人教版八年级数学上册导学案全有答案

第一章轴对称与轴对称图形

1、1我们身边的轴对称图形

教学目标：

1、观察、感受生活中的轴对称图形，认识轴对称图形。

2、能判断一个图形就是否就是轴对称图形。

3、理解两个图形关于某条直线成轴对称的意义。

4、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。

5,理解并能应用轴对称的有关性质。

教学重点：

1、能判,谕一个图形就是否就是轴对称图形。

2、轴对称的有关性质。

点：

1、,的断一个图形就是否就是轴对称图形。

2、正确区分轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称。

教学过程：

一、情境导入

教师展示图片:五角星、脸谱、正方形、禁行标志、山水倒映等。

学生欣赏，思考:这些图形有什么特点？

二、探究新知

1、生活中有许多奇妙的对称,如从镜子里瞧到自己的像;把手掌盖在

镜子上，镜子里的手与自己的手完全重合在一起;这些都就是对称,

您还能举出例子不？

学生分组思考、讨论、交流,选代表发言。

教师巡回指导、点评。

2、动手做一做:用直尺与圆规在纸上作出一个梯形，并把纸上的梯形

剪下来，沿上底与下底的中点的连线对折，直线两旁的部分能完全

重合不？

学生活动:观察、小结特点。

3、教师给出轴对称图形的定义。

问题：

⑴“完全重合”就是什么意思？

⑵这条直线可能不经过这个图形本身不？

⑶圆的直径就是圆的对称轴不？

学生分组思考、讨论、交流，选代表发言，教师点评。

⑴指形状相同，大小相等。

⑵不能，因为这条直线必须把这个图形分成能充分重合的两部分，则必

然经过这个图形的本身。

⑶不就是，因为圆的直径就是线段，而不就是直线,应说直径所在的直线

或经过圆心的直线。

4、猜想归纳：

正三角形有几条对称轴？正方形呢？正五边形呢？正六边形呢？从

中可以得到什么结论？

学生思考、讨论、交流。

5、您还能举出生活中轴对称图形的例子不？

6、教科书第五页图1-6⑴⑵两个图，问题:想一想，每组图形中，左边

图形沿虚线对折后与右边的图形有着怎样的关系？

7、教师给出两个图形关于某条直线成轴对称的定义。

8、您还能举出生活中两个图形关于某条直线成轴对称的例子不？

思考:轴对称图形与两个图形关于某条直线成轴对称有什么异同？

学生思考、分组讨论、交流。

教师引导小结。

三、巩固反馈

1、26个英文大写字母中，就是轴对称图形的就是

2、中华民族就是一个有着五千年文明历史的古老民族,在她灿烂的文

化中，汉字就是其中一朵瑰丽的奇葩，请写出几个就是轴对称的汉字-

3、关于奥运会五环图案有下列各说法:①它不就是轴对称图形;②它就

是轴对称图形，只有一条对称轴③它就是轴对称图形，有无数条对称轴,

其中正确的就是0

从轴对称的角度,您觉得哪些图形比较独特？简要说明您的理由。

5、画出一个只有三条对称轴的轴对称图形。

2=>

ABC

D

6、上面哪一个选项的右边图形与左边图形成轴对称？

四、课堂小结

学完本节，您有什么收获？

五、作业设计

1、必做题:教科书第6页练习题「4题。

2、选做题：

EF处,折痕为KH,则与梯形

CD

A、C悌形EFGHD、梯形EFKH

平分线

教与Ft

1、XU心力I宜口U/J以、诙JU4国八'J4为、I工。

2、理解并能运用线段垂E分线的性质。

教学重点:引导学生了解有关线段垂直平分线的知识。

难点:运用线段垂直平分线的性质解决问题。

教学过程：

一、自主探索

在纸上画一条线段AB,通过对折使点A与点B重合，独立解决以下问

题：

1、将纸展开后铺平,记折痕所在的直线为MN,直线MN与线段AB的

交点为0,线段A0与B0的长度有什么关系？

2、直线MN与线段AB有怎样的位置关系？

3、由以上1、2,直线MN叫做线段AB的0

4、线段AB就是轴对称图形不？如果就是，对称轴就是什么？

5、在直线MN上任取一点P,连接PA与PB,如果把这张纸沿直线MN

对折,PA与PB重合不？

6、在直线MN上再取另一点Q,连接QA与QB,把这张纸沿直线MN

对折,QA与QB重合不？

7、由以上5、6,您有什么结论？

8、尝试用尺规作图的方法作出线段AB的垂直平分线。

二、小组合作

任意画一个三角形，用圆规与直尺作出它的三条边的垂直平分线，有什

么发现？

三、学以致用

1、点P、C、D就是线段AB的垂直平分线上的三点，分别连接PA、

PB,AC、BC,AD、BD,指出图中所有相等的线段。

2、任意画一条线段,用直尺与圆规把它四等分。

3、AB要在A、B、C三个村庄之间修一座变电站，使它

到三个村

庄的距离

相等，您能在图中找出点。的位置不？

C

四、达标反馈，当堂训练

M

MA

1、如上左图，直线MN与DE分别就是线段AB、BC的垂直平分线,

它们交于点P,请问:PA与PC相等不？

2、如上右图,AB=AC,MN垂直平分AB,若AB=6,BC=4,求4DBC的周

五、课堂小结

本节课主要学习了：

1、线段垂直平分线的知识。

2、线段的垂直平分线的点到线段两短点的距离相等。

3、利用线段的垂直平分线的点到线段两短点的距离相等解决实际问

题。

六、作业设计

3、必做题:教科书第10页习题A组1-2题,B1-2题。

4、选做题：

与BC的垂直平分线;

