专题09 空间几何（选填题8种考法）（学生版）

专题09空间几何（选填题8种考法）考法一体积与表面积【例1-1】（2023·山东威海·统考一模）已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为4π的扇形，则该圆锥的表面积为()【例1-2】（2021·全国·统考高考真题）正四棱台的上、下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为【例1-3】（2023·全国·模拟预测）如图，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的体积为V，四边形ABCD为平行四边形，点E在CC1上且CE=3EC1，则三棱锥D1-ADC与三棱锥E-BCD的公共部分的体积为()A. V28B.V21C.D.V7【例1-4】（2023·全国·模拟预测）已知正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2A1B1＝2，O是底面ABCD的中心，若异面直线OB1与CC1所成角的余弦值为，则该四棱台的侧面积为()考法二平行与垂直【例2-1】（2023云南）设m,n是两不同的直线，a,β是两不同的平面，则下列命题正确的是A．若aLβ,anβ=n，mLn，则mLaC．若m//a,n//β,mLn，则aLβD．若nLa,nLβ,mLβ,则mLa【例2-2】（2022·全国·统考高考真题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB,BC的中点，则()A．平面B1EFL平面BDD1B．平面B1EFL平面A1BDC．平面B1EF//平面A1ACD．平面B1EF//平面A1C1D【例2-3】（2021·浙江·统考高考真题）如图已知正方体ABCD-A1B1C1D1，M，N分别是A1D，D1B的中点，A．直线A1D与直线D1B垂直，直线MN//平面ABCDB．直线A1D与直线D1B平行，直线MN平面BDD1B1C．直线A1D与直线D1B相交，直线MN//平面ABCDD．直线A1D与直线D1B异面，直线MN平面BDD1B1【例2-4】（2023·山东菏泽·统考一模）如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且A,B,C,D四个顶点在同一平面内，下列结论：①AE//平面CDF；②平面ABE//平面CDF；③ABAD；④平面ACE平面BDF，正确命题的个数为()考法三空间角【例3-1】（2023·黑龙江大庆·统考一模）在三棱锥P-ABC中，PB平面ABC，且AB=PB=2，AC=BC=2，E，F分别为BC，PA的中点，则异面直线EF与PC所成角的余弦值为()35353538855885【例3-2】（2023·江苏连云港·统考模拟预测）已知正四面体A-BCD，AM=2MC，点N为线段BC的中点，则直线MN与平面BCD所成角的正切值是()【例3-3】（2022·全国·统考高考真题多选）已知正方体ABCD-A1B1C1D1，则()A．直线BC1与DA1所成的角为90。B．直线BC1与CA1所成的角为90。C．直线BC1与平面BB1D1D所成的角为45。D．直线BC1与平面ABCD所成的角为45。【例3-4】（2023·全国·模拟预测多选）已知四棱锥P-ABCD的顶点都在一个表面积为16π的球面上，PA平面ABCD，底面ABCD是正方形，AB=2，则()B．PCBDC．直线PC与直线AB所成角的大小为60。D．直线PC与平面PAB所成角的大小为60。考法四空间距离【例4-1】（2023·福建·统考一模）已知空间中三点A(1,1,),B(1,-1,2),C(0,0,0)，则点A到直线BC的距离为.【例4-2】（2023·浙江温州·统考模拟预测）在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则直线FC到平面AEC1的距离为.A．A到平面A1BD的距离为B．A到平面A1BD的距离为C．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为3D．沿长方体的表面从A到C1的最短距离为2考法五外接球与内切球【例5-1】（2021·全国·统考高考真题）已知A，B，C是半径为1的球ACBC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为()A.22B.33C.224D.334【例5-2】（2021·天津·统考高考真题）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为,两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为()【例5-3】（2023·贵州贵阳·统考一模）如图，在三棱锥A一BCD中，平面ABDL平面BCD，ΔBCD是边长为2的等边三角形，AB=AD=2，则该几何体外接球表面积为()A．20πB．8πC．