高中数学新教材选择性必修第二册《4.3等比数列》全部课件

§4.3.1等比数列（1）目标定位

【学习目标】1．通过类比，理解等比数列的概念并学会简单应用．2．通过类比，掌握等比中项的概念并会应用．3．通过类比，掌握等比数列的通项公式并了解其推导过程．【重、难点】重点：等比数列的定义和通项公式.难点：等比数列与指数函数的关系.学习目标和重难点新知探究（一）等比数列的概念

等比数列的定义、通项公式的推导、等比中项、等比数列与指数函数的关系等的研究方法都与等差数列相似，你能否根据研究等差数列的方法来研究等比数列呢？请尝试完成下表.新知探究（一）等比数列的概念

等差数列等比数列定

义语言描述如果一个数列从第2项起，数列的每一项与前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示.

新知探究（一）等比数列的概念

等差数列等比数列定

义符号表示

新知探究（二）等比数列的通项公式

等差数列等比数列通项公式的推导不完全归纳法

新知探究（二）等比数列的通项公式

等差数列等比数列通项公式的推导累加法

新知探究（二）等比数列的通项公式

等差数列等比数列通项公式的推导迭代法

新知探究（二）等比数列的通项公式

等差数列等比数列通项公式的推导通项公式公差公比

新知探究

等差数列等比数列中项定义

当三个数a，A，b成等差数列时，A叫做a与b的等差中项.性质2A＝a＋b注意事项任意两个数a与b都有等差中项，且等差中项是唯一的.

当三个数a，A，b成等比数列时，A叫做a与b的等比中项.

等比数列与等差数列的概念对比典例突破例1.某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84%，这种物质的半衰期为多长(精确到1年)？(放射性物质衰变到原来的一半所需时间称为这种物质的半衰期)【解析】设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩留量是an.由条件可得数列{an}是一个等比数列．其中a1＝0.84，q＝0.84.设an＝0.5，则0.84n＝0.5.两边取对数，得nlg0.84＝lg0.5，用计算器算得n≈4.∴这种物质的半衰期大约为4年．（一）等比数列通项公式的应用典例突破【解题反思】如何求解等比数列应用题？答：求解数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列．在求解过程中应注意首项的确立，时间的推算．不要在运算中出现问题．（一）等比数列通项公式的应用典例突破

（一）等比数列通项公式的应用典例突破（二）等比数列的判定例2.根据下图中的框图，写出所打印数列的前5项，并建立数列的递推公式．这个数列是等比数列吗？

典例突破（二）等比数列的判定

【解题反思】如何判定一个数列是否为等比数列？

典例突破

（二）等比数列的判定

典例突破（三）等差比数列的项例3.一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．

典例突破【解题反思】在等比数列{an}中，如何求解a1，q，n，an中的量？答：在上述四个量中，至少要知道其中的三个量，才能求其他的量，而且求解时常常利用方程思想，通过方程组解得．（三）等比数列的项典例突破变式3.在等比数列{an}中，已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，求an.

（三）等差数列的项典例突破例4.已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7

的等比中项．

（四）等比中项的应用典例突破变式4.若a,2a＋2,3a＋3成等比数列，求实数a的值．【解析】∵a,2a＋2,3a＋3成等比数列

∴(2a＋2)2＝a(3a＋3)，解得a＝－1，或a＝－4.

当a＝－1时，2a＋2,3a＋3均为0，舍去.

∴a＝－4.（四）等比中项的应用§4.3.1等比数列（2）目标定位

【学习目标】1．结合等差数列的性质，类比出等比数列的性质．2．理解等比数列的性质．3．掌握等比数列的性质并能综合应用．【重、难点】重点：理解等比数列的性质．难点：掌握等比数列的性质并能综合应用.学习目标和重难点新知探究（一）等比数列的概念

等比数列的性质的研究方法与等差数列的性质的研究方法也是相似的，你能否根据研究等差数列也通过类比的方法来研究等比数列的性质呢？请尝试完成下表.新知探究（一）与函数的关系类比

等差数列等比数列与函数的关系图像

新知探究（一）与函数的关系类比

等差数列等比数列与函数的关系单调性

新知探究（二）性质类比

等差数列等比数列数列中的项与序号的关系性质1若m+n=p+q，则am＋an＝ap＋aq.特别地，若m+n=2p，则am＋an＝2ap.

新知探究（二）等比数列的通项公式

等差数列等比数列数列中的项与序号的关系性质2

新知探究（二）等比数列的通项公式

等差数列等比数列数列中的项与序号的关系性质3

新知探究（二）等比数列的通项公式

等差数列等比数列数列中的项与序号的关系性质4

典例突破

（一）等比数列通项公式与指数函数的关系AabAB123nO

典例突破

（一）等比数列通项公式的应用B典例突破例2.若等比数列{an}中，a3＝2，a11＝8，则a7＝________.