C

B

b）您有什么发现？

1、3角的平分线

教学目标：

1、通过折叠的方式认识角的轴对称性。

2、理解并能运用角的平分线的性质。

3、会画已知角的平分线。

教学重点:引导学生了解有关线角平分线的知识。

难点:运用角平分线的性质解决问题。：

教学过程：

一、自主探索

B

在纸上画NBAC，把它剪下来并对折，使角的两边重合，然后把纸铺平,

独立解决以下问题：

1、角就是轴对称图形不？如果就是，对称轴就是什么？

2、尝试用尺规作图的方法作出NBAC的平分线AD。

3、在AD上任取一点P,作出点P到NBAC两边的垂线段PM与PN,

垂足分别为点M与点N,如果把NBAC沿AD折叠，线段PM与PN重

合不？由此,您能得出什么结论？

4、在AD上另取另一点Q,重复上述操作，您还能得出同样的结论不？

二、小组合作

1、任意作一个锐角三角形，用直尺与圆规作出它的三条角平分线，您

有什么发现？

2、任意作一个直角三角形，用直尺与圆规作出它的三条角平分线，您

有什么发现

3、任意作一个钝角三角形，用直尺与圆规作出它的三条角平分线,

您有什么发现？

猜想结

论:_____________________________________________________________

=7学以致用

天泉农副产品集散地M位于三个村庄A、B、C之间，其位置到三条公

路AB、AC、BC的距离相等，您能找到M的位置不？

四、达标反馈，当堂训练

a）如上左图，在直角坐标系中,AD就是RtAOAB的角平分线，点

D到AB的距离就是2,求点D的坐标。

b）如上右图，若点M在NANB的角平分线上,NA=NB=90°,那

么您有怎样的结论？

若点N在NAMB的角平分线上,NA=NB=90°，那么您有怎

样的结论？

3、如上左图,ZkABC中，NA=90°,BD平分

ZABC,AD=3cm,BC=10cm,求4BDC的面积。

4,如上右图，已知NAOB与C、D两点，就是否能找到一点P,使得点P

到OA、OB的距离相等，而且P点到C、D两点的距离相等。

五、课堂小结

这节课您有哪些收获？

不、作业设置

1、必做题:教科书第12页A组、B组。

2、选做题：

铁

路

§1、4等腰三角形导学案

（泰山版八年级上册）

一、学习目标

1、经历探索等腰三角形的性质的过程，掌握等腰三角形的轴

对称性、等腰三角形“三线合一”、等腰三角形的两个底角

相等等性质。

2、经历探索等边三角形的轴对称性与内角性质的过程，掌握

这个性质，并会作出合理的说明。

3、掌握已知底边与底边上的高用尺规作等腰三角形的方法。

二、学习重点、难点

重点:等腰三角形与等边三角形的性质

难点：等腰三角形的性质的运用

三、学习过程

（-）情境导入

瓦工师傅盖房时,瞧房梁就是否水平,有时就用一块等腰三

角板放在梁上,从顶点系一重物,如果系重物的绳子正好经

过三角板底边的中点，房梁就就是水平的。为什么？您想知

道其中的奥秘不？学了本节后您将恍然大悟。

（—）自主学习

自学课本九―P|6"挑战自我"，解答下列问题：

1.我们知道等腰三角形就是轴对称图形，它底边上的高线

所在的直线式它的对称轴，那么沿着对称轴将等腰三角

形对折,对称轴两旁的部分能重合，如下图，仔细观察，

您能得到哪些结论？说说您的想法、

2.等边三角形就是轴对称图形不？它有几条知碾山？等

边三角形就是等腰三角形不？它与等腰与偏取相比有

何特别之处？/：\

3.如图，NB=NC,AB=3、6cm,贝IAC=___\

（三）合作探究/j-\

探究点一:等腰三角形的性质B；nC

例1等腰三角形中有一个角为80。、求另夕怀长的度

数、'\

总结:/\

探究点二:等边三角形的性质B（

例2试说明“等边三角形的每个内角都等于60。”

