思想专题之数形结合（1）-沪教版（上海）高中数学2019-2020学年高三数学二轮复习教案（教育机构专用）

沪教版（上海）高中数学2019-2020学年度高三数学二轮复习思想专题之数形结合思想①教学目标认识一些常见的数形结合题目的类型，并能熟练掌握用数形结合思想解决有关函数、方程、不等式、数列及解析几何问题【解读：数形结合题型往往更多的出现在选择、填空题中，要求学生掌握一些常见的数形结合的题型，并且掌握用数形结合的方法去解决这些有关函数、方程、不等式、数列及解析几何的问题】知识梳理数形结合思想：所谓的数形结合，就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”，寻找解题思路，使问题得到解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想常用来解决的一些问题有哪些？答：1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；2．构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；3．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；4．构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；5．构建立体几何模型研究代数问题；6．构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题；7．构建方程模型，求根的个数；8．研究图形的形状、位置关系、性质等。【解读：在讲解此块内容时，可以让学生自己回忆一些曾经做过的数形结合类的题目，并且询问学生是如何解决的，同时一起回顾在用数形结合思想中所要用到的一些数学公式和定理，巩固学生的数学基础知识；对于这部分内容学生一般是回答不完整的，对于学生没有想到的可以在讲解完本专题之后，再由老师和学生一起把它补充完整】典例精讲（★★）若关于的方程的两根都在和之间，求的取值范围。分析：令，其图像与轴交点的横坐标就是方程的解，由的图像可知，要使两根都在和之间，只需同时成立，解得，故【一元二次方程根的分布问题是最基本的用数形结合思想来解决的题目类型，在讲解此类问题时一定要讲解的详细，注意总结如何通过函数图像来分析此类问题，并转化成等价的不等式问题】（★★）已知，则方程的实根个数为（）个个个个分析：判断方程的根的个数就是判断函数图像与的交点个数，画出两个函数的图像，易知两图像只有两个交点，故方程有两个实数根，选【求根的个数问题也是高考常考的一种题目类型，在讲解这个问题时，一定要帮助学生回顾常见的函数图像的画法，只有把函数图像画对了才能继续往下做】例3.（★★）如果实数满足则的最大值为（）分析：等式有明显的几何意义，它表示坐标平面上的一个圆，圆心为，半径为（如图），而则表示圆上的点与坐标原点的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点在以为圆心，以为半径的圆上移动，求直线的斜率的最大值，由图可见，当在第一象限，且与圆相切时，的斜率最大，经简单计算，得最大值为【此题是一个典型的数形结合思想在解析几何问题中的应用，如果等式、代数式的结构蕴含着明显的几何特征，就要考虑用数形结合的思想方法来解题，即所谓的几何法求解，比较常用的有：两点连线的斜率；两点之间的距离；为直角三角形的三边对于这类问题一定要帮助学生回顾这些公式，并掌握如何使用】例4.（★★）已知直线与曲线恰有一个公共点，求的取值范围。分析：曲线是单位圆的右半圆，是直线在轴上的截距。（如图）由数形结合易知：直线与曲线相切时，，由图形并结合题意可得：或【求参数的取值范围问题一直是考试常考的题型，此类问题一定要注意图像画的要准确，同时要考虑的全面，注意极端位置的取舍】课堂检测（★★）已知方程有个根，则实数的取值范围。解：作出抛物线的图像，将轴下方的图像沿轴翻折上去，得到的图像，再作直线，如图所示：由图像易知当时，两函数图像有4个交点，故（★★）方程的根的个数（）个个个个分析：分别作出两个函数图像，易知有个交点3.（★★）求函数的值域。分析：利用斜率公式转化成两点的斜率问题，作出图像易知：这就是函数的值域（★★）函数与的图像恰有两个公共点，则实数的取值范围是（）分析：画出的图象情形1：情形2：5.（★★）方程的实根个数为（）个个个个分析：在同一个坐标系下画出与的图象。由图象观察可知，两函数图象只有一个交点。回顾总结常见的应用数形结合思想的题目