2019年湖北省随州市中考数学试卷含解析

2019年湖北省随州市中考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且

只有一个是正确的）

1.（3分）（2019•随州）-3的绝对值为（）

A.3B.-3C.±3D.9

2.（3分）（2019•随州）地球的半径约为6370000加，用科学记数法表示正确的是（）

A.637X10%B.63.7X105mc.6.37X106/MD.6.37X107/M

3.（3分）（2019•随州）如图，直线〃〃12,直角三角板的直角顶点C在直线上，一锐角

顶点3在直线/2上，若Nl=35°,则N2的度数是（）

A.65°B.55°C.45°D.35°

4.（3分）（2019•随州）下列运算正确的是（）

A.4m-m—4B.（a2）3—a5

C.（x+y）2=/+y2D.-（r-1）=\-t

5.（3分）（2019•随州）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他

们投中的次数统计如表:

投中次数35678

人数13222

则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（）

A.5,6,6B.2,6,6C.5,5,6D.5,6,5

6.（3分）（2019•随州）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）

A.2nB.37iC.4TlD.5n

7.（3分）（2019•随州）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气,

决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去

追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是

8.（3分）（2019•随州）如图，在平行四边形ABC。中，E为的中点，BD,AE交于点

。，若随机向平行四边形ABC。内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）

161286

9.（3分）（2019•随州）“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：生值=

2M

野熙生竺=7+4会，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一

（2飞）（2+北）

些有特点的无理数，如：对于43+A/^-4设x=Y3+A/"^-易知Y3+A/^

>Y故x>0,由2=（V3+Vs~V3^/5）2=3+A/S+3-Vs~2A/（3+A/5）（3-^5）

=2,解得x=亚，即底后-后粕=血.根据以上方法，化简阻”+后荻

V3+V2

-16+3J5后的结果为（）

A.5+3加B.5-H/6C.5-76D.5-3企

10.（3分）（2019•随州）如图所示，己知二次函数>=0?+灰+。的图象与x轴交于A,8两

点，与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=l,则下列结论：①必c<0；②吟吟c

=0；③ac+6+l=0；④2+c是关于尤的一元二次方程ar2+fcv+c=0的一个根.其中正确

的有（）

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡

对应题号处的横线上）

11.（3分）（2019•随州）计算：（Tt-2019）0-2cos60°=.

12.（3分）（2019•随州）如图，点A,B,C在。。上，点C在优弧篇上，若/。区4=50°,

13.（3分）（2019•随州）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高

难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力.在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具

有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力.如图是一个最简

单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径

上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为

和

4

w

14.（3分）（2019•随州）如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点C的坐标为（1,

0）,点A在x轴正半轴上，且AC=2.将△ABC先绕点C逆时针旋转90°,再向左平移

3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为.

外

B

OCAx

15.（3分）（2019•随州）如图，矩形OA8C的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上，D

为AB的中点，反比例函数y=K（左＞0）的图象经过点。，且与8c交于点E,连接。£）,

x

OE,DE,若△ODE的面积为3,则左的值为.

16.（3分）（2019•随州）如图，已知正方形ABCD的边长为a,E为CO边上一点（不与端

点重合），将沿AE对折至△APE,延长EF交边于点G,连接AG,CF.

给出下列判断：

®Z£AG=45°；

②若。E=LZ,贝I」AG〃CF；

3

③若E为C。的中点，贝也3尸。的面积为」_/；

10

④若CF=FG,则DE=（V2-I）a；

⑤BG，DE+AF・GE=）.

其中正确的是.（写出所有正确判断的序号）

三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过

程）

17.（5分）（2019•随州）解关于龙的分式方程：2=上.

3+x3-x

18.（7分）（2019•随州）已知关于x的一元二次方程7-（2A+1）尤+F+l=0有两个不相等

的实数根XI,XI.

（1）求k的取值范围；

（2）若XI+X2=3,求左的值及方程的根.