小组合作:用一张正方形的纸折出一个等边三角形、

探究点三:尺规作等腰三角形

例3已知一个等腰三角形的底边与腰,您能作出这个三

角形不？如果一直底边与底边上的高呢？

（四）练习达标

1、等腰三角形的两边长分别就是6cm、3cm,则该等腰三

角形的周长就是（）

A、9cmB、12cm

C、12cm或15cmD、15cm

2,等腰三角形的一个角为30。，则它的底角为（）

A、30°B、75°

C、30°或75°D、15°

3如图，在△ABC中，D、E就是BC边上的两点，且

AD=BD=DE=AE=CE,求NB、ZBAC的度数、

（五）课堂小结A

这一节您学会了什么？

（六）拓展提升/

1.如图所示，ZB=ZC,AD平攵/AC/BC±D,

的周长为36cm,AADC的■周位为30am,那么的长为一

cm、

BC

四.作业

§1、5成轴对称图形的性质导学案

（泰山版八年级上册）

一、学习目标

1、经历探索轴对称图形的性质的过程,理解连接对应点的线

被对称轴平分、对应线段相等、对应角相等的性质、

2、会画出与已知图形关于某条直线对称的图形、

二、学习重点、难点

重点:轴对称图形的性质

难点:利用轴对称图形的性质作对称图形

三、学习过程

（一）情景导入

同学们，今年的10月1日就是我们伟大的祖国60周岁的生

日，

全国上下正洋溢在一片欢歌笑语的海洋里，都在为母亲的生日

积极地做准备，您做了什么准备呢？不如我们现在来叠五角星

吧。您还记得怎么叠不？跟老师一起做……好了，五角星叠好

了、请同学们想一想，这种折纸叠正五角星的方法,其中隐含着

什么数学道理？

（-）自主学习

自学课本P*一一例二,完成下列问题：

1、的直线，叫做这条线段的垂直平分线、

2、成轴对称的两个图形，在大小与形状方面有怎样的关

系？您就是怎么知道的？

3、请您画出下图中点A关于直线的对称点A.、/

4、轴对称图形的对应线段、对应角有怎样的关系？/

（三）合作探究/

探究点一:成轴对称图形的性质/

要求：明确成轴对称图形的对区A•被对称摊直平分，

对应线段相等，对应角相等、/

同桌合作解决课本鼠例1、/

探究点二:运用轴对称的性质作一个图形关于某条直线的

轴对称图形、

自学例二,然后小组交流纠错、

【动手实践】画出下列图案的另一年3线是对称轴、

（四）练习达标\

利用10分钟的时间完成课本R,练习与I

（五）课堂小结/

谈谈您的收获、cN______

（六）拓展提升

1、课本B。习题A组

2、将矩形ABCD沿AE折叠,得到如图所示的图上

已知ZCED'=80°,则NAED的大小就是（）

A40°B50°C60°D80°

3、如图就D，…储、用组成的图形，请你在C画一

个小正方形：就是补命的图取一轴对称图形、

四、作业

面无称导学案

朱山版八年级卜.册）

1、结合现实生，口TUU实例，了解镜面对称及其应用，欣赏镜面对

称图形；

2、思考并探索镜面对称下图形似变缶---------------

二、学习重点、难点

重点:镜面对称及其应用

难点:镜面对称下图形的变化

三、学习过程

（一）情景导入

自远古以来，对称的形式被认为就是与谐、美丽并且真实

的、不论在自然界里还就是在建筑中，不论在艺术中还就是

在科学中，甚至最普通的日常生活用品中，对称的形式都随

处可见、山倒影在湖中，这就是多么令人难忘的对称景象、

学好对称,对我们认识图形来说就是很重要、（此处建议

老师们适当准备一些相关的图片，以激发学生的学习兴趣。）

（二）自主学习

自学课本P2I一一P必解决下列问题：

1、物体与它在镜子里的像成镜面对称，它们的大小、形状

相同不？

2、一次晚会上，主持人出了一道题目：“如何把式子

2+3=8变成一个真正的等式？"您能不？

（三）合作探究

探究点:镜面对称的原理及判断方法

认真阅读课本的“小资料”、“实验与探究”，结合自己的

生活经历，同桌互助总结镜面对称的原理、

（四）练习达标

1、课本“挑战自我”、

2、P*练习与习题A组

（五）课堂小结

说说镜面对称的原理及判别方法

（六）拓展提升

1、课本P22习题B组

2、宋代理学家邵康写有一首五言绝句：“一去二三里，烟

村四五家,楼台七八座，八九十枝花、”把这首诗写在一张纸

上,并将写字的一面平行对折镜面、在这首诗的所有字中中,

镜子中的像与原字一样的就是.

