第二章 一元二次函数、方程和不等式 尖子生必刷卷 - 2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章一元二次函数、方程和不等式尖子生必刷卷一、单选题。本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题意。1．已知，则的最大值是（）A． B． C．0 D．2．已知a，b∈R，a+b＝2.则的最大值为（）A．1 B． C． D．23．已知，，且，则的最大值为（）A．2 B． C． D．4．设集合，，，，其中，下列说法正确的是A．对任意，是的子集，对任意，不是的子集B．对任意，是的子集，存在，使得是的子集C．对任意，使得不是的子集，对任意，不是的子集D．对任意，使得不是的子集，存在，使得不是的子集5．若、、均大于0，且，则的最大值为（）A． B． C． D．6．已知正实数，，若，，则的取值范围是A． B．C． D．7．已知实数满足，则的最大值为A．1 B．2 C．3 D．48．集合，且、、恰有一个成立，若且,则下列选项正确的是A．, B．,C．, D．,二、多选题。本大题共4小题，每小题5分，共20分，每小题有两项或以上符合题意。9．下列关于基本不等式的说法正确的是（）A．若，则的最大值为B．函数的最小值为2C．已知，，，则的最小值为D．若正数数x，y满足，则的最小值是310．已知，则的值可能是A． B． C． D．11．关于x的一元二次不等式x2-6x+a≤0(a∈Z)的解集中有且仅有3个整数，则a的取值可以是（）A．6 B．7 C．8 D．912．《几个原本》中的几何代数法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理成定理都能够通过图形实现证明，也称为无字证明.现有图形如图所示，为线段上的点，且，，为的中点，以为直径作半圆，过点作的垂线交半圆于，连接，，，过点作的垂线，垂足为，则该图形可以完成的无字证明有（）A． B．C． D．三、填空题。本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，，则的最小值为___________.14．已知正数，满足，则的最小值是____.15．已知，且，则的最小值是_________.16．设关于x的不等式，只有有限个整数解，且0是其中一个解，则全部不等式的整数解的和为____________四、解答题。本大题共6小题，共70分，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。17．设关于的不等式和的解集分别为和.（1）求集合；（2）是否存在实数，使得？如果存在，求出的值，如果不存在，请说明理由；（3）若，求实数的取值范围.18．已知9x2+y2+4xy=10.（1）分别求xy和3x+y的最大值；（2）求9x2+y2的最小值和最大值.19．对在直角坐标系的第一象限内的任意两点，作如下定义：，那么称点是点的“上位点”，同时点是点的“下位点”.（1）试写出点的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；（2）设、、、均为正数，且点是点的上位点，请判断点是否既是点的“下位点”又是点的“上位点”，如果是请证明，如果不是请说明理由；（3）设正整数满足以下条件：对任意实数，总存在，使得点既是点的“下位点”，又是点的“上位点”，求正整数的最小值.20．已知正实数x，y满足．（1）求xy的最大值；（2）若不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．(1)已知a，b均为正数，且，求证：(2)已知正数x，y满足，求的最小值及的最小值.22．已知函数，其中.（1）若，对任意，都有，且存在实数，使得，求实数的取值范围.参考答案1．A【解析】令，等号在时取到．故选：A2．C【解析】解：a，b∈R，a+b＝2.则+＝＝＝＝，令t＝ab﹣1＝a（2﹣a）﹣1＝﹣（a﹣1）2≤0，则＝，令4﹣2t＝s（s≥4），即t＝，可得＝＝，由s+≥2＝8，当且仅当s＝4，t＝2﹣2时上式取得等号，可得≤＝，则+的最大值为，故选：C.3．C【解析】，，配凑得：，两边同时除以4得：，即，令，，则，，，所以（当且仅当即时，等号成立）.故选：C.4．B【解析】解对于集合，，可得当即可得，即有，可得对任意，是的子集；当时，，可得是的子集；当时，，可得不是的子集；综上可得，对任意，是的子集，存在，使得是的子集.故选：5．C【解析】解：、、均大于0,当且仅当时取“=”,的最大值为.故选:C6．A【解析】由，得，化简得，解得，即的取值范围为，故选A7．B【解析】原式可化为：，解得，当且仅当时成立．所以选B.8．B【解析】从集合的定义，，可知满足不等关系且，或且，或且，或且，这样可能有或或或，于是，，选B．9．AC【解析】因为，所以，，当且仅当即时，等号成立，故A正确；函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.故选：AC10．CD【解析】由，得，则且.当时,==.当且仅当即时取等号.当时,==.当且仅当即时取等号.综上，.故选：CD.11．ABC【解析】函数f(x)=x2-6x+a的图象对称轴为x=3，即在x=3时函数f(x)取得最小值，依题意，不等式f(x)≤0的解集中有且仅有3个整数，则这三个整数必为2，3，4，即2，4在不等式的解集中，1，5不在解集中，于是得，解得，而a∈Z，则a=6或a=7或a=8，所以a的取值可以是6或7或8.故选：ABC12．AC【解析】解：根据图形，利用射影定理得：，又，，所以由于，所以．由于，所以．故选：．13．【解析】因为，，，所以，由得，，则，所以，，当且仅当，即，时取等号，则的最小值为，故答案为：.14．【解析】因为，则，设，则，由，当且仅当即时等号成立，由即，解得：或（舍）所以，的最小值是，故答案为：.15．4【解析】由已知可得，，当且仅当时，等号成立.16．【解析】设，其图象为抛物线，对于任意一个给定的值其抛物线只有在开口向下的情况下才能满足而整数解只有有限个，所以，因为0为其中一个解可以求得，又，所以或，则不等式为和，可分别求得和，因为位整数，所以和，所以全部不等式的整数解的和为.故答案为：.17．（1）或；（2）不存在；理由见解析；（3）.【解析】解：（1）不等式可化为，解得或，所以不等式的解集为或；（2）当时，不等式化为，此时不等式无解，当时，，不等式的解集为，当时，，不等式的解集为，当时，，不等式化为，此时不等式无解，当时，，不等式的解集为，综上所述：当或时，，当或时，，当时，，要使，当时，，，或，无解，当时，，，，，无解，故不存在实数，使得．（3），当时，，或，即，解得或，此时实数的取值范围是，，，当时，或，即，解得，18．（1）的最大值为1，的最大值为；（2）最小值为6，最大值为30【解析】（1）因为，所以，因为，故，所以，当且仅当或时等号成立，故的最大值为1.又，而，所以，故，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为.（2）由题设有，因为，故，整理得到，当且仅当或时等号成立.故的最小值为6.又，故，故，当且仅当或时等号成立.故的最大值为30.19．（1）一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为（答案不唯一，符合题意即可）；（2）是，证明见解析；（3）.【解析】（1）由题意点的一个“上位点”的坐标为，一个“下位点”的坐标为；（2）是，证明如下：点是点的“上位点”，，，，，点是点的“下位点”，，点是点的“上位点”；点既是点的“下位点”又是点的“上位点”；（3）若正整数满足条件：在时恒成立，由（2）中的结论可知，，时满足条件，若，由于存在的情况，则不恒成立，因此，的最小值为.分析问题和解决问题的能力，属于中档题.20．（1）；（2）.【解析】（1），解得，当且仅当，取等号，∴