北师大版九年级下册数学全册教学设计

北师大版九年级下册数学全册教案教学设计

目录

第一章直角三角形的边角关系

1锐角三角函数1

第1课时锐角的正切1

第2课时锐角的正弦、余弦2

230°,45°,60°角的三角函数值4

3三角函数的计算5

4解直角三角形7

5三角函数的应用8

6利用三角函数测高10

第二章二次函数

1二次函数12

2二次函数的图象与性质13

第1课时抛物线的认识13

第2课时形如yuor2和^二谓+以。#。）的图象与性质14

第3课时形如y=a（x—和y=a（x—/?）2+氏（。*0）的图象与性质16

第4课时形如、=/+法+以。#0）的图象与性质18

3确定二次函数的表达式20

第1课时已知图象上的两点求表达式20

第2课时已知图象上的三点求表达式21

4二次函数的应用22

第1课时二次函数与图形面积问题22

第2课时二次函数与利润问题24

5二次函数与一元二次方程25

第I课时二次函数与一元二次方程根的关系25

第2课时求一元二次方程的近似根27

第三章圆

1圆29

2圆的对称性30

*3垂径定理32

4圆周角和圆心角的关系33

第1课时圆周角定理及其推论133

第2课时圆周角定理的推论2,335

5确定圆的条件36

6直线和圆的位置关系39

第1课时直线和圆的位置关系及切线的性质39

第2课时切线的判定40

*7切线长定理42

8圆内接正多边形43

9弧长及扇形的面积45

第一章直角三角形的边角关系

1锐角三角函数

第1课时锐角的正切

教学目标!

I.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正切的意义和与现实生活的联系.

2.能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等,

能够用正切进行简单的计算.

3.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，了解数学与生活的密切联系.

掌握正切的定义及基本应用.

利用正切的有关知识解决实际生活的问题.

活动一：创设情境导入新课（课件）

你知道图中建筑物的名字吗？是的，它就是意大利著名的建筑——比萨斜塔，是世界著

名建筑奇观，位于意大利托斯卡纳省比萨城北面的奇迹广场上，是奇迹广场四大建筑之一，

也是意大利著名的标志之一.它从建成之日起便由于土层松软而倾斜，应该如何用数学方法

来描述它的倾斜程度呢？

活动二：实践探究交流新知

【探究1】

在图中，梯子AB和E尸哪个更陡？你是怎样判断的？你有几种判断方法?

梯子AB比梯子EF更陡.

方法一：从图中很容易发现NABONEF。，所以梯子AB比梯子EF陡.

方法二:因为AC=EZ），所以只要比较的长度即可判断哪个梯子陡.因为

所以梯子AB比梯子EF陡.（比较梯子的底部到墙角的距离来判断）

结论：竖直高度相等时，水平宽度越短，梯子越陡.

【探究2】正切的定义

如图，若小明因身高原因不能顺利测量梯子顶端到墙脚的距离SG，进而无法刻画梯子

的倾斜程度，他该怎么办？你有什么锦囊妙计？

小明想通过测量SG及AG,算出它们的比，来说明梯子的倾斜程度；而小亮则认为,

通过测量82c2及AC2,算出它们的比，也能说明梯子的倾斜程度.你同意小亮的看法吗？

(l)RtA/lBiCi和RtZ\4B2c2有什么关系？

(2)与尹和喋2有什么关系？

(3)如果改变%在梯子上的位置呢？由此你能得出什么结论？

结论：由相似三角形的对应边成比例，得能;=念，即蟹=瞿.

如果改变良在梯子上的位置，总可以得到仍能得到患=

紫，因此，无论B2在梯子的什么位置(除点A外)，第=擘总成立.

AQACiAC2

【归纳】如图，在Rtz^ABC中，如果锐角A确定，那么N4的对边与邻边的比便随之确

定，这个比叫做NA的正切，记作tanA,即tanA=j：2锚.

注意：

1.tanA是一个完整的符号，它表示/A的正切，记号里习惯省去角的符号“.

2.tanA没有单位，它表示一个比值，即直角三角形中的对边与邻边的比.