四、作业

§1、7简单的图案设计导学案

（泰山版八年级上册）

一、学习目标

1、欣赏生活中的轴对称图案,能分析它就是由哪些简单几何图形

组成的、

2、能利用简单几何图形设计轴对称图案,体验数学活动的乐趣,

培养学生的创新意识、

二、学习重点、难点

设计图案

三、学习过程

（一）情境导入

同学们都知道,我们潍坊就是一个风筝之都。同学们您放过不？

回想一下您玩的风筝的样子，在于其她同学交流一下，您会有更多的

发现。其实，这些美丽的风筝您都能设计出来，甚至有可能还要美。怎

么样，想不想自己做一个风筝？想，那就来好好的学习一下本节知识

吧。

（-）自主学习

瞧课本P25---------P26,依次解决相关问题、

（三）合作探究

利用轴对称进行简单的图案设计

（四）练习达标

课本P?5-----------P?6练习与习题、

（五）拓展提升

练习册5、6两题

（六）作业

第一章综合检测

一、选择题（每题3',共30'）

1、下列图形中一定就是轴对称的图形就是（）。

A、梯形B、直角三角形C、角D、平行四边形

2、等腰三角形的一个内角就是50°,则另外两个角的度数分别就是

（）。

A、65°65°B、50°80°C、65°65°或50°80°D、50°50°

3、如果等腰三角形的两边长就是6与3,那么它的周长就是（）0

A、9B、12C、12或15D、15

4、到三角形的三个顶点距离相等的点就是（）。

A、三条角平分线的交点B、三条中线的交点C、三条高的交点D、三

条边的垂直平分线的交点

5、等腰三角形的一个外角等于100°，则与它不相邻的两个内角的度

数分别为（）。

A、40°40°B、80°20°C、50°50°D、50°50°或80°20°

6、ZA0B的平分线上一点P到OA的距离为5,Q就是OB上任一点，则

（）。

A、PQ>5B、PQ，5C、PQ<5D、PQW5

7、下列轴对称的图形中，对称轴最少的就是（）o

A、等边三角形B、等腰梯形C、正方形D、圆

8、已知等腰AAOB的底边=8cm,且|AC-BC|=5cm,则腰AC的长为

（）。

A、13cm或3cmB、3cmC、13cmD>8cm或6cm

9、如图，在AABC中，AB=AC,ZA=36°,BD、CE分别就是NABC、ZACB

的角平分线,且相交于点F,则图中的等腰三角形有（）o

A、6个B、7个C、8个D、9个

A

A）

/\D的直线就是它的对称轴

E在的直线就是它的对称轴

c在的直线就是它的对称轴

AC交于点E,与BC交于点D,ZC=15,

乙DCU-UU,火?JZ_\CDLzJj/L/e三角形。

2、ZA0B内部有一点P,分别作出点P关于OA、0B的对称点P-R,

连接PR,分别交OA、0B、于点M、N,若PH=5cm,则△PMN的周长

为o

3、已知点P到X轴Y轴的距离分别就是2与3,且点P关于X轴对称

的点在第四象限,则点P的坐标就是。

4、等腰三角形的一腰上的高与另一腰的夹角为45°,则这个三角形的

底角为°

5、数轴上表示1与3的点分别为点A与点B,点B关于点A的对称点

为点C,则点C所表示的数就是。

6、已知点P、Q关于直线x=l对称，点P的横坐标为-2,点Q的纵坐标

就是-3,则点P的纵坐标为，点Q的横坐标就是

（）,PQ=o

7、如图，已知，D就是BC边上的一点，若AD=BD,AB=AC=CD,则N

BAC=、

8、如果4ABC与人时称，且NA=50°,/

B'=70°,那么N

9、Z\ABC中，AD为/X.于F,AB=10厘米,AC

=8厘米,AABC的B—L---------_______________。

10、AABC口0=o

三、解答题（每题IV,K）

1、如下左图,在4ABC中,BC边的垂直平分线交AC于点D,连接BD、

⑴如果CE=4,ABDC的周长为18,求BD的长。

⑵如果NADM=50°,NABD=20°,求NA的度数。

的垂直

在CA供

（系，并

）AC边

称E

作业设计答案：

1、略。2、Co

1、2

达标反馈，当堂训练答案:

1、PA=PCo2、10o3、90°o

作业设计答案:2、PA=PC

1、3

达标反馈，当堂训练答案：

1、D(2,0)o2、AM=BM;NA=NBo3、15cm2。4、略。

1、4“自主学习I”第3题AC=3、6cm

“练习达标”1、D2、C3,ZB=30°ZBAC=120°

“拓展提升"1、AD=12cm2、提示:利用三角形的外角性质

1、5“拓展提升”2、B3、开放题，答案不唯一、

1、6“拓展提升”2、一，二，三，十

第一章综合检测答案部分

一、1、C2、C3、D4、A5>D6、B7、B8^C9、CIO、D

二、1、直角2、53、P(3,2)4、62、5°或22、5°5、-16、

-3,2,47、108°8、60°9、510、90°

三、1、⑴、BD=5(2)8O°2、PA>PB3、EF±BC4、EB=DE

第二章乘法公式与因式分解

2、1平方差公式

【教学内容】：17、1平方差公式

【学习目标】：

1.记住平方差公式并会进行运用。

2.能用几何拼图的方式验证平方差公式。

【学习重点与难点】：

重点:平方差公式，平方差公式的几何拼图验证及其应用。

难点:平方差公式的几何拼图验证及其应用

［教学方法］：创设情境一自主探究一合作交流一拓展提高.

【教学准备】：多媒体课件+导学案

【导学流程】：

一、创设问题情境，引入新课。

请同学们与我一起观瞧这幅图片，它就是有一些美丽的长方

形花坛组成，如果每幅图案的长方形的长为(a+b)米，宽为(a-b)

米,它的面积为多少呢？

同学们会很快地回答为：(a+b)(a-b),那么如何计算呢？

这就是初一我们学习的内容，多项式乘以多项式。为了更好

地巩固以前学过的内容，同学们拿出我们刚发的导学案，做一下

导学案上的题目。

【温故知新】请同学们用3分钟的时间独立完成下列问题。通过计算,

您能发现它们的规律不？

⑴(x+1)(xT)=

(2)(m+2)(m-2)=

(3)(2x+l)(2x-l)=

根据大家作出的结果，您能猜想(a+6)(a—b)的结果就是多

少不？小组讨论交流，大胆猜测。

为了验证大家猜想的结果,我们再计算：

(a场(a—Z?)=a'~ab+ab—If=a'—If.

得出平方差公式

(a+8)(a—8)=€—K.

即两数与与这两数差的积等于这两个数的平方差.

