随空间变化的部分比较弱，电子的状态很接近自由电子，这是一种极端情况。5.3紧束缚近似

另一种极端，设想晶体由原子组成，当原子之间相距很远时，电子被紧密束缚在原子的周围，其状态可用自由原子的波函数来描述。原子间的波函数有小的交叠，其电子状态将发生变化但仍保持原有特性。5.3紧束缚近似

1.紧束缚近似模型电子处于很强的原子势场与弱的周期性势场，当原子间距较大时，电子靠近原子实时，相当于处于该原子的势阱中，电子的运动状态同孤立原子束缚电子相似。5.3紧束缚近似

紧束缚近似方法的思想：电子在一个原子（格点）附近时，主要受到该原子势场的作用，将其它原子（格点）势场的作用看作室微扰。6.3紧束缚近似

将晶体中电子的波函数近似看成原子轨道波函数的线性组合，得到原子能级和晶体中电子能带之间的关系，又叫原子轨道线性组合法（LinearCombinationofAtomicOrbits:LCAO）在紧束缚近似下，电子的哈米尔顿算符为：Va是原来所属原子势能；Vc其它原子的微扰势；V（r）=Va+

Vc是晶体周期势。5.3紧束缚近似

2.运动电子的波函数和能量第n

个电子在第n原子实附近电子距第n

个原子距离，该处原子实（近似为孤立原子）形成的势场为，被束缚的电子的波函数（s态）为，能量为5.3紧束缚近似

孤立原子束缚的电子波函数加上其它原子势场，晶体中电子波函数为孤立原子波函数的线性组合5.3紧束缚近似

应具有布洛赫波函数的形式，而且归一化可以得出薛定鄂方程5.3紧束缚近似

5.3紧束缚近似

5.3紧束缚近似

5.3紧束缚近似

同乘积分5.3紧束缚近似

5.3紧束缚近似

把等式左边分为Rn=0和Rn≠0两部分5.3紧束缚近似

令：5.3紧束缚近似

S态电子的能量

由于原子间距较大，只有相邻原子的电子波函数交叠，即其它为0。由于S态的波函数的球对称性，B（Rn）应与Rn无关。5.3紧束缚近似

3.能带计算的例子对于简单立方晶格，最近邻原子有六个，位置是(±a,0,0),(0,±a,0),(0,0,±a)，注意到S态波函数的对称性，六个最近邻原子所相应的B都相等，于是得:

5.3紧束缚近似

这就是简单立方晶格S带的能量与波矢的关系。当k=0时，即在布里渊区中心Γ点，能带有最小值，即为能带底而k在布里渊区边界的小正方面的对角线时，即k为(±π/a,±π/a,

±π/a)时，取得极大值：5.3紧束缚近似

整个S带的宽度为：可见，原来自由原子的一个能级，由于原子间的作用被分裂为一个能带，原子间波函数的交叠愈多，原子间相互作用愈强,能带的宽度就愈宽。5.3紧束缚近似

在紧束缚近似中，把能带同原子的能级联系起来，原子的不同能级在晶体中变成相应的能带，如S带，p带，d带等。外层电子的波函数交叠程度大将形成较宽的能带，而内层电子相应的能带比较窄。5.3紧束缚近似

原子可能有能量相等或相近的原子轨道，可能出现能带互相重叠的情况，这时能带与原子能级之间就没有简单的对应关系了。5.3紧束缚近似

尽管晶体中电子是遵守量子力学规律的，但并非所有关于电子运动的问题都必须应用量子力学方法来处理。晶体中许多电子运动问题是可以近似当作经典运动来处理。例如，在电、磁场中晶体的输运问题就属于这一类型。5.5电子的准经典运动

5.5.1准经典近似和波包微观粒子具有波粒二象性，粒子性的特征为局限于某一点，而波的特性为弥散在整个空间。二者可以在波包的基础上统一。波包：在量子力学中，对任意有经典类比的力学系统，如果对一个态的经典描述近似成立，则在量子力学中这个态就由一个波包代表。5.5电子的准经典运动