3.tanA不表示“tan”乘“A”.

4.初中阶段，正切是在直角三角形中定义的，/A是一个锐角.

【探究3】坡度的定义

如图表示甲、乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡？

(l)tan。和tan£的值分别是多少？

⑵你能比较tana和tan£的大小吗？

⑶根据lanA的值越大，梯子越陡，你能判断哪一个自动扶梯比较陡吗？

解：(1)甲梯中，tan.乙梯中，tan^=_i====磊；

2y/132—5212

(2)tana>tanB；

⑶；tana>tan...甲扶梯更陡.

【归纳】坡面与水平面的夹角称为坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比(即坡角的正切)

称为坡度（或坡比）.坡度越大，坡面就越陡.

活动三：开放训练应用举例

【例1】在△ABC中，ZC=90°,8c=6cm,AB=10cm,求tanA和tanB的值.

【方法指导】先求出AC,利用正切定义可求出.

34

解：由勾股定理，得4C=8,贝!|tanA=a,tan.

【例2】如图，某人从山脚下的点A走了130m后到达山顶的点B.已知点8到山脚的垂

直距离为50m,求山的坡度.

【方法指导】先求出AC,求出tanA即为山的坡度.

解：由勾股定理，得4C=120m,

贝!）tan4=卷.

答:山的坡度为卷.

活动四：随堂练习

课本P4随堂练习.

答案：

3

1.tanC=W.

2.山的坡度为0.286.

活动五：课堂小结与作业

小,NA的对边

【归一内】（l）tanA-2的邻边•

（2）tanA的值越大，梯子越陡.

（3）坡面与水平面的夹角称为坡角；坡面的铅直高度与水平宽度的比称为坡度（或坡比）.

【作业】课本习题中的、

P41.1T1T2>T3.

在解决实际问题中引发认知冲突，发现已有知识不能直接解决问题，需建立新的模型，

通过探究、归纳得出正切的定义，再运用这一定义进行计算加以巩固，整个流程符合学生的

认知规律，是一个从已有知识发展出新知识的过程.

第2课时锐角的正弦、余弦

教学目标»

1.理解正弦、余弦的意义.

2.能够用sinA,cosA表示直角三角形中直角边与斜边的比.

3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.

教学重点

根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算.

教学难点!

了解互余两角的三角函数关系并用它来解决实际问题.

教学活动

活动一：创设情境导入新课(课件)

上节课，我们研究了“陡”这个字，明确了梯子摆放的“陡”与“缓”是与梯顶、梯脚

到墙角的距离比有关的.如图，研究梯子摆放的倾斜程度有两种方法：一是用梯子的倾斜角

来刻画，倾斜角越大，梯子越陡；二是用倾斜角的对边与邻边之比(即倾斜角的正切)来刻画，

正切值越大，梯子越陡.那么还有没有其他方法来刻画梯子的倾斜程度呢？下面请同学们模

拟试验，探究梯子摆放的倾斜程度是否还与梯顶或梯脚到墙角的距离与梯长比有关呢？

活动二：实践探究交流新知

【探究1】

如图，请思考：

(l)RtAABiCi和RtZvlB2c2的关系是什么？

(2)需和符的关系是什么？

/\D\AD2

(3)如果改变%在斜边上的位置，则黑和野的关系是什么？

/\D\/\D2

思考：从上面的问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与

斜边的比值________，根据是.它的邻边与斜边的比值呢？

解：⑴相似；

旦q=纥Q

⑵~ABi；

(3)相等.

思考：相等相似三角形对应边成比例邻边与斜边的比值也相等.

【归纳】N4的对边与斜边的比叫做乙4的正弦，记作sinA,即sinA=』^粤辿.

/A的邻边与斜边的比叫做/A的余弦，记作cosA,即cos4=/常”边.

注意：

1.sinA,cosA中常省去角的符号“N”；

2.sinA,cosA没有单位，它们都表示一个比值；

3.sinA,cosA是一个完整的符号，不表示"sin"或"cos"乘"A"；

4.在初中阶段，sinA,cosA中，/A是一个锐角；

5.0<sinA<1,0<cosA<l（NA是锐角）.

