2024北京海淀区高三一模数学试题及答案

2024北京海淀高三一模数学本试卷共9页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。1.已知全集U=−，集合A=x−1x，则CA=x2x2UA.(B.[C.(D.[2.若复数z满足iz=1+i，则z的共轭复数z=A.1+iB.1−iC.1+iD.1−i==3.已知a为等差数列，Sn为其前n项和.若12a2，公差d0，Sm0，则m的值为nA.4B.5C.6D.74.已知向量a,b满足|a=2，b=(2,0)，且|a+b=2，则a,b=ππππA.B.C.D.6336x22y225.若双曲线−=1ab0)上的一点到焦点(−5,0)的距离比到焦点(5,0)的距离大b，则该双曲ab线的方程为x2x2y2y2A.−y2=1B.−y2=1C.x2−=1D.x2−=142246.设,是两个不同的平面，l,m是两条直线，且m，l⊥.l⊥”是“m//”的A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件30x,x7.已知f(x)=lg(x+x0，函数f(x)的零点个数为m，过点(0,2)与曲线y=f(x)相切的直线的条数为n，则,n的值分别为A.B.1,2C.D.2,28.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边在第三象限.则A.sin−costanC.sincostanB.sin−costanD.sincostan9.函数f(x)是定义在(−4)上的偶函数，其图象如图所示，第1页/共4页f=0.设f(x)是f(x)的导函数，则关于x的不等式f(xf(x)0的解集是+A.2]B.[0]4)C.(0]D.(0]10.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种黏菌的繁殖轨迹，如图1.通过观察发现，该黏菌繁殖符合如下规律：①黏菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：黏菌从圆形培养皿的中心O开始，沿直线繁殖到A，然后分叉向A与A方向继续繁殖，其中112122AAA=60AA1121AA1122关于11，且与所在直线对称，2111221AA=AA=,.若=，为保证黏菌在繁殖过程中不会碰到培1121112211112养皿壁，则培养皿的半径r(rN*,cm)至少为A.6B.7C.8D.9第二部分（非选择题共分）二、填空题共5小题，每小题525分。a已知=2，则a2−b=_________.2b12.已知13.若(x−2)=a4x2+y2=3，线段是过点的弦，则|AB|的最小值为_________.1+a344+3x3+a2x2+ax+a，则a=_________；=_________.100++024π514.已知函数f(x)=sin(x+)sin2x，则f(π)=_________；函数f(x)的图象的一个对称中心的坐标为44_________.15.已知函数f(x)=3x−x，给出下列四个结论：①函数f(x)是奇函数；Rk0②k，且，关于的方程xf(x)−=0恰有两个不相等的实数根；11③已知P是曲线yf(x)上任意一点，=(−,0)，则|AP；22④设M(x,y)为曲线yf(x)上一点，=N(x,y)为曲线y=−f(x)上一点.若|x+x=1|1，则.112212其中所有正确结论的序号是_________.第2页/共4页三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。16.（本小题13分）在△ABC中，bsinC+cB=2c.（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若a23，=b+c=4，求△ABC的面积.17.（本小题14分）如图，在四棱锥P中，−//，M为BP的中点，AM//平面CDP.（Ⅰ）求证：2；=（Ⅱ）若，选择一个作为已知，使四棱锥P存在且唯一确定.⊥===CD=1，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中−（ⅰ）求证：平面⊥；（ⅱ）设平面CDP平面BAPl，求二面角=C−l−B的余弦值.条件①：；=条件②：；⊥条件③：CBM=CPM.注：如果选择的条件不符合要求，第（ⅰ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题13分）某学校为提升学生的科学素养，要求所有学生在学年中完成规定的学习任务，并获得相应过程性积分.现从该校随机抽取名学生，获得其科普测试成绩（百分制，且均为整数）及相应过程性积分数据，整理如下表：科普测试成绩x90x10080x9070x8060x700x科普过程性积分人数10a43210b232（Ⅰ）当a35时，=（ⅰ）从该校随机抽取一名学生，估计这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率；（Ⅱ）从该校科普测试成绩不低于80分的学生中随机抽取2名，记X为这2名学生的科普过程性积分之和，估计X的数学期望E(X)；（Ⅱ）从该校科普过程性积分不高于1分的学生中随机抽取一名，其科普测试成绩记为1，上述名学生科普测试成绩的平均值记为2.若根据表中信息能推断YY恒成立，直接写出的最小值a.12第3页/共4页19.（本小题15分）已知椭圆G:x+222=m的离心率为，A,A分别是G的左、右顶点，F是G的右焦点.122（Ⅰ）求m的值及点F的坐标；（Ⅱ）设P是椭圆G上异于顶点的动点，点Q在直线x2上，且=⊥，直线与轴交于点M.比x较||与||||的大小122.20.（本小题15分）已知函数f(x)=ea−12x.