28π【例5-4】（2023·陕西西安·统考一模）在三棱锥A一BCD，平面ACDL平面BCD，‘ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，ΔBCD为等边三角形，AC=4，则该三棱锥的外接球的表面积为()【例5-5】（2022·全国·统考高考真题）已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()考法六实际生活中的应用【例6-1】（2022·全国·统考高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148．5m时，相应水面的面积为面的面积为180．0km2，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从9m3【例6-2】（2023·湖北武汉·统考模拟预测）某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径15cm，高10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔.若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为()【例6-3】（2023·陕西西安·统考一模）盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商准备将棱长为8cm的正四面体的魔方放入正方体盲盒内，为节约成本，使得魔方能够放入盲盒且盲盒棱长最小时，盲盒内剩余空间的体积为()【例6-4】（2023·全国·模拟预测）粮食是关系国计民生和国家经济安全的重要战略物资，也是人民群众最基本的生活资料，粮食安全是“国之大者”．如图为某农场的粮仓，中间部分可近似看作是圆柱，圆柱的底面直径为8m，上、下两部分可以近似看作是完全相同的圆锥，圆柱的高是圆锥高的6倍，且这两个圆锥的顶点相距10m，则该粮仓的体积约为()A.440π33C.400π3【例6-5】（2021·北京·统考高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：mm24h降雨量的等级划分如下：在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是【例6-6】（2021·全国·统考高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距离将地球看作是一个球心为O，半径r为6400km的球，其上点A的纬度是指OA与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为Q，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为S=2πr2(1一cosQ)（单位：kmA．26%B．34%考法七截面或轨迹长度【例7-1】（2023·江西上饶·统考一模）在正方体ABCD一A,B,C,D,中，近点BF为棱A,D,的四等分点（靠近点A,过点C,，E，F作该正方体的截面，则该截面的周长是()【例7-2】2023·湖北武汉·统考模拟预测）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且ZAOB=60o，【例7-3】（2023·全国·深圳中学校联考模拟预测）如图所示，已知正四棱柱ABCD一A1B1C1D1的上下底面的边长为3，高为4，点M，N分别在线段D1C1和B1C1上，且满足MC1=NC1=2，下底面ABCD的中心为点O，点P，Q分别为线段AC1和MN上的动点，则PQ+PO的最小值为()2232232【例7-4】（2023·全国·模拟预测多选）已知点P为直四棱柱ABCD－A1B1C1D1表面上一动点，四边形ABCD=2AB=4，E为AB的中点，F为DD1的中点，则下列说法正确的是()A．过A1，C1，E三点的平面截该四棱柱所得截面的面积为2B．过C1，E，F三点的平面截该四棱柱所得的截面为五边形C．若D1PⅡ平面A1C1E，则点P的轨迹长度为2(+)D．若动点P到棱BB1的距离为，则点P的轨迹长度为π+8考法八最值问题【例8-1】（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）已知圆锥的侧面积为4π,高为2，若圆锥可在某球内自由运动，则该球的体积最小值为()【例8-2】2023·河南平顶山·校联考模拟预测）已知某长方体的上底面周长为16，与该长方体等体积的一个圆柱的轴截面是面积为16的正方形，则该长方体高的取值范围是()【例8-3】（2023·广东深圳·统考一模）如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，则V的取值范围是()(15)(12)(12)(11)(15)(12)(12)(11)【例8-4】2023·全国·校联考模拟预测）已知三棱锥P－ABC的所有顶点均在半径为2的球的O球面上，底面‘ABC是边长为3的等边三角形．