引出本节课的学习内容2、1平方差公式

明确本节的学习目标。

二、自主学习一：

自学任务：

1、学生自学课本34页。

2、通过自学，能通过所计算的式子总结规律，推导公式，进而找出公

式的结构特点。

3、能够通过图形验证公式。

在学习过程中，学生互相之间探索交流,教师精讲点拨。

平方差公式：(a+b)(a—b)=a'—b'

两个数的与与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。

平方差公式结构特征：(引导学生探索归纳,大胆发言)

教师归纳概括：

①左边就是两个二项式相乘,这两个二项式中有一项完全相同，另一

项互为相反数。

②右边就是乘式中两项的平方差。即相同的平方与相反项的平方的

差。

为了更好地证明该定理的正确性,设计用动画的形式直观地说明

平方差公式的正确性。（见多媒体课

件）

你能根据下图中的面积说明平方差公式吗?

(a-b)(q+b)=a2—b2

学生观察图形,计算阴影部分的面积.经过思考可以发现：

左边图形的面积：（K8）（a—8）.

右边旋转以后的图形的面积为：3一4）.

这两部分面积应该就是相等的，即（*A）（a—6）=才一次

教师活动：

引导学生细心观察，自主探索，发现规律,进行归纳，初步感受平

方差公式.

在本活动中教师主要关注：

(1)学生能否自己主动参与探索过程；

(2)学生在交流中所投入的情感与态度.

学生活动：

为了让学生进一步理解该公式，能更好地运用该公式,我又设计

了下面的练习。(见多媒体课件)

会填会选我最棒：

1.参照平方差公式“(a+6)(a—6)=才一次”填空

(1)(t+s)(t-s)=(2)(3m+2n)(3m-2n)=

(3)(1+n)(l-n)=(4)(10+5)(10-5)=

2、判断下列式子就是否可用平方差公式。

(1)(-a+b)(a+b)(2)(-2a+b)(-2a-b)

(3)(-a+b)(a-b)(4)(a+b)(a-c)

三、自主学习二：

请同学们用5分钟的时间瞧课本35页的例1与例2、要求如下:

(1)记住利用平方差公式进行计算的方法与步骤。

(2)理解只有符合公式要求的乘法才能运用公式简化运算。其余

的运算仍按乘法法则计算。

(3)瞧完后,用8分钟的时间独立完成导学案上的1与2两题。

1、下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的就是()

A、(A+1)(1+A);B、(2x-5)(2x+5)

C、(—a+Z?)(a—Z>);D、(*—y)(x+/);

2、运用平方差公式进行计算：

(1)(3x+4)(3x-4)

(2)(3a+2b)(2b-3a)

(3)(-4x-3y)(-4x+3y)

(4)51X49

(5)(a+1)(4a-l)-(2a+l)(2a-l)

学生活动：

【合作交流】：先小组内交流，由组长公布解题步骤与答案，小组内解

决不了的问题由组长提交班内交流，如再有疑问由老师

点拨精讲。

【归纳总结】：由学生总结本节学习内容，并归纳出知识要点。以便于

同学在做题时能正确运用平方差公式、

四、知识应用

【题组训练】：(学生用8分钟时间独立完成下列题目)：

1.下面各式的计算对不对，如果不对，应当怎样改正？

⑴(x+2)(x-2)=x?-2()

(2)(-3a-2)(3a-2)=9a-4()

2、运用平方差公式进行计算：

(1)(a+3b)(a-3b)

(2)(3+2a)(-3+2a)

(3)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)

(4)58X62

(5)(m+3)(m-3)(m2+9)

五、归纳总结：

通过本节课的学习我有哪些收获？由学生总结解题步骤,不全

面的老师点拨。进一步加深对平方差公式的记忆与理解。

【达标测评】：学生用5分钟独立完成，然后同位互改试卷。

运用平方差公式计算下列公式：

1、(2x-3y)(2x+3y)

2、(_2m_5)(2m-5)

3、105X95

4、(ab+1)(ab-1)

六、应用提高、拓展创新：

【拓展提高】：运用平方差公式计算：

(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)

七、布置作业:

1、课本35页练习1题。

2、课本36页习题A组。

3、课本36页习题B组。(选作)

2.2完全平方公式(一)

【学习目标】

1、记住完全平方公式并会灵活应用。

2、能用几何拼图的形式验证完全平方公式。

【学习重点】

完全¥方公式的灵活应用。

【学习难点】

理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算.

【学习准备】

多媒体课件

【教学方法】

创设情境一自主探究一合作交流一拓展提高

【导学流程】

一、提出问题，创设情境

［师］请同学们探究下列问题：

一位老人非常喜欢孩子.每当有孩子到她家做客时，老人都要拿

出糖果招待她们.来一个孩子,老人就给这个孩子一块糖,来两个孩子,

老人就给每个孩子两块塘，…

(1)第一天有a个男孩去了老人家,老人一共给了这些孩子多少块

糖？

(2)第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩子多少块

糖？

(3)第三天这(a+b)个孩子一起去瞧老人,老人一共给了这些孩子

多少块糖？

(4)这些孩子第三天得到的糖果数与前两天她们得到的糖果总数

哪个多？多多少？为什么？

学生互相讨论交流。

［生］(1)第一天老人一共给了这些孩子£糖.

(2)第二天老人一共给了这些孩子b?糖.

(3)第三天老人一共给了这些孩子(a+b)，糖.

(4)孩子们第三天得到的糖块总数与前两天她们得到的糖块总数

比较,应用减法.即：

(a+b)2-(a2+b2)

22

我们上一节学了平方差公式即(a+b)(a-b)=a-b,现在遇到了两

个数的与的平方,这正就是我们这节课要研究的问题。

明确本节的学习目标。

计算下列各式，您能发现什么规律？

(1)(p+l)2=(p+l)(p+l)=；

(2)(m+2)2=;

⑶(pT)2=(p-D(p-D=；

(4)(m-2)2=;

(5)(a+b)2=;

(6)(a-b)2=.