【探究2]梯子的倾斜程度与sin4和cosA的关系

问题：我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯子越陡.由

此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA,cos4有关系呢？如果有关系，是怎样的关系？

解：如图，AB=A}B}.

BC

在Rt/XABC中，sinA=Y5，

/\D

ff.r1

在RtzXAiBiC中，sin.

A心i

因为普<TV-即sinA<sinZBtAtC,而梯子48比梯子AB陡，所以梯子的倾斜程

/io

度与sin4有关系.sinA的值越大，梯子越陡.正弦值也能反映梯子的倾斜程度.

ACAiCACA\C

因为COSA=7^,cosZB\A]C=-7-B~，且AB=A181,所以彳石>~A~R~9

/\DA\D\ADAioi

即cosA>cosZB1A1C,

所以梯子的倾斜程度与cosA也有关系.cosA的值越小，梯子越陡.

【归纳】正弦越大，角越大，梯子越陡；余弦越小，角越大，梯子越陡.

活动三：开放训练应用举例

【例1】如图，在Rt/XABC中，ZB=90°,AC=200,sinA=0.6,求8c的长.

【方法指导】利用sinA=77即可求出.

解：在RtZ\A8C中,

•••sinA=1|,即/=0.6,

.♦.BC=200X0.6=120.

【例2】在RtzXABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4.

(1)求sinA和cosB的值;

(2)求sin8和cosA的值;

(3)由(1)(2)你有什么发现？你能证明自己的发现吗？

44

解：(l)sinA=4,cos5=5；

33

(2)sin8=5,cosA=g；

(3)若NA+/B=90°,则sinA=cosB,sinB=cosA.证明略.

活动四：随堂练习

1.在Rt^ABC中，若各边的长度同时都缩小2倍，则锐角A的正弦值(C)

A.缩小2倍B.缩小1倍

C.保持不变D.不能确定

2.已知NA,N8为锐角.

(1)若NA=/8,则sinA=sin8：

(2)若sinA=sin8,则乙4=NB.

3.课本P6随堂练习.

活动五：课堂小结与作业

【归纳】(l)sinA的值越大，梯子越陡；cosA的值越小，梯子越陡；

(2)方法规律：

角相等，则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等，则这两个锐角相等.

【作业】课本P6习题1.2中的Ti、T2.

教学反思＞

通过类比正切的概念得出正弦、余弦的概念，同时导出三角函数的概念；结合勾股定理、

三角形内角和定理等知识，让学生理解三角函数的意义，找出正切、正弦和余弦之间的关系,

并能进行简单的计算.少数学生对用函数的观点理解正弦、余弦和正切还比较模糊.

230°,45°,60°角的三角函数值

教学目标!

1.经历探索30°,45°,60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理，进一步

体会三角函数的意义.

2.能够进行30°,45°,60°角的三角函数值的计算.

3.能够根据30°,45°,60°角的三角函数值说明相应的锐角的大小.

教学重点!

能够进行含30°,45°,60°角的三角函数值的计算.

教学难点!

在具体情境中构建直角三角形，运用特殊角的三角函数值解决实际问题.

教学活动

活动一：创设情境导入新课（课件）

在直角三角形中（利用一副三角尺进行演示），如果有一个锐角是30°（如图①），那么另

一个锐角是多少度？三条边之间有什么关系？如果有一个锐角是45°呢（如图②）？由此你能

发现这些特殊锐角的三角函数值吗？

图①图②

活动二：实践探究交流新知

【探究】特殊角的三角函数值

1.如图，在RtZXABC中，ZC=90°,NA=3O°,那么a,b,c三者之间有怎样的关

系？

2.sin30°等于多少？你是怎样得到的？与同伴交流.

3.cos30°等于多少？tan30°呢？

4.sin60°,cos60°,tan600呢？

5.45°角的三角函数值分别是多少呢？

6.填写表格：

三角函数值sinacosatana

30°

45°

60°

【归纳】sin30°=3，sin45°=¥，sin60°=孚;

cos30°=坐>cos45°=当>cos60°=：；

tan30°=2，tan45°=1,tan60°=小.

