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文档简介
第4讲基本不等式第4讲基本不等式知识梳理与应用主要考察一:三角不等式的应用对任意实数、有,当且仅当时等号成立.基础:应用三角不等式求最值【例1】(2020·上海高三专题练习)★★☆☆☆对于实数,,若,,则的最大值为().A.5 B.4 C.8 D.7【答案】A【解析】由题意得,|x-2y+1|=|(x-1)-2(y-1)|≤|x-1|+|2(y-2)+2|≤1+2|y-2|+2≤5,即|x-2y+1|的最大值为5.进阶:应用三角不等式解决不等式恒成立(或有解)问题【例2】(2020·上海市南洋模范中学高一月考)★★★☆☆为实数,且有解,则的取值范围是().A. B. C. D.【答案】C【详解】有解,只需大于的最小值,,所以,有解.故选C.【例3】(2020·上海市新场中学高一期中)★★★☆☆对,若恒成立,则的取值范围是_______________.【答案】【详解】因为恒成立,所以,因为,所以.故答案为:【练习】1、(2021·上海杨浦区高一期末)★★☆☆☆函数的最小值等于__________.【答案】4【详解】因为,当时,取等号,所以的最小值为4故答案为:4【练习】2、(2018·上海市七宝中学高一月考)★★★☆☆已知关于的不等式有解,则实数的取值范围是________.【答案】【详解】因为,又关于的不等式有解,所以故答案为【练习】3、(2021·上海中学高一)★★★☆☆不等式对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围.【答案】或【详解】因为,当且仅当时取等号,即当时取等号,所以最小值是,要想不等式对一切实数x恒成立,只需,解得或.
主要考察二:应用平均值不等式求最值平均值不等式:对于任意的正数,有,且等号当且仅当时成立.常用不等式:对于任意,有,当且仅当时等号成立.基础:直接型【例4】(2021·上海市川沙中学高一期末)★☆☆☆☆已知,则的最小值为_______________.【答案】2【详解】,,当且仅当时,取“”,以的最小值为2,进阶1:凑配型【例5】(2017·上海市宝山中学高一期中)★★☆☆☆已知,则的最小值是_________.【答案】5.【详解】因为,所以,所以,当且仅当,即时等号成立,故答案为:.【例6】(2020·上海市洋泾中学高一期中)★★★☆☆当时,的最小值为______.【答案】【详解】当时,,当且仅当时等号成立.进阶2:“1的妙用”【例7】(2021·上海长宁区高一期末)★★★☆☆设a、b都为正数,且,则的最小值为________.【答案】1【详解】因为a、b都为正数,所以有:,当且仅当时取等号,即时取等号,故答案为:.【例8】(2021·上海市奉贤高三二模)★★★★☆已知,且.式子的最小值是___________.【答案】2【详解】令,,则,且,∴,∴,当且仅当取等号,即时成立.故答案为:2【例9】(2020·上海高一专题练习)★★★☆☆非零实数、、满足,则的最小值是________.【答案】9【详解】依题意,且,.当且仅当时等号成立.故答案为:【例10】(2018·上海格致中学高一期中)★★★☆☆已知正数、满足:,则的最小值为____________.【答案】【详解】由可得,,当且仅当时,等号成立,所以的最小值为.故答案为:【练习】(2021·辽宁沈阳市·高三一模)★★★☆☆已知,则的最小值为__________.【答案】16【详解】因为,当且仅当,即时等号成立,所以的最小值为16.进阶3:和积共存等式,求最值【例11】(2020·华东师范大学第一附属中学高一期中)★★★☆☆已知正数x,y满足,则的取值范围为____________.【答案】【详解】化简得:因为:,由均值不等式得:,令,则.化简得解得或(舍去),所以的取值范围为.故答案为:.【例12】(2017·上海市进才中学高一期中)★★★☆☆若a,,,则的最大值为______.【答案】18.【详解】因为a,,所以,而,所以有,于是有,所以的最大值为18.【练习】(2019·上海中学高三开学考试)★★★☆☆已知正实数,满足,则的最小值为_____.【答案】【详解】试题分析:因为为正实数,且,设,则代入已知式得,整理得,关于的方程有解,所以,解之得:或,又因为,所以,即的最小值为.考点:方程与不等式.*平均值不等式的拓展1、三元算术-几何平均值不等式对于任意的正数,有,且等号当且仅当时成立.【例13】(编者精选)★★★★★设,求证:.【详解】【练习】(编者精选)★★★☆☆设,且,则的最小值是__________.【答案】3【详解】,当且仅当时等号成立.2、平均值不等式平均值不等式:对于任意的正数,有,且等号当且仅当时成立.其中,分别叫做这两个数的平方平均值和调和平均值.【例14】(编者精选)★★★☆☆设,已知,则的最小值为__________.【答案】32【详解】即,所以由得,当且仅当时等号成立.1、(2020·上海曹杨二中高一月考)★★★☆☆若满足,则的最小值是___________.【答案】【详解】由满足,可得,则,当且仅当时,即时等
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