2024北京延庆区高三一模数学试题及答案

2024北京延庆高三一模数学2024.03本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。第一部分（选择题，共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题中选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A{xx，=B={12，则A（A）(（C）{12}（B）(−（D）{1221−i（2）若复数z满足zi=，则z=（A）1−i（B）1+i1+i（C）1i−（D）153（3）在(2x−)的展开式中，x的系数为x（A）40（C）80（B）40−（D）80−C:y2=8x的焦点为F，点M在C上．若M到直线x=−4的距离为7，则||=（4）已知抛物线（A）4（C）6（B）5（D）7=(+AD)，则（5）已知正方形ABCD的边长为2，点P满足APAC=2（A）4（C）6（B）5（D）8（6）“sin0”是“为第一或第三象限角”的（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（7）已知函数f(x)3x−2x1，则不等式f(x)0的解集是=−1)(0+)(−0)（A）(0（B）(−0)，（C）（D）1（8）设a=2，b=6，c=，则392第1页/共页（A）abc（C）bca（B）cba（D）bac（9）在等边△ABC中，2，为△ABC所在平面内的动点，且==1，Q为边PBC上的动点，则线段长度的最大值是（A）3−1（C）3+2（B）3+1（D）3（10）已知在正方体ABCD−ABCD中，AB=1，P是正方形ABCD内的动点，1111≥1，则满足条件的点P构成的图形的面积等于1814（A）（C）（B）（D）ππ8第二部分（非选择题，共分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。y2x2（）已知双曲线C:−=1的离心率为3，则双曲线C的渐近线方程为．a2b2（12）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，bcB=60，sinA3sinC，b=7，则c=（13）已知函数f(x)(0=，△ABC的面积为．=在区间(−0)上单调递减，则的一个取值为．（14）北京天坛的圜丘坛分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且三层共有扇面形石板(不含天心石)块，则上层有扇形石板块．x2+2ax，x，（15）已知函数f(x)=给出下列四个结论：ax，x≥1.xa①存在实数，使得函数f(x)的最小值为0；f(x)②存在实数a0，使得函数的最小值为−1；a③存在实数，使得函数f(x)恰有2个零点；恰有4个零点．．a④存在实数，使得函数f(x)其中所有正确结论的序号是三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（1614分）第2页/共页已知函数f(x)2sinxx2asin2x=−+a(a0)，f(x)的最大值为2.（Ⅰ）求a的值；π（Ⅱ）将f(x)的图象向右平移个单位得到g(x)的图象，求函数g(x)的单调增区间．3（1713分）第十四届全国冬季运动会雪橇项目比赛于2023年12月16日至17日在北京延庆举行，赛程时间安排如下表：9:3010:3015:3016:309:30单人雪橇第1轮单人雪橇第2轮双人雪橇第1轮双人雪橇第2轮单人雪橇第3轮单人雪橇第4轮团体接力12月16日星期六星期日12月17日10:3015:30（Ⅰ）若小明在每天各随机观看一场比赛，求他恰好看到单人雪橇和双人雪橇的概率；（Ⅱ）若小明在这两天的所有比赛中随机观看三场，记X为看到双人雪橇的次数，求X的分布列及期望E(X)；=11=01（Ⅲ）若小明在每天各随机观看一场比赛，用“”表示小=21=02”表示小明在周日没看到单人雪橇，写出方差（，（12（1815分）如图，四棱柱ABCDABCD的底面ABCD是边长为2的正方形，侧面−A⊥底面ABCD，1111111D=3，E是的中点．（Ⅰ）求证：DB//平面CED；11（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个条件作为已知，使二面角D1E1唯一确．．−−定，并求二面角D1E1的余弦值．