活动三：开放训练应用举例

【例1】计算：

（l）sin300+cos450；

（2）sin2600+cos260°—tan450.

【方法指导】熟记（特殊角）三角函数的值，计算时一般不取近似值.

1+蛆

解:(l)sin300+cos45°2丁2-2

(2)sin260°+cos260°—tan45°=(坐>+4)2—1+：—1=0.

【例2】一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时，摆角恰好为

60°,且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果

精确到0.01m)

【方法指导】根据题意画出图形，根据图形构造直角三角形，找出图中的特殊角，最后

根据特殊的三角函数值求出正确结论.

解：

如图，根据题意可知，乙40。=]X6O0=30°,OD=2.5m,

/.OC=ODcos30°=2.5X坐^2.165(m).

/.AC=2.5-2.165«0.34(m).

所以，最高位置与最低位置的高度差约为0.34m.

活动四：随堂练习

I.课本P9随堂练习.

2.在△48C中，都是锐角，且sinA=],«»8=当，则△ABC的形状是(B)

A.直角三角形B.钝角三角形

C.锐角三角形D.不能确定

3.在△48C中，ZC=90°,/B=2/A,则tan4=坐.

活动五：课堂小结与作业

【归纳】探索特殊角的三角函数值.

【作业】课本Pio习题1.3中的Ti、T2、T3、T4.

教学反思>

本节课通过小组合作交流形式，让学生积极参与数学活动，对数学产生好奇心，培养学

生独立思考问题的习惯，并在数学活动中获得成功的体验，对学生锻炼克服困难的意志，建

立自信心很有帮助，以后教学中要继续发扬.

3三角函数的计算

教学目标»

1.经历用计算器求已知锐角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义.

2.能够运用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题，提高用现代工具解决实际问

题的能力.

教学重点I

1.用计算器求已知锐角的三角函数值；

2.能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.

教学难点!

能够用计算器辅助解决含三角函数值计算的实际问题.

教学活动!

活动一：创设情境导入新课(课件)

提出问题，引入新课：

如图，当登山缆车的吊箱经过点A到达点8时，它走过了200m.已知缆车行驶的路线

与水平面的夹角为Na=16°,那么缆车垂直上升的距离是多少？(结果精确到0.01m)

问题：

(1)在RtZXABC中，sin。如何表示？

(2)你知道sin16°是多少吗？

(3)我们可以借助科学计算器求锐角的三角函数值，怎样用科学计算器求三角函数值呢？

活动二：实践探究交流新知

【探究1】用科学计算器求一般锐角的三角函数值

用科学计算器求三角函数值，要用到扇1国和国键.

例如,求sin16°,tan85°和sin72°38'25"的按键顺序如下表所示.

按键顺序显示结果

sin16°=

sin16°

0.2756373558

tan850=

tan85°

11.4300523

sin72°38,25〃sin72°38'25"=0.954450312

同学们可用自己的计算器按上述按键顺序计算sin16°,tan85°,sin72°38'25",

看显示的结果是否和表中显示的结果相同.

【探究2】

(1)如图，为了方便行人推自行车过某天桥，市政府在10m高的天桥两端修建了40m长

的斜道.这条斜道的倾斜角是多少？

i

如图，在RtZ\ABC中，sinA=7^=",那么/A是多少度呢？要解决这个问题，我们

可以借助科学计算器.请与同伴交流你是怎么做的.

（2）已知三角函数值求角度，要用到回国恒键的第二功能“sinIcosr,

tanr”和|SHIFT7］键.例如，已知sinA,cosB,tanC,求NA,NB,NC的度数的按键顺

序如下表所示.