由为中心在范围内所有波函数的集合，在内，量子论认为，晶体中处于状态下的电子，在经典近似下其平均速度，相当于以为中心的由布洛赫波组成的波包的速度。5.5电子的准经典运动

描述波包的波函数为:

因为，并注意德布罗意关系E=ћ

，则令k=k0+ξ，把E

在k0附近展开：5.5电子的准经典运动

于是：5.5电子的准经典运动

该波包所描写的粒子的几率分布为:波包中心位置几率最大，有5.5电子的准经典运动

5.5.2电子的速度波包中心移动的速度为波包在空间中集中在

x范围，且而

k<<2π/a，换句话说，波包的大小如果大于许多个原胞，则晶体中电子的运动可以看作是波包的运。波包的运动规律同经典粒子一样，波包移动的速度等于粒子处于波包中心那个状态所具有的平均速。5.5电子的准经典运动

在一维近自由电子近似模型中，在能带底和能带顶：dE/dk=0，电子的速度为0；在能带d2E/dk2=0处，电子的速度最大，速度和能量的变化结果与自由电子的是不同。5.5电子的准经典运动

三维时,由于波包是波矢相差很小的一系列布洛赫波叠加的结果，所以波包的速度称为群速度。电子的群速度总是与K空间的等能面垂直。5.5电子的准经典运动

3.外力作用下的电子状态---加速度和有效质量在dt时间内电子获得的能量dE等于外力所做的功，即然而，电子的加速度：5.5电子的准经典运动

将dE/dt的表达式代入，得：

而同牛顿定律比较，确定电子的有效质量m*为在一维情况下它是标量。5.5电子的准经典运动

三维运动电子的加速度和有效质量：5.5电子的准经典运动

写成张量形式：5.5电子的准经典运动

与牛顿定律相比，现在以一个张量代替了1/m，我们称其为有效质量倒易张量(1/m*)，这是一个对称张量，如作坐标变换使非对角为零，则，可简化为：5.5电子的准经典运动

电子平均加速度与外力的关系形式上类似于牛顿第二定律，只是用有效质量代替了电子的质量。由于(1/m*)是张量，所以电子的加速度与外力的方向不一致，这是因为电子不仅受外力的作用，它还受到晶格周期场的作用。有效质量的意义就在于它可以概括晶体内部的作用，使电子的加速度与外力满足非常简单的关系。5.5电子的准经典运动

有效质量不是一个常数，而是波矢k的函数；有效质量不仅可以取正值,也可以取负值。有效质量是一个张量，主要由电子能带结构决定。当等能面为球面时，有效质量是一个各向同性的标量，5.5电子的准经典运动

在能带不同位置，有效质量不同。能带底，对应能量极小；能带顶，对应能量极大。5.5电子的准经典运动

意义：概括了半导体内部势场作用，使得在解决半导体中电子在外力作用下的运动规律时，可以不涉及到半导体内部势场的作用。5.5电子的准经典运动

4.在外加电场作用下电子的运动设电场力F=-qE，沿k轴的正方向，电子在k空间做匀速运动。电子的运动永远保持在同一个能带内，能量为周期性变化。5.5电子的准经典运动

用简约布里渊区表示：电子的运动到布里渊区边界k=π/a，由于k=-π/a与k=π/a相差倒格式k=2π/a，代表同一个状态，所以电子从布里渊区边界k=π/a移动出去，同时从k=-π/a移动进来，电子在k空间做循环运动。5.5电子的准经典运动

能带论的一个主要贡献就是成功地说明为什么有些晶体是导体，有些却是绝缘体或半导体。电子的能量E是波矢k的函数，而且是偶函数，即：E(k)=E(-k)。5.6导体、绝缘体和半导体速度