（Ⅰ）求f(x)的单调区间；（Ⅱ）若函数g(x)|f(x)e−=+2a|，x(0,+)存在最大值，求a的取值范围.21.（本小题15分）已知Q:a,a,(mmN)为有穷正整数数列，其最大项的值为m，*12且当k=时，均有km+ikm+jijm)设b=0，对于t0.，t，其中，minM表示数集M中最小的数.定义t1nni,n=（Ⅰ）若Q:2,3，写出b,b的值；13（Ⅱ）若存在Q满足：b2311，求的最小值；++=m1（Ⅲ）当m2024时，证明：对所有=Q，b202320240.第4页/共4页20232024学年第二学期期中练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题440分）（1D（6A（2A（7B（3B（8C（4C（9D（D（C二、填空题（共5小题，每小题525分）（）4（13）12）24041π14）1(,（答案不唯一）4（15）②③④三、解答题（共6小题，共85分）（16共13abc解：（Ⅰ）由正弦定理及bsinCccosB2csinAsinBsinCsinBsinC3sinCB2sinC.sinC0.因为Cπ)，所以所以sinB3B2.π所以sin(B)1.3因为B(0,)，πππ所以B，即B.326a2c2b23（Ⅱ）由余弦定理得B.2因为a23，所以c2b2c.因为b所以cc4，2.1所以△ABC的面积为acsinB3.2（17共14解：（Ⅰ）取的中点N，连接，ND.P因为M为的中点，1所以，.M2N因为，ABD所以.所以M，N，D，A四点共面.C因为平面，平面MNDA平面CDPDN，所以.所以MNAD.所以2.（Ⅱ）取的中点E，连接，AC.由（Ⅰ）知2.所以.因为，所以四边形是平行四边形.所以1，CD.1因为CD1，所以1.P2所以，即ABAC.选条件①：.M（ⅰ）因为1，，所以△△.ABDE所以.C因为，所以PAB90.所以，即.所以AP平面ABCD.（ⅱ）由（ⅰ）知AP平面ABCD.所以APAC.因为，1，如图建立空间直角坐标系A.则P，C3,0)，D(1,3,0).1221233所以CD(,,0)，(,,3,0).，222设平面的法向量为n(,y,z)，则z123xyPn2即n13xyz0.22M令x3，则yn(3,3).1，z3.于是ABDxC因为为平面的法向量，且yn7cosAC,n，|AC||n|77所以二面角ClB的余弦值为.7选条件③：.（ⅰ）所以CBCP.因为1，CACA，△所以△.所以90，即PAAC.因为，所以平面ABCD.（ⅱ）同选条件①．（18共13解：（Ⅰ）当a时，（ⅰ）由表可知，科普过程性积分不少于3分的学生人数为.所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分45的频率为0.45．100所以从该校随机抽取一名学生，这名学生的科普过程性积分不少于3分的概率估计为0.45．35351079的科普过程性积分为3分的频率为.所以从该校学生活动成绩不低于7的科普过程性积分为3分的概率估计为.同理，从该校学生活动成绩9不低于4分2的概率估计为.9由表可知X的所有可能取值为8．792979294981479292881P(X6)P(X，P(X7)2，．814928458所以X的数学期望E(X)678．8181819（Ⅱ）7．（19共15解m1.设a2m，b21，则c2a2b2m1.2因为G的离心率为，2a2c2，即mm．所以所以m2，c1.所以m的值为2，点F的坐标为．P(x,y)（xy0y)，M(x,0)x2，xx，0000QM00Mx22y22.①00因为,所以(0y)y)0.Q01x所以Q0.②0因为Q，P，M三点共线，0(2,0)，Qy2000M所以0.③2由①②③可得xM.0由（Ⅰ）可知1(2,0)，A(2,0).2222|2|||(x0)2y2(x2)(2)0所以1200x210x2201.4424x22x2200x2|2|||010，即|2||||.所以12122（20共151ax解f(x)xe2，111axxaxaxx所以fx)e2e2e2).22令f)0，得x2．f)与f(x)的变化情况如下表：x(,2)20(2,)f)f(x)↗↘所以，函数f(x)的单调递增区间是(,；单调递减区间是(2,)．（Ⅱ）令h(x)f(x)e2a，则hx)fx).由（Ⅰ）可得：函数h(x)的单调递增区间是(,；单调递减区间是(2,)．h(2)2ea1e2a.所以h(x)在x2时取得最大值12ax所以当x2h(x)xe+e2ae2ah(0)0x2时，(x)，即当x)时，(x)(.所以g(x)|(x)|在)上存在最大值的充分必要条件是2ea1e2ae2a|2ea1e2a||e2a|，即ea1e2a0.2令m(x)ex1e2x，则mx)ex1e2.因为因为所以mx)ex1e2，所以(x)是增函数.00m(e2e2，0m(a)ea1e2a的充要条件是a1.所以a的取值范围为[.)（21共15解：（Ⅰ）b1,b6．13（Ⅱ）由题意知m3.当m3时，因为a1，b0，所以b1.101因为aa，且a，a均为正整数，2323所以a1，或a1.23所以23.因为a，a，a是互不相等的正整数，所以必有一项大于2.456所以36.所以bbb10，不合题意.123当m4时，对于数列Q：4有bbb13711.123综上所述，m的最小值为4.（Ⅲ）因为t1n|nb,at}，t，tn所以t1b，t.t（ⅰ）若t1，则当nt1时，至少以下情况之一成立：①nt，这样的n至多有t个；②存在it，in，这样的n至多有t个.所以小于t1的n至多有t个.所以t1tt1t1.令t12024，解得t11012.所以b2024.（ⅱ）对kN*，若t2024kt1，且2024ktl12024(k，因为tl1n|nb,atl}n(2024k,tl1