按键顺序显示结果

sinA=0.9816sirT9.9816=78.99184039

cos8=0.8607cos-10.8607=30.60473007

tanC=56.78tan-'56.78=88.99102049

活动三：开放训练应用举例

【例1】如图，工件上有一V形槽,测得它的上口宽20mm,深19.2mm,求V形角（/ACB）

的大小.（结果精确到1°）

【方法指导】根据题意，可知AB=20mm,CD±AB,AC=BC,CD^19.2mm,要求NACB,

只需求出/AC£＞（或/OC8）即可.

解：tanZACD=^5=卷%0.5208,

，/AC"27.5°,

AZACB=2ZACD^2X21.5°=55°.

【例2】如图，在某海岛上的观察所A发现海上某船只B,并测得其俯角a=16°,已知

观察所A的标高（当水位为0m时的高度）为43.74m,当时水位为+2.63m,求观察所4到船

只8的水平距离.（精确到1m）

【方法指导】根据题目条件可求及AC的长，在RtZ\A8C中，利用的正切值即

可求出BC的长.

解：在Rt/VLBC中，根据题意,得NB=16°,AC=43.74—2.63=41.ll（m）.

•tanB=,••BC—~，。—%]43(m).

BCtanBtan16'

答：观察所A到船只B的水平距离BC约为143m.

活动四：随堂练习

课本巳4随堂练习

活动五：课堂小结与作业

【作业】课本PLS习题1.4中的Ti、T4、T5.

教学反思＞

本节课通过创设很多贴近学生生活实际的问题情境，提出引发学生思考的问题，让学生

经历从实际问题中抽象出锐角三角函数模型的过程，发展了学生的应用意识及分析问题、解

决问题的能力，培养了学生的数学建模能力及转化思维能力.

4解直角三角形

教学目标!

1.理解解直角三角形的概念，并能熟练地根据题目中的已知条件解直角三角形.

2.通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问

题的能力.

3.掌握解直角三角形所用的边角关系，能适当地选择锐角三角函数解直角三角形.

教学重点!

根据条件解直角三角形.

教学难点!

三角函数在解直角三角形中的灵活运用.

教学活动!

活动一：创设情境导入新课(课件)

如图，在RtZXABC中，ZC=90°,NA,NB,NC所对的边分别记作a,b,c.

问题1：直角三角形的三边之间有什么关系？

问题2：直角三角形的锐角之间有什么关系？

问题3：直角三角形的边和锐角之间有什么关系？

解：问题1：屏+加=/；

问题2：NA+NB=90°；

问题3：sinA=?,cos,tan,

.bab

sinB=~,cosB=_,tanB=~.

cca

活动二：实践探究交流新知

【探究1】

在Rt^ABC中，ZC=90°,NA,NB,NC所对的边分别为“，b,c,且。=小，b

=小,求这个三角形的其他元素.

【方法指导】已知两边可求第三边，再根据边角之间的关系求出角的度数._____

解：在Rt△ABC中，a2+b2—<r,a—,b=小,c—yja2+b2—

7（VB）2+（小）2=2小.

.RbV51

在RtZiABC中,Sin=2小=2

.*.ZB=30o,AZA=60°.

【归纳】由直角三角形中已知的元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形.

【探究2】

（1）通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目儿

个条件？如果只给两个角，可以吗？

（2）直角三角形中，除直角外有5个元素（3条边、2个锐角），知道其中的几个元素就可以

求出其余的元素？

（3）通过上面例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？

【归纳】解直角三角形有下面两种情况（其中至少有一边）：

（1）已知两条边（一直角边和斜边或两直角边）；

（2）已知一条边和一个锐角（一直角边一锐角或斜边和一锐角）.

活动三：开放训练应用举例

【例1】如图，在Rt^ABC中，ZC=90°,ZA,NB,NC所对的边分别为a,b,c,

且6=30,ZB=25°,求这个三角形的其他元素.（边长精确到1）

【方法指导】在直角三角形中，已知一边和一锐角可求其他的边或角.

解：在RtZiABC中，ZC=90°,N8=25°,

二/4=65°.

b

VsinB=-,b=30,

c

.J30

"."tan,〃=30,

.__!L_60〜乙

tanBtan25

【例2】如图，在AABC中，NA=30°,ZB=45°,AC=2小,求45的长.