若三棱锥P－ABC的体积取得最大值时，该三棱锥的内切球的半径为-1)【例8-5】（2023·吉林·统考二模）三棱锥A-BCD中，ACl平面BCD，BDlCD．若AB=3，BD=1，则该三棱锥体积的最大值为()33【例8-6】（2022·全国·统考高考真题）已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为36π,且3<l<3，则该正四棱锥体积的取值范围是()12023秋·宁夏吴忠·高三青铜峡市高级中学校考期末）设l是直线，a、β是两个不同的平面()A．若lⅡa,lⅡβ,则aⅡβB．若lⅡa,lLβ,则aLβC．若βLa,lLa，则lβD．若aLβ,lⅡa，则lLβ22023·全国·校联考模拟预测）已知m、n是两条不同的直线，a、β是两个不同的平面，则下列说法正确的A．若mLa,aLβ,则mβB．若mⅡa,aⅡβ,则mβC．若m仁a,n仁a,m∥β,n∥β,则a∥βD．若mLa,mLβ,nLa，则nLβ32023·河南·校联考模拟预测）已知空间四条直线a，b，m，n和两个平面a，β满足a,b仁a，m,n仁β,A．若am，则aⅡβB．若aⅡβ且ma，则a∥βC．若aⅡβ且bⅡβ,则maD．若aLm且bLn，则aLβ42021·全国·统考高考真题）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为A. π 2B. π 3C. π 4D. π 652021·全国·统考高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长6（2022·全国·统考高考真题）在长方体ABCD一A1B1C1D1中，已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成的角A．AB=2ADB．AB与平面AB1C1D所成的角为30。C．AC=CB1D．B1D与平面BB1C1C所成的角为45。72023·山西临汾·统考一模）《九章算术·商功》提及一种称之为“羡除”的几何体，刘徽对此几何体作注：“羡除，隧道也其所穿地，上平下邪.似两鳖臑夹一堑堵，即羡除之形.”羡除即为：三个面为梯形或平行四边形（至多一个侧面是平行四边形其余两个面为三角形的五面几何体.现有羡除ABCDEF如图所示，底面ABCD为正方形，EF=4，其余棱长为2，则羡除外接球体积与羡除体积之比为()C. π382023·新疆乌鲁木齐·统考一模）已知直线a，b与平面α,β,γ,能使QLβ的充分条件是()A．aPQ，b/β,LB．QLY，βLYC．aPQ，aLβD．Q八β=a，L，b仁β92023·河南·校联考模拟预测）已知正方体ABCD一A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段B1C上，有下列四个结论：①AB1LCD1；②点P到平面A1BD的距离为；④若四面体B1ACD1的所有顶点均在球O的球面上，则球O的体积为2π.其中所有正确结论的个数是()102023·湖南·模拟预测）在三棱锥A一BCD中，ABL平面BCD，BCLCD，CD=2AB=2BC=4，则三棱锥ABCD的外接球的表面积与三棱锥ABCD的体积之比为()ZACB=90。，D在上底面A1B1C1（包括边界）上运动，则三棱锥D一ABC的外接球体积的最大值为()12（2023·甘肃兰州·校考模拟预测）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZBAC=90。，AB=AC=AA1=2，E，F，D，分别是BC，A1C1，B1C1的中点，则下面说法中正确的有()A．EF//平面AA1B1BB．BDLEFC．直线EF与平面ABC所成角的余弦值为25D．点D到平面BCF的距离为132023·上海黄浦·统考一模）如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MDL平面ABCD，NBL平面ABCD，且MD=NB=1，点G为MC的中点.则下列结论中不正确的是()A．MClANB．平面DCM//平面ABNC．直线GB与AM是异面直线D．直线GB与平面AMD无公共点142023·内蒙古·模拟预测）已知球O的半径为2，圆锥内接于球O，当圆锥的体积最大时，圆锥内切球-1152023·山东潍坊·统考一模）如图，圆锥的底面半径为1，侧面展开图是一个圆心角为60。的扇形.