（二）等比数列性质的应用1

典例突破（二）等比数列性质的应用1【解题反思】等比数列{an}中，利用等比中项求某一项时，如

何确定该项的符号？答：等比数列{an}中，奇数项的符号一定相同，偶数项的符号一定相同.所以，要确定某项的符号，只需看同类的项（奇数项或偶数项）的符号.如果没有同类的项的符号，就要根据公比的正负判断.典例突破（二）等比数列性质的应用1变式2.（1）若a5＝2，a15＝8，则a10＝_____.

（2）在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，

则插入的三个数的乘积为____________．

216典例突破（三）等比数列性质的应用2

25典例突破（三）等比数列性质的应用2

典例突破（三）等比数列性质的应用2

①②⑤⑥典例突破（四）等差、等比数列的综合应用例4.有四个实数，前三个数依次成等比，它们的积是－8，后三

个数依次成等差，它们的积为－80，求出这四个数．

典例突破（四）等差、等比数列的综合应用【解题反思】当几个数成等比数列时，如何设最合适？

典例突破（四）等差、等比数列的综合应用变式4.三个互不相等的数成等差数列，如果适当排列三个数，

又可成为等比数列，这三个数的和为6，则这三个数为________．【解析】由已知，设这三个数为a－d，a，a＋d，

则a－d＋a＋a＋d＝6，解得a＝2，

∴这三个数可表示为2－d,2,2＋d，－4,2,8典例突破（四）等差、等比数列的综合应用①若2－d为等比中项，则有(2－d)2＝2(2＋d)，解之得d＝6，

或d＝0(舍去)．此时三个数为－4,2,8.②若2＋d是等比中项，则有(2＋d)2＝2(2－d)，解之得d＝－6，

或d＝0(舍去)．此时三个数为8,2，－4.③若2为等比中项，则22＝(2＋d)·(2－d)，解之得d＝0(舍)．综上可知此三数为－4,2,8.§4.3.2等比数列的前n项和目标定位

【学习目标】1．理解并掌握等比数列前n项和公式及其推导过程；2．能够应用前n项和公式解决等比数列的有关问题；3．进一步提高解方程（组）的能力，以及整体代换思想的应

用能力.【重、难点】重点：探索并掌握等差数列前n项和公式.难点：等差数列前n项和公式的推导思路的获得学习目标和重难点知识链接

新知探究

（一）等比数列的前n项和公式

新知探究

（一）等比数列的前n项和公式

新知探究问题2.若把等比数列通项公式代入上式，你会得到什么呢？（一）等比数列的前n项和公式

新知探究【获取新知】（1）等比数列前n项和公式：

_________________________________________________.

（2）上面推导等比数列前n项和公式的方法是:_____________.（一）等比数列的前n项和公式

错位相减法典例突破

（一）等比数列前n项和公式的基本运算

典例突破（一）等比数列前n项和公式的基本运算

典例突破（一）等比数列前n项和公式的基本运算

综上所述，q＝1，a3＝2或q＝－2，a3＝8.典例突破（一）等比数列前n项和公式的基本运算【解题反思】（1）等比数列前n项和公式的使用条件是什么？利用该公式解

题时，需要注意什么问题？（2）在等比数列的五个基本量a1，an，n，q，Sn中，至少要

知道几个量才能求其他的量呢？典例突破（一）等比数列前n项和公式的基本运算

典例突破（一）等比数列前n项和公式的基本运算

典例突破（二）等比数列前n项和的实际应用例2．某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今起，大约几年可使总销售量达到30000台(结果保留到个位)?典例突破（二）等比数列前n项和的实际应用

典例突破（二）等比数列前n项和的实际应用【解题反思】如何求解以等比数列为模型的应用题？答：建立数列的模型，首先要确定数列类型，然后根据题意找准首项、公比和项数或者首项、末项和项数，特别关于年份的问题，一定要找准n的取值与年份的对应．典例突破（二）等比数列前n项和的实际应用变式2.水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题．已知西部某地区有耕地3000万亩需要退耕还林，国家确定2000年在该地区退耕还林的土地面积为300万亩，以后每年退耕还林的土地面积比上一年递增20%.那么从2000年起，到哪一年该地区基本解决退耕还林问题？(计算时取log1.23＝6)典例突破（二）等比数列前n项和的实际应用

新知探究

等差数列等比数列与函数的关系公式

问题3.类比等差数列前n项和的性质，你能否得出等比数列前n项和的性质?请完成下表.一．前n项和公式与函数的关系（一）等比数列前n项和公式与函数的关系新知探究

等差数列等比数列与函数的关系与函数的关系设法

（一）等比数列前n项和公式与函数的关系新知探究

等差数列等比数列数列中的项与序号的关系性质1性质2

二．性质对比

（二）等比数列前n项和的性质典例突破（三）等比数列前n项和性质的应用例3.在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和，若S10＝10，S3