【方法指导】AABC不是直角三角形，由NA=30°,ZB=45°,可作AB边上的高构

造直角三角形即可求解.

解：过点C作于点。，

二/AOC=N8QC=90°.

VZB=45°,.,.ZBCD=ZB=45°,：.CD=BD.

在RtZiACZ）中，•；/A=30°,AC=25，

：.CD=AC-sin30°AC=y[3,AD=ACcos30°=牛AC=3,

：.BD=CD=yf3,：.AB=AD+BD=3+yf3.

活动四：随堂练习

课本P17随堂练习

活动五：课堂小结与作业

【作业】课本P17习题1.5中的T|、T2、T4.

教学反思

以“会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及用锐角三角函数解直角三角形''作

为本节课的核心目标，渗透数形结合思想、分类讨论思想等，培养学生良好的学习习惯.给

学生自主探索的时间，力求在探索知识的过程中，培养学生探索能力、创新精神、合作精神，

激发学生学习数学的积极性、主动性.

5三角函数的应用

教学目标»

I.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.

2.结合实际问题，弄清方位角的概念.

3.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算.

教学重点!

体会三角函数在解决问题过程中的作用，发展学生的数学应用意识和解决问题的能力.

教学难点!

灵活将实际问题转化为数学问题，运用三角函数来解决.

教学活动!

活动一：创设情境导入新课（课件）

2015年6月1日约21时30分，一艘从南京驶往重庆的客船“东方之星”号在长江中游

沉没.出事船舶载客454人，其中内宾403人、旅行社随行工作人员5人、船员46人，12

人生还.同学们，怎样才能利用我们所学的知识来避免这样的灾难呢？本节课我们一起来探

讨这个问题.

活动二：实践探究交流新知

【探究1】

如图，海中有一个小岛A,该岛四周10nmile内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始

在A岛南偏西55°的B处，往东行驶20nmile后到达该岛的南偏西25°的C处.之后，货

轮继续往东航行.

你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗？你是怎样想的？与同伴进行交流.

【方法指导】将实际问题转化为解直角三角形问题，本题可构造直角三角形，求出A点

到BC的距离即可.

解：过点A作BC的垂线，交8c于点。，

得至RtAABD和RtAACD,

从而B£>=ADtan55°,CD=AD-tan25°,

由BD~CD=BC.

又BC=20nmile,

得4>tan55°AD-tan25°=20,

.MO心20.79nmile.

V20.79nmile>10nmile,

.••货轮没有触礁的危险.

【探究2】

如图，小明想测量塔CO的高度.他在4处仰望塔顶，测得仰角为30°,再往塔的方向

前进50m至8处，测得仰角为60°,那么该塔有多高？（小明的身高忽略不计，结果精确到

1m）

【方法指导】由。C_LBC,NDBC=60°可知，BC.设BC=xm,则DC=V3x

m,AC=(50+x)m,由sinAn-jp;,即可求出8c=x,DC=y[3x.

AC

解：在RlZ\AOC中，tan30°="，即AC=—京7

ACtan30

CDCD

在RtZ\3Z)C中，tan60°=37;,B|JBC=~/八。.

DCtan60

又9：AB=AC-BC=50m,

得丁悬丁一厂端1=50，

解得8~43.

答：该塔大约43m.

活动三：开放训练应用举例

【例题】如图，某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40。减至35°,已知原

楼梯长为4m,调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01m）

【方法指导】根据图回答下列问题：（1）若AC代表原楼梯长，则楼高、楼梯在地面上的

长度分别是什么？40。的角是哪个角？（2）在楼梯改造过程中，楼高是否发生了变化？

解：由条件可知，在RtZ\ABC中，

AB

sin400=77，即A8=4sin40°m,原楼梯占地长BC=4・cos40°m.

AC

调整后，在RtZ\AO8中，

sin35°=禁，即A£>=.4sin40°

(m),

ADsm35sin35°

।AB4sin40°

楼梯占地&DB=tan35。=tan35°(m),

4sin40°

...调整后楼梯加长4O-AC=w—4^0.48(m),

4sin40°

楼梯比原来多占亦=。…C=w—4•cos40°^0.61(m).