学生独立尝试,大胆猜测。

二、独立探究，探索交流

自学任务：

1、自学课本36页。

2、通过自学，掌握完全平方公式的推导过程、结构特点。

3、会用几何图形解释完全平方公式。

学生自学，自学过程中小组之间互相交流。6分钟后检查自学效果。

自学检测：

］、完全平方公式文字叙述：

’两数与(或差)的平方，等于它们的平方与，加(或减)它们的积

的2倍.

符号叙述：(a+b)2=a；!+2ab+bJ(a-b)2=a2-2ab+bJ

2、从几何角度去解释完全平方差公式.

您能根据图⑴与图(2)中的面积说明完全平方公式不？

_I___________________TnDHr

图⑴图(2)

小组讨论交流，积极发言。

三、精讲点拨，提高升华

请同学们总结完全平方公式的结构特征。

公式的左边就是一个二项式的完全平方；右边就是三项，其中有

两项就是左边二项式中每一项的平方.而另一项就是左边二项式中两

项乘积的2倍。

我们还要正确理解公式中字母的广泛含义:它可以就是数字、字

母或其她代数式,只要符合公式的结构特征,就可以运用这一公式。

四、达标检测：

1、下列式子符合完全平方公式形式的就是()

A、a2+ab+b~B、a2+2a+2C、a2-2b+bJD、a2+2a+l

五、自主学习二：

1、自学课本37页、38页。

2、通过自学，会灵活应用完全平方公式进行计算。

达标检测：：

1、判断下列各式就是否正确，如果错误并加以改正：

(1)(2a-l)2=2a-2a+l;

(2)(2a+l)2=4a2+1;

(3)(―a—1)z=—a2—2a—1■>

2、应用完全平方公式计算：

(l)(4m+n)2(2)(y」)z

2

(3)(-a-b)2(4)(b-a)2

3、运用完全平方公式计算：

(1)1022(2)992

六、课堂总结：

您学会了什么？完全平方公式与平方差公式有什么区别？讨

论交流。

完全平方公式与平方差公式不同：

1、形式不同

2、结果不同：

完全平方公式的结果就是三项，

即(a±b)2=a2±2ab+bJ;

平方差公式的结果就是两项，

即(a+b)(a-b)=a2-b\

七、拓展应用：

1、计算(2a+b+c)’

2、要使x2+6x+a成为形如(x-b)2的完全平方公式,求a,b、

八、作业：

1、课本38页练习1、2、3题。

2、习题40页A组。

3、习题40页B组3、4题。(选作)

2、2乘法公式复习课

【学习目标】

1、熟记平方差公式与完全平方公式。

2、综合应用平方差公式与完全平方公式进行多项式的运算。

【重点】乘法公式的综合应用

【难点】乘法公式的综合应用

【学习准备】多媒体课件

【学习方法】自主探究学习法

【导学流程】

一、创设情境，复习引入

回顾与思考：

1、平方差公式及结构特征,应用平方差公式应注意什么问题？

2、完全平方公式及结构特征，在什么情况下可以应用？

3、练一练：

公式的学习，引出课题，明确本节的学习目标。

2、(鳏建&御町贸平为差徐或与完全平方公式的选择应用及综合应

用。22

自明佥恻H)2_〃2

1、(雁1,⑵B-5⑨?b+c)J

2、(碑,4行物&2与平总)

根据自学情况,互用讨论交流,大胆尝试。

三Q)(2展抽帔即

愉望拜竽隼探藁交流后的结果,不同小组的学生分别展示。

(a+b+c；^=L^a+b)+c]2=(a+b)2+c2+2(a+b)c=a2+b2+2ab+c2+2ac+2bc

(a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2=a2+b2+2ab-c2

四、精讲点拨：

1、平方差公式的结构特点：左边就是两个二项式的积，两个二项式中,

一项相同，另一项互为相反数;右边就是两个因式中相同项的平方减

去互为相反数的项的平方。

2、完全平方公式的结构特点:左边就是两数与或差的平方,右边就是

两个数的平方与加上(或减去)这两数乘积的2倍。

3、运用公式计算时,先将要计算的代数式写成公式的原始形式,然后

再一步步计算、

4、解题时,要认真分析题目的结构特点，合理安排运算顺序,灵活运用

公式，可使解题时快速、简洁。

五、达标测评：

1、下列等式就是否成立？说明理由.

(1)(-4a+l)J(l-4a尸；

(2)(-4a-l)2=(4a+l)2;

(3)(4a-1)(l-4a)=(4a-1)(4a-1)=(4a-l)2：

(4)(4a-l)(-l-4a)=(4a-l)(4a+l)>

2、指出下列各式中的错误,并加以改正：

(1)(2a-l)2=2a-2a+l;

(2)(2a+l)2=4a2+1;

(3)(-a-l)2=-a-2a-l,

3、计算：

(1)98X102

(2)2004-2003X2005

(3)若x2-y2=12,x+y=6,求x,y的值。

六、课堂小结:引导学生对本节知识进行总结。

七、拓展提高：

1、回答下列问题：

⑴a'+b?加上什么式子可以得到(a+bT?