19.（10分）（2019•随州）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就

校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，

绘制了下面两幅尚不完整的统计图.根据图中信息回答下列问题：

扇形统计图条形统计图

（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为；

（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园

安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为人；

（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人

参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生

的概率.

20.（8分）（2019•随州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A,8同时收到某事故渔船的

求救讯息，已知此时救助船2在A的正北方向，事故渔船尸在救助船A的北偏西30°方

向上，在救助船8的西南方向上，且事故渔船尸与救助船A相距120海里.

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

（2）若救助船A,8分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往

事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达.

21.（9分）（2019•随州）如图，在△ABC中，AB^AC,以A8为直径的O。分别交AC,

BC于点D,E,点尸在AC的延长线上，且NA4c=2NC2F.

（1）求证：8尸是的切线；

（2）若O。的直径为3,sin/C8P=也，求BC和8尸的长.

3

22.（11分）（2019•随州）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p

（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式°=氏+8,从市场反馈的信息发现，

该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格无（元/千克）满足一次函数关系，

部分数据如表：

销售价格X（元/24...10

千克）

市场需求量q（百1210...4

千克）

已知按物价部门规定销售价格尤不低于2元/千克且不高于10元/千克.

（1）直接写出q与龙的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；

（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的

产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质

期短而只能废弃.

①当每天的半成品食材能全部售出时，求X的取值范围；

②求厂家每天获得的利润y（百元）与销售价格X的函数关系式；

（3）在（2）的条件下，当x为元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润

不低于24（百元），并尽可能地减少半成品食材的浪费，则尤应定为元/千克.

23.（10分）（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为相，"，我们可将这个

两位数记为三，易知亟=10m+如同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如其

=100a+106+c.

【基础训练】

（1）解方程填空：

①若云+羡=45,贝壮=；

②若7V-y8=26,则y=；

③若福+京=13tl，则，=；

【能力提升】

（2）交换任意一个两位数mn的个位数字与十位数字，可得到一个新数nir，则mn+nir一

定能被_______整除，ran-nir一定能被_______整除，iun,rur-mn一定能被_______整除；

（请从大于5的整数中选择合适的数填空）

【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引

力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三

位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，

得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例

如若选的数为325,则用532-235=297）,再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，

像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为;

②设任选的三位数为取（不妨设a>6>c）,试说明其均可产生该黑洞数.

24.（12分）（2019•随州）如图1,在平面直角坐标系中，点。为坐标原点，抛物线y^ax^+bx+c

与y轴交于点A（0，6）,与x轴交于点8（-2,0）,C（6,0）.

（1）直接写出抛物线的解析式及其对称轴；

（2）如图2,连接AB,AC,设点尸（加，”）是抛物线上位于第一象限内的一动点，且

在对称轴右侧，过点尸作POLAC于点E,交x轴于点D,过点尸作PG〃A3交AC于

点R交x轴于点G.设线段。G的长为4,求d与机的函数关系式，并注明机的取值

范围；

(3)在(2)的条件下，若△PDG的面积为尊，

12

①求点P的坐标；

②设M为直线AP上一动点，连接交直线AC于点S,则点M在运动过程中，在抛

物线上是否存在点R,使得AARS为等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M及其对

2019年湖北省随州市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题给出的四个选项中，有且

只有一个是正确的）

1.（3分）（2019•随州）-3的绝对值为（）

A.3B.-3C.±3D.9

【解答】解：-3的绝对值为3,

即|-3|=3.

故选：A.

2.（3分）（2019•随州）地球的半径约为6370000加，用科学记数法表示正确的是（）

A.637X10%B.63.7X105加c.6.37X106mD.6.37X107m

【解答】解：6370000机，用科学记数法表示正确的是6.37XKAW,

故选：C.

3.（3分）（2019•随州）如图，直线〃〃12,直角三角板的直角顶点C在直线A上，一锐角

顶点2在直线/2上，若Nl=35°,则N2的度数是（）

A.65°B.55°C.45°D.35°

【解答】解：如图，：/1+/3=90°,Zl=35°,

.,.Z3=55°.