−−条件①：1D=13；条件②：1B=；条件③：1D．⊥第3页/共页注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．（1915分）x2a2y2b23已知椭圆E:+=1(ab0)的离心率为，，C分别是E的上、下顶点，|AC|=2，，D2分别是E的左、右顶点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设P为第二象限内E上的动点，直线与直线BC交于点M，直线与直线CD交于点N，求证：．⊥（2015分）已知函数f(x)=−x（+2a)x−2.（Ⅰ）若曲线y=f(x)的一条切线方程为y=x−1，求a的值；（Ⅱ）若函数f(x)在区间2)上为增函数，求a的取值范围；1（Ⅲ）若x(+)，f(x)无零点，求a的取值范围．e2（2113分）≤ij,i,jN*.已知数列n，记集合T=S(i,j)S(i,j)=a+a+ii1（Ⅰ）若数列n为3，写出集合T；（Ⅱ）若an=2n，是否存在i,jN*，使得S(ij)=？若存在，求出一组符合条件的ij；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若a=n，把集合T中的元素从小到大排列，得到的新数列为bb，，若m≤，求n12m的最大值．第4页/共页参考答案一、选择题:（每小题4分，共10小题，共40分）1.B2.CD4.B5.C6.C7.AD9.D10.A二、填空题:（每小题5分，共5小题，共25分）233423．y=x；12.1，；13．；14；40515．①③212题第一空3分，第二空215题选对一个给3分，二个给5分，有错误不给分.6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤.）16.解：（Ⅰ）因为其中f(x)=sin2x+a2x=1+atan=a，2sin(2x+)…………2分…………3分所以1+a2=2，…………5分a0又因为，所以a=3.…………6分π（Ⅱ）因为f(x)=sin2x+3cos2x=2sin(2x+)…………8分3πππ所以g(x)=2sin[2(x−)+]=2sin(2x−)…………10分…………12分…………13分…………14分333πππ则2π−2x−2π+，232π5ππ−xπ+12，12π5π所以函数g(x)的单调增区间为[π−,π+](kZ)1212kZ没有出现17.解：扣一分,结果不写区间形式扣一分。（Ⅰ）记“小明在每天各随机观看一场比赛，恰好看到单人雪橇和双人雪橇”为事件A.43=12种不同方法，其中恰好看到单人雪橇和双人雪橇，共有由表可知，每22=4种不天随机观看一场比赛，共有同方法．413所以P()==．……4分12（Ⅱ）随机变量X的所有可能取值为0,2．5分5C3103527根据题意，P(X=0)===，6分37第5页/共页C12C532203547P(X==P(X=2)====，．7分……8分7C22C51517=3735随机变量X的分布列是：XP012274717……9分2416数学期望E(X)=0+1+2=．……分7777（Ⅲ）D（（）13分1218.方法一：在四棱柱ABCD−ABCD中，连结DC，设DCO，连结，在△1BC中，因111111为O、E分别为C,的中点，所以//1B，…………2分又因为OE平面1，1B平面1，…………3分…………4分DB//CED所以.11ABCD−ABCDBC中，设111F中点为F，连结，BF，，方法二：在四棱柱1111∥因为=，11EB所以所以为平行四边形，//1E，1分2分∥∥因为==，11DD1FE所以所以为平行四边形，1F//，因为DE，DFB//平面C所以平面，……3分11因为平面11DB//CED所以．……4分11（Ⅱ）解:选择条件①：选择条件②：本问记为0分．第6页/共页1AABCD是正方形，连结，因为底面所以，⊥A⊥1A1ABCD=AD底面，又因为侧面底面ABCD，且侧面11BA⊥平面ADD1A所以所以，1⊥1A，Rt11B=17，AB=2，在中，因为1A=13所以，在△1ADDD1=3中，因为AD2，，=⊥所以所以，1DD1⊥平面ABCD1⊥AD，1⊥CD，即，又因为⊥CD，所以如图建立空间直角坐标系D−xyz，…………6分D(0,0,0)CE2,0)，C(0,0)1=(0,其中，，，且…………7分，1DE=0)，ADDA⊥因为侧面底面ABCD平面ADD1A平面CD=，，111⊥平面ADD1A所以，1A//BCCB11因为平面11⊥平面1BDC=0)为平面CEB的一个法向量，…9分11所以，故1n，2y3z+=0设n(xyz)为平=，，1面的一个法向量，则即.x2y+=0nDE=0，y=3x=z=2可得n=2)．