把该圆锥截成圆台，已知圆台的下底面与该圆锥的底面重合，圆台的上底面半径为，则圆台的侧面积为()8ππ16π3162023·河南·校联考模拟预测）如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长都相等，D为棱AB的中点，则CD与AC1所成角的正弦值为()363363沿AD折叠成三棱锥A一BCD，则该棱锥体积最大值为()A.C.13333B.D. 6222182023·河南·校联考模拟预测）在菱形ABCD中，AB=5，AC=6，AC与BD的交点为G，点M，N分别在线段AD，CD上，且AM=MD，CN=ND，将ΔMND沿MN折叠到△MND,，使GD,=2，则三棱锥D,ABC的外接球的表面积为()192023·山西忻州·统考模拟预测）如图，在四棱锥P一ABCD中，平面PADL平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PA=PD=AB，E,F分别是棱BC,PD的中点，则异面直线EF与AB所成角的余弦值是()663663366202023·四川·校联考一模）四棱锥P一ABCD的底面为正方形，PAL平面ABCD，顶点均在半径为2的球面上，则该四棱锥体积的最大值为()212023·四川·校联考一模）在长方体ABCD一A1B1C1D1中，已知异面直线A1C与AD，A1C与AB所成角的大小分别为60o和45o，则直线B1D和平面A1BC所成的角的余弦值为()222023·江西上饶·统考一模）蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似于今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠作为非物质文化遗产经国务院批准已列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知半径为3的某鞠（球）的表面上有四个点A，B，C，P，ACLBC，AC=BC=4，PC=6，则该鞠（球）被平面PAB所截的截面圆面积为()232023·甘肃兰州·校考模拟预测）沙漏是我国古代的一种计时工具，是用两个完全相同的圆锥顶对顶叠放在一起组成的（如图在一个圆锥中装满沙子，放在上方，沙子就从顶点处漏到另一个圆锥中，假定沙子漏下来的速度是恒定的．已知一个沙漏中沙子全部从一个圆锥中漏到另一个圆锥中需用时1小时．当上方圆锥中沙子的高度漏至一半时，所需时间为()A．小时B．小时C．小时D．小时242022·全国·统考高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π,侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若=2，则=()252022·浙江·统考高考真题）如图，已知正三棱柱ABC一A1B1C1,AC=AA1，E，F分别是棱BC,A1C1上的点．记EF与AA1所成的角为a，EF与平面ABC所成的角为β,二面角F一BC一A的平面角为y，则()A．a<β<yB.β<a<yC.β<y<aD．a<y<β262022·天津·统考高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为120。，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为()272023·新疆乌鲁木齐·统考一模）三棱锥A一BCD中，点A在平面BCD的射影H是ΔBCD的垂心，点D在平面ABC的射影G是ΔABC的重心，AD=1，则此三棱锥体积的最大值为()282023·全国·模拟预测）如图，在棱长为1的正方体ABCD一A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内一动点（含边界则下列说法中不正确的是()A．若D1Q//平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段B．存在Q点，使得D1QL平面A1PDC．当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q一A1PD的体积最大D．若D1Q=，那么Q点的轨迹长度为π292023·江苏连云港·统考模拟预测）已知圆锥内切球（与圆锥侧面、底面均相切的球）的半径为2，当该圆锥的表面积最小时，其外接球的表面积为()302023·吉林通化·梅河口市第五中学校考一模）表面积为15π的球内有一内接四面体PABC，其中平面ABCL平面PAB，‘ABC是边长为3的正三角形，则四面体PABC体积的最大值为()A.275B.32C.94D.831（2022·全国·统考高考真题）已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()322023·陕西西安·统考一模）在三棱锥A-BCD中，平面ACD平面BCD，ACD是以CD为斜边的等腰直角三角形，M为CD中点，BMBC，AC=2BC=4，则该三棱锥的外接球的表面积为()A．16πB．24πC．32πD．40π332023·全国·模拟预测多选）已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，点P，Q，M，N分别是棱AB，BC，CC1，BC1的中点，则下列结论不正确的是()A．BD1平面B1PQB．AMⅡ平面B1PQC．D1M平面B1PQD．ANⅡ平面B1PQ342023·云南·统考模拟预测多选）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G分别为BC、CC1、BB1A．