又：直线〃〃12,

；.N2=N3=55°.

故选：B.

A

4.（3分）（2019•随州）下列运算正确的是（）

A.4m-m=4B.（a2）3=a5

C.（x+y）2=/+y2D.-（r-1）=1-t

【解答】解：A、4m-m=3m,故此选项错误；

8、（/）3=不，故此选项错误；

C、（x+y）2—r+1xy+y1,故此选项错误；

D、-（Z-1）—1-正确.

故选：D.

5.（3分）（2019•随州）某校男子篮球队10名队员进行定点投篮练习，每人投篮10次，他

们投中的次数统计如表：

投中次数35678

人数13222

则这些队员投中次数的众数、中位数和平均数分别为（）

A.5,6,6B.2,6,6C.5,5,6D.5,6,5

【解答】解：在这一组数据中5是出现次数最多的，故众数是5；

处于中间位置的两个数的平均数是（6+6）+2=6,那么由中位数的定义可知，这组数据

的中位数是6.

平均数是：（3+15+12+14+16）4-10=6,

所以答案为：5、6、6,

故选：A.

6.（3分）（2019•随州）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（）

A.2nB.3nC.4TlD.5n

【解答】解：根据三视图可得这个几何体是圆锥，

底面积=TTX12=n，

侧面积为=n・3=3ir,

则这个几何体的表面积=Tt+3Tt=4it；

故选：C.

7.（3分）（2019•随州）第一次“龟兔赛跑”，兔子因为在途中睡觉而输掉比赛，很不服气,

决定与乌龟再比一次，并且骄傲地说，这次我一定不睡觉，让乌龟先跑一段距离我再去

追都可以赢.结果兔子又一次输掉了比赛，则下列函数图象可以体现这次比赛过程的是

（）

心（路程）心（路程）

U2LZ

A.°t（时间）B.°t（时间）

As（路程）A—s（路程）

C.°t（时间）D.°t（时间）

【解答】解：由于乌龟比兔子早出发,而早到终点；

故8选项正确；

故选：B.

8.（3分）（2019•随州）如图，在平行四边形A8CD中，E为的中点，BD,AE交于点

。，若随机向平行四边形ABC。内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（）

C.1D.

86

【解答】解：为BC的中点,

.BE1

••--Z：--，

AD2

.BO=OEBOJ_

"0D而出而与

S/\BOE=—S/^AOB>S/\AOB=—S^ABD）

23

SABOE=—SAABD=ABCD,

612

米粒落在图中阴影部分的概率为

故选：B.

9.(3分)(2019•随州)“分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：生@=

2^/3

弃感之翼_=7+46，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一

(2-V3)(2+V3)

些有特点的无理数，如：对于J3+泥-设x=43+疾-易知［3+代

＞、故尤＞0,由7=(yj3+A/5-V3^\/5)2—3+V5+3-、后-24(3+V^)

=2,解得了=、耳，即盛丽-区后='历.根据以上方法，化简噌二"+后荻

V3+V2

-J6+36后的结果为()

A.5+3加B.5+76C.5-泥D.5-3企

【解答】解：设了=后皿-再原,且巧忘后＞后荻,

.".x<0,

.,.?=6-3M-2A/（6-3V3）（6+3V3）+6+3V3.

.,.?=12-2X3=6,

.,.x—~V6>

VV3W2=5_2娓,

V3+V2

原式=5-2退_捉

=5-3遥，

故选：D.