(2)a2+b2加上什么式子可以得到(a-b)”

⑶a?+ab+b2加上什么式子可以得到泰-川?

2、已知(a+b)"=l,(a-b)2=25,求a2+bJ+ab的值、

八、布置作业：

1、课本40页练习1、2题。

2、课本40页习题B组1、2题。(选作)

2、3用提公因式法进行因式分解

【学习目标】

1、掌握因式分解、公因式的定义，能够透彻理解。

2、会用提公因式法分解因式。

3、在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维,渗透化归

的思想方法.

【学习重点】

会用提公因式法分解因式

【学习难点】

如何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式

【教学准备】

多媒体课件

【学习方法】自主探究学习法

【导学流程】

一、提出问题，创设情境

［师］请同学们完成下列计算,瞧谁算得又准又快。

(D20X(-3)2+60X(-3)

(2)101-992

(3)572+2X57X43+432

(学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式)

［师］在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积,或者逆

用乘法公式使运算变得简单易行,类似地,在式的变形中，有时也需

要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就就是我们从今天开

始要探究的内容——因式分解。引入新课，同时明确本节的学习目

标。

二、自主学习：

自学任务：

1、学生自学课本41页。

2、通过自学，明确因式分解的定义，公因式的定义。

学生自学,分析讨论，探究新知.

把下列多项式写成整式的乘积的形式

(1)x2+x=_________

(2)x2-l=

(3)am+bm+cm=

［生］根据整式乘法与逆向思维原理,可以做如下计算：

(l)x2+x=x(x+l)

(2)X2-1=(X+1)(X-1)

(3)am+bm+cm=m(a+b+c)

三、精讲点拨：

教师精讲点拨因式分解的定义。

像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个

多项式因式分解,也叫把这个多项式分解因式.

可以瞧出因式分解就是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆

向思维.

再观察上面的第(1)题与第(3)题,您能发现什么特点.

［生］我发现⑴中各项都有一个公共的因式x,(2)中各项都有一

个公共因式m,就是不就是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因

式呢？

［师］您分析得合情合理.

因为ma+mb+mc=m(a+b+c).

于就是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，•其中一个因

式就是各项的公因式m,另一个因式a+b+c就是ma+mb+mc除以m所得

的商，•像这种分解因式的方法叫做提公因式法.

四、应用检测：

1、把8a3b2-12ab3c分解因式.

2、把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.

3、把3x3-6xy+x分解因式.

4、把-4a：'+16a2T8a分解因式.

5、把6(x-2)+x(2-x)分解因式.

(让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流

解题心得，•教师深入到学生中去发现问题,并对有困难的学生进行适

时的引导与启发，最后师生共同评析、总结)

1、解：8a*b'+l2ab2c=4ab'•2a2+4ab2,3bc=4ab2(2a2+3bc).

总结:提取公因式后，要满足另一个因式不再有公因式才行.可以

概括为一句话:括号里面分到“底”，这里的底就是不能再分解为止.

2、解：2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).

总结:公因式可以就是单项式,也可以就是多项式,就是多项式时应整

体考虑直接提出.

3、解：3x?-6xy+x=x,3x-x,6y+x,l=x(3x-6y+l).

总结：1作为项的系数，通常可以省略，•但如果单独成一项时，它

在因式分解时不能漏掉,可以概括为:某项提出莫漏1.

4、解:位+⑶2T8a

=-(4a'!-16a~+18a)

=~2a(2aJ8a+9)

注意:如果多项式的第一项的系数就是负的，一般要提出“一”号,

使括号内的第一项的系数就是正的.在提出“一”号时，多项式的各项

都要变号.可以用一句话概括:首项有负常提负.

5、解：6(x-2)+x(2-x)

=6(x-2)-x(x-2)

=(x-2)(6-x).

总结：有时多项式的各项从表面上瞧没有公因式，但将其中一些

项变形后，•但可以发现公因式,然后再提取公因式.

五、课堂小结：

今天我们学习了提公因式法分解因式.同学们在理解的基础上，

可以用四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧.

各项有“公”先提“公”，

首项有负常提负.

某项提出莫漏1.

括号里面分到“底”.引导学生归纳。

六、拓展提高：

3?。。一4x3侬+10x3原就是7的倍数不？为什么？

七、布置作业：

1、课本42页练习。

2、课本42页习题A组1、2、3题。(3题选作)

2、4用公式法进行因式分解(一)

【学习目标】

1.能说出平方差公式的特点。

2.能较熟练地应用平方差公式分解因式。

【重点］

冒用平方差公式分解因式。

【难点】

灵活应用公式与提公因式法分解因式,并理解因式分解的要求.

【教学准备】多媒体课件

【教学方法】自主探究学习法

【导学流程】

一、提出问题，创设情境

出示投影片,让学生思考下列问题.

问题1：您能叙述多项式因式分解的定义不？

问题2:运用提公因式法分解因式的步骤就是什么？

问题3:您能将aM?分解因式不？您就是如何思考的？

二、学生自学，尝试探究

自学任务：

1、自学课本43页与44页的例1、

2、通过自学,掌握因式分解的平方差公式的结构特点。

3、会应用平方差公式进行多项式的因式分解。

结合提出的问题，学生自学。教师进行适当的点拨指导。

说明：

1.多项式的因式分解其实就是整式乘法的逆用，•也就就是把一

个多项式化成了几个整式的积的形式.