A1CAB1B．A1B与AD1所成角为60。C．D1DAFD．A1G//平面AEF352023·重庆·统考一模多选）在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，则()A．AB1平面BCD1B．直线AB1平面B1CD1所成角为45°C．三棱锥A-B1CD1的体积是正方体ABCD-A1B1C1D1体积的D．点C1到平面AB1D1的距离为a362021·全国·统考高考真题多选）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足MNOP的是()A.B.C.D.372023·全国·模拟预测多选）如图，在正方体ABCD一A1B1C1D1中，以下结论正确的是()A．A1B1//平面ABD1B．B1CL平面ABD1C．异面直线BD1与B1C所成的角为60°D．直线BD1与平面ABCD所成角的正弦值为382023·全国·模拟预测多选）在长方体ABCD一A1B1C1D1中，直线B1D与平面ABB1A1、平面BCC1B1所A．AB=BCC．直线A1C与平面CDD1C1所成的角为60。D．直线A1C与AD所成的角为60。392023·全国·模拟预测多选）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AA1⊥平面ABC，AC1=BC1，点D为AB的中点，ZAC1八A1C=O，则下列结论正确的有()A．CD⊥A1DB．平面A1DC⊥平面ABB1A1C．ODⅡ平面A1BC1D．V三棱锥C_BOD=V三棱柱ABC_ABC402023·辽宁·校联考模拟预测多选）在正方体ABCD_A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1D1的中点，则下列结论错误的是()A．EF//平面BB1D1B．EF//平面B1CD1C．EFL平面A1BDD．EFL平面BC1D412023·全国·模拟预测多选）如图，已知正方体ABCD_A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则下列结论成立的有()A．A1GLEFB．A1GⅡ平面AEFC．A1G与AF所成角的余弦值为D．点B1到平面AEF的距离为2422023·山东威海·统考一模多选）在棱长为1的正方体ABCD_A1B1C1D1中，点P满足P+BP的最小值为B．当x=y时，有且仅有一点P满足DB1LA1PC．当x+y=1时，有且仅有一点P满足到直线A1B1的距离与到平面ABCD的距离相等2=1时，直线AP与C1D1所成角的大小为定值432023·吉林·统考二模多选）已知平面an平面β=l，B，D是l上两点，直线AB仁a且ABnl=B，直线CD仁β且CDnl=D．下列结论中，错误的有()A．若ABLl，CDLl，且AB=CD，则ABCD是平行四边形B．若M是AB中点，N是CD中点，则MNⅡACC．若aLβ,ABLl，ACLl，则CD在a上的射影是BDD．直线AB，CD所成角的大小与二面角a_l__β的大小相等442023·江苏连云港·统考模拟预测多选）折扇在我国已有三四千年的历史，“扇”与“善”谐音，折扇也寓意“善良”“善行”．它以字画的形式集中体现了我国文化的方方面面，是运筹帷幄，决胜千里，大智大勇的象征（如图1图2是一个圆台的侧面展开图（扇形的一部分若扇形的两个圆弧所在圆的半径分别是1B．表面积为D．上底面积、下底面积和侧面积之比为1:9:24452023·云南红河·统考一模多选）三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O上，且PA⊥底面ABC，PA=2AB=2AC=2，ZBAC=,A．BC=B．球心O在三棱锥的外部C．球心O到底面ABC的距离为2D．球O的体积为462023·山东·烟台二中校考模拟预测多选）如图，在四棱锥P_ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∕∕BC,ACLBD，垂足为点O，PA=PD=AD=3,BC=4,OP=3，E为PB的中点，则下列结论错误B．BD1L平面aA．OE∕∕PCB．OE∕∕C．平面PBDL平面PACD．平面PADL平面ABCD472023·山东日照·统考一模多选）已知正方体ABCD-A1B1C1D1过对角线BD1作平面a交棱AA1于点E，交棱CC1于点F，则()A．平面a分正方体所得两部分的体积相等B．四边形BFD1E一定是菱形C．四边形BFD1E的面积有最大值也有最小值D．平面a与平面DBB1始终垂直48（2022·全国·统考高考真题多选）如图，四边形ABCD为正方形，EDL平面ABCD，FB∥ED,AB=ED=2FB，记三棱锥E-ACD，F-ABC，F-ACE的体积分别为V1,V2,V3，则()=V11492023·安徽宿州·统考一模多选）棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AD，A1B1，CC1的中点，过点E，F，G的平面记为平面