10.（3分）（2019•随州）如图所示，已知二次函数丫=0?+法+<?的图象与x轴交于A,2两

点，与y轴交于点C,OA=OC,对称轴为直线x=l,则下列结论：®abc<0；②吗丐

=0；③ac+6+l=0；④2+c是关于x的一元二次方程以2+b尤+c=。的一个根.其中正确

的有（）

C.3个D.4个

【解答】解：•••抛物线开口向下，

••4*^0,

•••抛物线的对称轴为直线x=--=1,

2a

••b~~~2〃>0,

,/抛物线与y轴的交点在x轴上方，

.,.c>0,

abc<0,所以①正确；

■:b=-la,

・・Q+——b~~a—a~~0,

2

Vc>0,

:・>o,所以②）错误；

VC（0,c）,OA=OC,

A(-c,0),

S5A(-c,0)代入y=a??+bx+c得ac2-bc+c=0,

•'•ac-1+1=0,所以③错误；

VA(-c,0),对称轴为直线x=l,

：.B(2+c,0),

2+c是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，所以④正确;

故选：B.

二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分，只需要将结果直接填写在答题卡

对应题号处的横线上）

11.（3分）（2019•随州）计算：（it-2019）0-2cos60°=0.

【解答】解：原式=1-2义工=1-1=0,

2

故答案为：0

12.（3分）（2019•随州）如图，点A,B,C在。。上，点C在优弧窟上，若/O8A=50°,

则NC的度数为40°.

【解答】解：：04=08,

：.ZOAB=ZOBA=50°,

/.ZAOB=180°-50°-50°=80°,

：.ZC=^ZAOB=40°.

2

故答案为40。.

13.（3分）（2019•随州）2017年，随州学子尤东梅参加《最强大脑》节目，成功完成了高

难度的项目挑战，展现了惊人的记忆力.在2019年的《最强大脑》节目中，也有很多具

有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力.如图是一个最简

单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径

上的四个数字之和相等，则图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为」和

9.

8

【解答】解：设图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为a,b

•••外圆两直径上的四个数字之和相等

4+6+7+8=。+3+6+11①

•••内、外两个圆周上的四个数字之和相等

3+6+6+7=。+4+11+8②）

联立①②解得：a=2,b=9

图中两空白圆圈内应填写的数字从左到右依次为2,9

故答案为：2；9.

14.（3分）（2019•随州）如图，在平面直角坐标系中，为△ABC的直角顶点C的坐标为（1,

0）,点A在x轴正半轴上，且AC=2.将△ABC先绕点C逆时针旋转90°,再向左平移

3个单位，则变换后点A的对应点的坐标为（-2,2）.

【解答】解：：点C的坐标为（1,0）,AC=2,

.♦.点A的坐标为（3,0）,

如图所示，将先绕点C逆时针旋转90°,

则点A'的坐标为（1,2）,

再向左平移3个单位长度，则变换后点A'的对应点坐标为（-2,2）,

故答案为：（-2,2）.

15.（3分）（2019•随州）如图，矩形OA8C的顶点A,C分别在y轴、x轴的正半轴上，D

为AB的中点，反比例函数y=k（%>0）的图象经过点且与交于点E,连接。£）,

X

OE,DE,若△O0E的面积为3,则无的值为4.

【解答】解：•••四边形OCBA是矩形，

：.AB=OC,OA=BC,

设3点的坐标为(a,b),则E的坐标为E(a,—

a

•；D为AB的中点，

：.D(L,b)

2

E在反比例函数的图象上，

■•kr

2

SAODE-S矩形。CBA-S^AOD-SAOCE-S^BDE-ab--k-—k----)=3,

2222a

ab-^-k-^-k-Lab+^-k^3,

2244

解得:k=4,

故答案为：4.

16.(3分)(2019•随州)如图，已知正方形A8CD的边长为a,E为CD边上一点(不与端

点重合)，将△AOE沿AE对折至△AFE,延长EP交边BC于点G,连接AG,CF.

给出下列判断：

①/£AG=45。；

②若。£=呆则AG〃CB

③若E为CD的中点，则4G尸C的面积为工广；

10

④若CF=FG,则DE=(A/2-1)a；

⑤>GE=/.