活动四：随堂练习

1.如图，水库大坝的截面是梯形ABC。，其中AO〃BC,坝顶A3=6m,坡长CO=8m,

坡底8c=30m,/AZ）C=135°.求NA8C的度数.

解：过A,。分别作AE_L8C,DFVBC,E,F为垂足.

在梯形4BCO中，ZADC=135°,A£)=6m,

：.ZFDC=45°,EF=AD=6m.

在RtZ\FDC中，DC=8m,DF=FC=CDsin450=4-72(m),

；.BE=BC-CF—EF=3。-4巾一6=(24—4啦)m.

在RtZ\AEB中，AE=DF=4yf2m,

tanr-=^r-^0.308,

BE24—4426r2

AZABC^17°T1".

2.如图，一灯柱48被一钢缆CD固定，CO与地面成40°夹角，且。8=5m,在点C

上方2m处加固另一条钢缆EC,那么钢缆EC的长度为多少？(结果精确到0.01m)

解：在RQCBD中,皿=40。,DB=5m,tan40。嚼,BC=O"tan40。=5tan

40°(m).

在RtZXEDB中，08=5m,BE=£C+BC^(2+5-tan400)m.

根据勾股定理，得DE=yjDB2+BG=yl52+(2+5-tan40°)2^7.96(m).

答：钢缆ED的长度约为7.96m.

活动五：课堂小结与作业

【作业】课本P21习题1.6中的T2、T3、T4.

教学反思＞

本节课的主要学习目标：结合实际情景抽象出几何图形，利用直角三角形的边角关系解

决实际问题.通过“触礁”问题的解决，引导学生分析问题，初步掌握数学建模的方法，然

后再放手让学生自主解决问题.

6利用三角函数测高

教学目标!

1.能够对仪器进行调整并能熟练运用仪器进行实地测量.

2.能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得

出符合实际的结果.

教学重点!

运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告.

教学难点!

探究测量底部不可到达的物体的高度的方法，并用字母表示结果.

教学活动!

活动一：创设情境导入新课(课件)

如图，站在离旗杆BE底部10m处的。点，目测旗杆的顶部，视线AB与水平线的夹角

N8AC为34°,并已知目高AO为1.5m.现在若按1：500的比例将AABC画在纸上，并记

为4ABC,用刻度直尺量出纸上夕C的长度，便可以算出旗杆的实际高度，你知道计算的

方法吗？

实际上，我们利用图①中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将

涉及直角三角形中的边角关系.我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系(即勾股定

理)，那么它的边与角又有什么关系？这就是本节课要探究的内容.

图①图②

活动二：实践探究交流新知

【探究1】测量倾斜角(仰角或俯角)

测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成(如图).

」--支杆

测量倾斜角的步骤：

(1)把支架竖直插入地面，使支架的中心线、铅锤线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘

的顶线PQ在水平位置.

M

E

N

(2)转动度盘，使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的读数.

测量倾斜角的原理：

VZBCA+Z£CB=90°,ZMCE+ZECB=90°,

.,./8。1=/加。£因此读出/8。4的度数，也就读出了仰角/MCE的度数.

【探究2】测量底部可以到达的物体的高度

所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之

间的距离.

如图，要测量物体MN的高度，需测量哪些数据？

测量AN及AC的长，测量仰角ZMCE.

你能说出测量物体MN的高度的一般步骤吗？需要测得的数据用字母表示.

(学生之间讨论后回答)

(1)在测点A处安置测倾器，测得M的仰角ZMCE=a.

(2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN=L

(3)量出测倾器的高度AC=a.

根据刚才测量的数据，你能求出物体何N的高度吗？说说你的理由.和同伴交流一下你

的发现.

在RtZ^MCE中，M£=£Ctana=AN-tana=I-tana,

.'.MN=ME+EN=ME+AC=ltana+a.

那么底部不可以直接到达的物体的高度如何测量呢？

【探究3】测量底部不可以直接到达的物体的高度

所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距

离.