不妨设，则…………12分…………14分637DC,n=−所以，249n因为二面角D−CE−B的平面角是钝角,11所以二面角D−CE−B的余弦值为−3.7…………15分11⊥1D选择条件③：因为底面ABCD是正方形，所以⊥，⊥1D因为，第7页/共页⊥平面1所以，DDC因为11AD⊥1D所以，A⊥1A1ABCD=AD底面，ABCD因为侧面底面，且侧面11DD1⊥平面ABCD1⊥AD，1⊥CD，所以，即又因为⊥CD，D−xyz所以如图建立空间直角坐标系下面同选择条件②.19.解：，…………6分b=，c（Ⅰ）由题设，3=，…………3分a2a2=b2+c2.解得ab1．==…………4分x2所以E的方程为+y2=1．…………5分4（Ⅱ）方法一：x2()(−)(−)，)(+y2=1，所以A1，C，1，B0D0因为椭圆E的方程为4因为P为第二象限E上的动点，设(P,n2m0,0n)．…………6分)(m2所以+n2=1，即m2=4−4n2．…………7分4y−0x−2n−0m−2n直线的方程为直线的方程为=，即y=(x−2)．…………8分m−2xy1+=1，即y=−x−1．…………9分2121y=−x−4n−2m+4m+2n−22n由得M=．…………10分y=(x−−2my−0x+2n−0m+2n直线的方程为直线CD的方程为=，即y=(x+2)．…………11分m+2xy11+=1，即y=x−1．…………12分22第8页/共页1y=x−，4n+2m+4m−2n+22由得xN=．…………13分ny=(x+2)+m216n2−4m2+1616n2−4(4−4n)+162x−x===0，………15分MN(m+2n−2)(m−2n+2)(m+2n−2)(m−2n+2)xM8−2mxN+2m22−8n+8n22+88−2(4−4n−88+2(4−4n22)−8n)+8n22+88−88（====1）x=xM⊥．所以，即N方法二：因为椭圆E的方程为x2()(−)(−)()，+y2=1，所以A1，C，1，B0D041设直线的方程为yk(x2)，其中=−−k0．…………7分2y=k(x−，8k2−24k1+4k21+4k2由x2得P(，)．…………9分+y2=14xy1直线的方程为+=1，即y=−x−1．…………10分2121y=−x−4k−22k+1由2得M=．…………11分y=k(x−2)x+24ky−04k1+4k2x+28k2−21+4k2直线的方程为=，即y=−．…………12分−0+2xy11直线CD的方程为+=1，即y=x−1．…………13分221y=x−，4k−22k+12由得xN=．…………14分x+24ky=−x=xM⊥．因为，所以N…………15分20.解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0)+，设切点为(x,y)，001=−++因为f(x)2a，………………1分x111+a所以−+2+a=1，即0=，………………2分………………4分0因为y=−x+(2+a)x−2，y=x−1，00000第9页/共页11+a所以x=+a)x−1，即=1−1=0，0011+a所以=1，即a=0.………………5分1=−++（Ⅱ）因为f(x)2a，f(x)在区间2)上为增函数，x所以f(x)≥0在2)内恒成立，………………7分………………8分………………10分32x2)++因为所以，所以f(x)(aa)，a+1≥a[+).0，即1(2+a)x−1=−++=x(0+)，（Ⅲ）因为f(x)2a，xx当2+a≤0，即a≤−2时，f(x)0上单调递减，1，1f(x)((+)+)所以所以在在e21因为f()=2+(2+a)−2≤0，e2e21f(x)上无零点，符合题意；……11分e212+aa2f(x)0=x=0，当时，令，则12+a12+a当x)时，fx)0；当x(,+)fx)0时，，12+a12+af(x))(,+)所以的单调递减区间是；单调递增区间是，11f(x)f()=−−1的最小值为，12分2+a2+a1当−−10，即ae−2时，f(x)无零点，符合题意；……13分14分2+a111a=e−2f(x)=2当当时，有一个零点，不符合题意；2+aee11−2ae−2f(x)f()=−−10，时，的最小值2+a2+a1e21e2因为f()=(2+a)0，11+所以0(，)，使得f(0)=0，不符合题意；15分2e2a