其中正确的是①②⑷⑸.(写出所有正确判断的序号)

AD

【解答】解：①・・•四边形ABCD是正方形，

.\AB=BC=AD=a,

•・•将△A0E沿AE对折至△AfK

AZAFE=ZADE=ZABG=90°,AF=AD=ABfEF=DE,/DAE=/FAE,

在RtAABG和RtAAFG中1AB二人「,

IAG=AG

RtAABG^RtAAFG（HL）,

：.ZBAG=ZFAG,

：.ZGAE^ZGAF+ZEAF=LX90°=45。，故①正确；

②：.BG=GF,NBGA=NFGA,

设8G=GF=x,'：DE=^a,

3

：.EF=^a,

3

••CG=〃-Xj

在RtZiEGC中，EG=_r+L,CE=Z,由勾股定理可得（x+1。）2=?+（2。）2

3333

解得尤=!小此时BG—CG——a,

22

GC=GB=L,

2

：.ZGFC=ZGCF,

且/BGF=ZGFC+ZGCF=2ZGCF,

：.2ZAGB=2ZGCF,

：./AGB=NGCF,

：.AG//CF,

②正确；

③若E为CD的中点，则DE=CE=EF=LQ,

设BG=GF=y,贝ICG=a-y,

CG2+CE2=£G2,

即(a-y)2+(ya)2=(ya+y)2)

解得，y=L,

3

BG—GF~^~CG~ci~

333

上

.GF_Ta_2

"EG^1

Ta^a

•2c211212

,,ScACFG^SACEG^XY7XY7aXv7a^Ja，

故③错误；

④当CF=FG,则/BGC=/FCG,

ZFGC+ZFEC^ZFCG+ZFCE=90°,

:./FEC=NFCE,

：.EF=CF=GF,

：.BG=GF=EF=DE,

：.EG=2DE,CG=CE=a-DE,

；.&CE=EG,即&(a-DE)=2DE,

:.DE=(V2-1)a,

故④正确；

⑤设BG=GF=b,DE=EF=c,则CG=a-b,CE=a-c,

由勾股定理得，(6+y)2=(a-b)2+(a-c)2,整理得6c=/-"

・112_1

,,SA^77(a-b)(a-ab-ac+bc)--z_(bc+bc)=bc,

八JrTR7rNdZ

即SACEG=BG・DE,

•S/\ABG=S/\AFGfSAAEF=S/\ADE,

S五边形ABGED=?$△搦=2"EG二AF・EG'

,:S五边形ABGED+S/\CEG=S正方形ABCZ),

:.BG*DE+AF・EG=a1,

故⑤正确.

故答案为：①②④⑤.

三、解答题（本大题共8小题，共72分，解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过

程）

17.（5分）（2019•随州）解关于无的分式方程：工=上.

3+x3-x

【解答】解：去分母得：27-9x=18+6x,

移项合并得：15x=9,

解得：尸为，

5

经检验彳=3是分式方程的解.

5

18.（7分）（2019•随州）已知关于尤的一元二次方程7-（24+1）无+9+1=0有两个不相等

的实数根XI，XI.

（1）求上的取值范围；

（2）若XI+X2=3,求左的值及方程的根.

【解答】解：（1）：关于x的一元二次方程f-（24+1）x+后+1=0有两个不相等的实数

根，

/.⑵+1）2-4（M+1）>0,

整理得，4%-3>0,

解得:k>—,

4

故实数k的取值范围为4>上；

4

（2）•••方程的两个根分别为xl,xi,

.•.XI+X2=2Z+1=3,

解得：k=l,

・••原方程为x2-3x+2=0,

・・XI~~1,X2=2.

19.（10分）（2019•随州）“校园安全”越来越受到人们的关注，我市某中学对部分学生就

校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计,

绘制了下面两幅尚不完整的统计图.根据图中信息回答下列问题:

扇形统计图条形统计图

舞笄毯下了由

（1）接受问卷调查的学生共有60人,条形统计图中加的值为10；

（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数为96。；

（3）若该中学共有学生1800人，根据上述调查结果，可以估计出该学校学生中对校园

安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为1020人;

（4）若从对校园安全知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人

参加校园安全知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生

的概率.