如图，要测量物体MN的高度，可以按下列步骤进行:

(1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角ZMCE=a.

(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器(点A,3与N在一条直线上，且A,8之间的

距离可以直接测得)，测得此时M的仰角ZMDE=p.

(3)量出测倾器的高度AC=8O=“，以及测点4,B之间的距离AB=b.

根据测量数据，物体的高度计算过程如下：

"_一_ME

在中，ED=-------，

tanP

ME

在RtZ\MCE中，EC=--------.

tana

.MEME

♦：EC—ED=CD,

**tanatanB

btanatan£

•『an"tana'

btanotanB

+a.

・"tan"tan。

活动三：开放训练应用举例

【例1】如图，从地面C,。两处望山顶A,仰角分别为30°,45。.若C,。两处相距

200m,求山高4B.

【方法指导】由A2_L8C,ZADB=45°,则43=03.设AB=£>B=xm,则C8=(200

+x)m,即可求出x.

解：在RtZ\AO8中，/AOB=45°,：.AB=DB.:&.AB=DB^xm,则CB=(200+x)m.

在RtZXABC中，ZC=30°,Atan300=前，

即x=tan30°X(200+x),解得彳=100+10所.

答：山高AB是(100+10丽)m.

活动四：随堂练习

1.直升飞机在离地面2000m的上空测得上海东方明珠底部的俯角为30°,此时直升

飞机与上海东方明珠底部之间的距离是(C)

A.2000mB.2000\/3m

C.4000mD.400Mm

2.九年级(1)班的同学为了了解教学楼前一棵树生长情况，去年在教学楼前点A处测得

树顶点C的仰角为30°,树高5m,今年他们仍在原地A处测得大树。的仰角为37°,问

这棵树一年生长了多少米？(精确到0.01,参考数据：sin370弋0.6,cos37°«0.8,tan37

~0.75,小=1.732)

解：1.5m.

活动五：课堂小结与作业

【作业】课本P23习题1.7中的T1、

T2、T3.

教学反思»

通过对上节课所学知识的回顾以及问题的抛出，设计活动方案初步填写活动报告表，使

所有学生对本节课的活动从理性上有清醒的认识，明确自己在活动中的任务,室内活动为室

外活动做好了充分的准备.

第二章二次函数

1二次函数

教学目标!

I.探索并归纳二次函数的定义，能够表示简单变量之间的二次函数关系.

2.经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学

的方法描述变量之间的数量关系.

教学重点!

对二次函数概念的理解.

教学难点!

根据题意，寻找变量之间的关系.

教学活动!

活动一：创设情境导入新课(课件)

请同学们先欣赏几幅图片，如图.(教师播放课件)

在客观世界中存在很多这样的图形形状，我们把它们叫做抛物线.我们如何用数学方法

研究它、描述它呢？从本节课开始，我们就一起来研究这一问题.

活动二：实践探究交流新知

【探究1】

某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高果园

产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树能获得的阳光就会减少.根据经验估

计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子.

(1)问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？

(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙

子？

(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式.

解：(1)学生回答的角度丰富多彩，但只要合理即可；

(2)(100+%)®,(600—5x)个；

(3)y=(600-5x)(100+x)=-5/+100x+60000.

特点：含x项的最高次数为2.

【探究2】

设人民币一年定期储蓄的年利率是X,一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期

储蓄转存.如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式.

解：y=100(1+x)2=100^+200%+100.

特点：含x项的最高次数是2.

【归纳】一般地，若两个变量x,y之间的对应关系可以表示成y=or2+bx+c(a,b,c

是常数，“wO)的形式，则称y是x的二次函数.

活动三：开放训练应用举例

［例1］下列函数中，哪些是二次函数？

x~\~1

(1)丫=2。-1y+1；(2)y==;(3)s=l-2巴

(4)y=­5X2.

解：(1)(3)(4)是二次函数，(2)不是.

【例2】已知函数)，=(»1+2)小加2-2是关于x的二次函数，求机的值.

解：是x的二次函数，