2.提公因式法的第一步就是观察多项式各项就是否有公因式,如

果没有公因式，•就不能使用提公因式法对该多项式进行因式分解.

3.对不能使用提公因式法分解因式的多项式,不能说不能进行因

式分解.

4、要将常f2进行因式分解，可以发现它没有公因式，•不能用提

公因式法分解因式,但我们还可以发现这个多项式就是两个数的平方

差形式,所以用平方差公式可以写成如下形式：

a2-b2=(a+b)(a-b).

多项式的乘法公式的逆向应用，就就是多项式的因式分解公式,

如果被分解的多项式符合公式的条件，就可以直接写出因式分解的结

果,这种分解因式的方法称为运用公式法。今天我们就来学习利用平

方差公式分解因式,明确本节的学习目标。

自学检测，展示反馈：

1、观察平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b)的项、指数、符号有什么特点？

(让学生分析、讨论、总结，最后得出下列结论)

2、填空：

⑴4a2=()2;

⑵产(产；

(3)0、16a'=()2;

(4)1、21a廿=()2;

⑸2"=(产；

4

(6)5*=(

［做以上填空题的作用在于训练学生迅速地把一个单项式写成平

方的形式.•也可以对积的乘方、累的乘方运算法则给予一定时间的复

习，避免出现4a2=(4a)2•这一类错误］

3、分解因式

⑴4x?-9(2)(x+p)2-(x+q)

三、教师精讲，达标检测

因式分解的平方差公式的结构特点：

(1)左边就是二项式,每项都就是平方的形式,两项的符号相反.

(2)右边就是两个多项式的积，一个因式就是两数的与，另一个因

式就是这两数的差.

在乘法公式中，“平方差”就是计算结果,而在分解因式,•“平方

差”就是得分解因式的多项式.

由此可知如果多项式就是两数差的形式,并且这两个数又都可以

写成平方的形式,那么这个多项式可以运用平方差公式分解因式.

达标检测：

1、把下列各式分解因式

(l)36(x+y)2-49(x-y)2

(2)(x-l)+b2(l-x)

(3)(x2+x+l)2-l

(4)(二一「)2_(X+y)2

44,

2、分解因式

(l)x'-y'(2)a3b-ab

解：⑴xW

=(x2+y2)(x2-y2)

=(x2+y2)(x+y)(x-y).X

(2)a'b-ab=ab(a2-l)=ab(a+1)(a-l).

学生解题中可能发生如下错误：

(1)系数变形时计算错误；

(2)结果不化简；

(3)化简时去括号发生符号错误.

最后教师归纳：

(1)多项式分解因式的结果要化简：

(2)在化简过程中要正确应用去括号法则，并注意合并同类项。

四、课堂小结：

引导学生总结本节的学习内容，强调注意的问题。

1.如果多项式各项含有公因式,则第一步就是提出这个公因式。

2.如果多项式各项没有公因式,则第一步考虑用公式分解因式。

3.第一步分解因式以后,所含的多项式还可以继续分解，•则需要

进一步分解因式,直到每个多项式因式都不能分解为止。

五、拓展提高：

给出下列算式，

32-12=8X1,52-32=16=8X2,7-52=24=8X3,92-72=32=8X4,—

(1)观察上面一系列式子您能发现什么规律？用含n的式子表示出来。

(2)根据您发现的规律,求20092-2007?的值。

六、课后作业

1.课本44页练习1题。

2、课本46页习题A组1、4题。(4题选作)

2.预习“用完全平方公式分解因式”。

2、4用公式法进行因式分解(二)

【学习目标】

1、理解完全平方公式的结构特点。

2、能较熟悉地运用完全平方公式分解因式。

3、能灵活应用提公因式法、公式法分解因式。

4、通过综合运用提公因式法，完全平方公式分解因式，进一步培

养学生的观察与联想能力.通过知识结构图培养学生归纳总

结的能力.

【重点】

用完全平方公式分解因式.

【难点】

灵活应用完全平方公式分解因式.

【教学方法】自主探究合作学习法

【学习准备】多媒体课件

【导学流程】

一、提出问题，创设情境

问题1：根据学习用平方差公式分解因式的经验与方法，•分析与

推测什么叫做运用完全平方公式分解因式？能够用完全平方公式分

解因式的多项式具有什么特点？

问题2:把下列各式分解因式.

(1)aJ+2ab+b'

(2)a2-2ab+b2

引入本节的课题,明确本节的学习目标。

二、学生自学，独立探究

自学任务：

1、自学课本43页、44页例2。

2、通过自学，掌握因式分解的完全平方公式的结构特点。

3、会应用完全平方公式把多项式因式分解。

自学检测：

1、因式分解的完全平方公式的表述：

两个数的平方与，加上(或减去)这两数的积的2倍，•等于这两

个数的与(或差)的平方.

2、完全平方公式的符号表示.

即:a2+2ab+b2=(a+b)",a2-2ab+b2=(a-b)\

3、下列各式就是不就是完全平方式？

(1)aJ-4a+4

(2)x2+4x+4y2

(3)4a2+2ab+—b'

4

(4)a2-ab+b2

(5)x-6x-9

(6)a2+a+0,25

(放手让学生讨论,达到熟悉公式结构特征的目的)。

4,把3题中就是完全平方式的进行因式分解。

结