【解答】解：（1）接受问卷调查的学生共有304-50%=60（人），机=60-4-30-16=

10；

故答案为：60,10；

（2）扇形统计图中“了解很少”部分所对应扇形的圆心角的度数=360°X生=96°；

60

故答案为：96°；

（3）该学校学生中对校园安全知识达到“非常了解”和“基本了解”程度的总人数为：

1800X生组=1020（人）；

60

故答案为：1020；

（4）由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到1名男生和1名女生的结果有8

种，

...恰好抽到1名男生和1名女生的概率为g=2.

123

女1

男】男女

20.（8分）（2019•随州）在一次海上救援中，两艘专业救助船A,B同时收到某事故渔船的

求救讯息，已知此时救助船3在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西30°方

向上，在救助船8的西南方向上，且事故渔船尸与救助船A相距120海里.

（1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离；

（2）若救助船A,B分别以40海里/小时、30海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往

事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达.

【解答】解：（1）作PCLA8于C,如图所示：

则/PCA=NP3=90°,

由题意得：120海里，ZA=30°,ZBPC=45°,

，PC=LB4=60海里，△BCP是等腰直角三角形，

2

.•.80=7^=60海里，海里；

答：收到求救讯息时事故渔船尸与救助船B之间的距离为60^海里；

（2）：出=120海里，尸8=60血海里，救助船A,B分别以40海里/小时、30海里/小

时的速度同时出发，

救助船A所用的时间为坨=3（小时），救助船8所用的时间为史返=（小时）,

4030

：3〉2我，

...救助船8先到达.

21.(9分)(2019•随州)如图，在△ABC中，AB=AC,以A8为直径的分别交AC,

BC于点D,E,点尸在AC的延长线上，且

(1)求证：是OO的切线；

(2)若。。的直径为3,sin/CBF=丑，求和8尸的长.

【解答】(1)证明：连接AE,

'：AB是。。的直径，

ZA£B=90°,

.,.Z1+Z2=9O°.

\'AB=AC,

：.2Z1=ZCAB.

■:/BAC=2/CBF,

；.N1=NCBF

.•.ZCBF+Z2=90°

即/A8P=90°

是O。的直径，

直线BP是O。的切线；

(2)解：过点C作CHLBF于H.

,：sinZCBF=J^-,Z1=ZCBF,

3

sin/l=Y^,

3

「在RtZXAEB中，ZA£B=90°,AB=3,

.•.BE=A8・sin/l=3X返=6,

3

"：AB=AC,ZAEB=90°,

:.BC=2BE=2M，

BC3

：.CH=2,

■:CH//AB,

.CF=CH即CF_2

"AFAB，CF+3T

：.CF=6,

：.AF=AC+CF=9,

BF=VAF2-AB2=6^2-

22.（11分）（2019•随州）某食品厂生产一种半成品食材，成本为2元/千克，每天的产量p

（百千克）与销售价格x（元/千克）满足函数关系式0=今+8,从市场反馈的信息发现,

该半成品食材每天的市场需求量q（百千克）与销售价格x（元/千克）满足一次函数关系,

部分数据如表:

销售价格X（元/24...10

千克）

市场需求量q（百1210...4

千克）

已知按物价部门规定销售价格x不低于2元/千克且不高于10元/千克.

（1）直接写出q与尤的函数关系式，并注明自变量x的取值范围;

（2）当每天的产量小于或等于市场需求量时，这种半成品食材能全部售出，而当每天的

产量大于市场需求量时，只能售出符合市场需求量的半成品食材，剩余的食材由于保质

期短而只能废弃.

①当每天的半成品食材能全部售出时，求X的取值范围；

②求厂家每天获得的利润y(百元)与销售价格X的函数关系式；

(3)在(2)的条件下，当x为_竽_元/千克时，利润y有最大值；若要使每天的利润

不低于24(百元)，并尽可能地减少半成品食材的浪费，则x应定为5元/千克.

【解答】解：

(1)由表格的数据，设q与x的函数关系式为：q=kx+b

根据表格的数据得[12=2k+b,解得(k=T

ll0=4k+blb=14

故q与x的函数关系式为：q=-x+14,其中2WxW10

(2)①当每天的半成品食材能全部售出时，有pWq

即L+8W-X+14,解得xW4

2

又2WxW10,所以此时2WxW4

②由①可知，当2WxW4时，

y=(x-2)p=(x-2)(―x+8)=—^+1x-16

22

当4V时，y=(x-2)q-2(p-q)

=(x-2)(-x+14)-2[—x+8-(-x+14)]

2

=-/+13x-16

2

1-X+7X-16,(2<X<4)

即有y=<

-X2+13X-16,(4<X<10)

(3)当2WxW4时,

y=O+7尤-16的对称轴为x=一旦=--7

22a

2

/.当2WxW4时，除x的增大而增大

；.x=4时有最大值，X42+7X4-16=2。

当4c尤W10时

y=-/+13x-16=-（尤-工^）♦+1°5,

24

：-l<0,H>4

2

.,.x=1工时取最大值

2

即此时y有最大利润

要使每天的利润不低于24百元，则当2WxW4时，显然不符合

故y=-（尤2+105224,解得xW5

24

故当尤=5时，能保证不低于24百元

故答案为：11,5

2

23.（10分）（2019•随州）若一个两位数十位、个位上的数字分别为小“，我们可将这个

两位数记为mn，易知mn=10〃z+"；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如abc

=100<7+10Z?+c.

【基础训练】

（1）解方程填空：

①若区+£=45,则八=2；

②若7V-y8=26,则y=4；

③若福+京=13tl，则看7；

【能力提升】

（2）交换任意一个两位数ran的个位数字与十位数字，可得到一个新数nir，则mn+nir一

定能被11整除,ran-nir一定能被9整除,mn，nir-旭〃一定能被10整除;（请

从大于5的整数中选择合适的数填空）

【探索发现】

（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引

力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚.数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三

位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，

得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例

如若选的数为325,则用532-235=297）,再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，

像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”.

①该“卡普雷卡尔黑洞数”为495；

②设任选的三位数为abc(不妨设a>b>c),试说明其均可产生该黑洞数.

【解答】解：⑴①：三=10%+〃

・'.若云+元=45,贝lj10X2+x+10x+3=45

.\x=2

故答案为：2.

②若7y-y8=26,则10X7+y-(10y+8)=26

解得y=4

故答案为：4.

③由abc=100a+106+a及四位数的类似公式得

若福+标=13tl，贝！1100f+10X9+3+100X5+10/+8=1000Xl+100X3+10f+l

.\100/=700

.\t=7

故答案为：7.

(2)Vim+nir—10m+n+10n+m=llm+lln=ll(m+n)

・••贝iJmn+nir一定能被11整除

,•*inn-mr=10m+n-(lOn+m)—9m-9n=9(m-n)

**•inn-mr一定能被9整除.

*.*inn•mr-mn=(10m+«)(lOn+m)-mn=100mn+10m2+1Or^+mn-mn=10

(10mn+m2+n2)

Wmr-mn一定能被10整除.

故答案为：11；9；10.

(3)①若选的数为325,则用532-235=297,以下按照上述规则继续计算

972-279=693

963-369=594

954-459=495

954-459=495-

故答案为：495.

②当任选的三位数为嬴时，第一次运算后得：IQQa+IQb+c-(lOOc+lOA+a)=99(。

结果为99的倍数，由于〃故〃2人+1三。+2

'.a-c^2,又9，a>c20,

.,.a-cW9

：.a-c=2,3,4,5,6,7,8,9

二第一次运算后可能得到:198,297,396,495,594,693,792,891,

再让这些数字经过运算，分别可以得到：

981-189=792,972-279=693,963-369=594,954