2019年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷（解析版）

2019年黑龙江省齐齐哈尔市中考数学试卷

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1.（3分）（2019•齐齐哈尔）3的相反数是（）

A.-3B.A/3C.3D.±3

【考点】14：相反数；22：算术平方根；28：实数的性质.

【专题】511：实数.

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案.

【解答】解：3的相反数是-3,

故选：A.

【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

2.（3分）（2019•齐齐哈尔）下面四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

【考点】P3：轴对称图形；R5：中心对称图形.

【专题】558：平移、旋转与对称.

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解.

【解答】解：4不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；

2、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

。、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确.

故选：D.

【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念.轴对称图形的关键是寻找

对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两

部分重合.

3.（3分）（2019•齐齐哈尔）下列计算不正确的是（）

A.土J^=±3B.2ab+3ba=5ab

C.（A/2-1）°=1D.（3/）2=6花4

【考点】21：平方根；35：合并同类项；47：幕的乘方与积的乘方；6E：零指数塞.

【专题】512：整式.

【分析】直接利用同底数幕的乘除运算法则以及完全平方公式、合并同类项法则分别化

简得出答案.

【解答】解：A、±«=±3,正确，故此选项错误；

B、2ab+3ba=5ab,正确，故此选项错误；

C、（V2-1）°=1,正确，故此选项错误；

D、（3-）2=9<7%4,错误，故此选项正确；

故选：D.

【点评】此题主要考查了同底数幕的乘除运算以及完全平方公式、合并同类项，正确掌

握相关运算法则是解题关键.

4.（3分）（2019•齐齐哈尔）小明和小强同学分别统计了自己最近10次“一分钟跳绳”的

成绩，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是（）

A.平均数B.中位数C.方差D.众数

【考点】WA：统计量的选择.

【专题】542：统计的应用.

【分析】根据方差的意义：体现数据的稳定性，集中程度，波动性大小；方差越小，数

据越稳定.要比较两位同学在五次数学测验中谁的成绩比较稳定，应选用的统计量是方

差.

【解答】解：能用来比较两人成绩稳定程度的是方差，

故选：C.

【点评】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义.反

映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数方差等，各有局限性，因此要对统计

量进行合理的选择和恰当的运用.

5.（3分）（2019•齐齐哈尔）如图，直线将一块含30°角（/8AC=30°）的直角

三角尺按图中方式放置，其中A和C两点分别落在直线a和6上.若Nl=20°,则/2

的度数为（）

A.20°B.30°C.40°D.50°

【考点】JA：平行线的性质.

【专题】551：线段、角、相交线与平行线.

【分析】直接利用平行线的性质结合三角形内角和定理得出答案.

【解答】解：：直线a〃4

：.Z1+ZBCA+Z2+ZBAC=1SO°,

VZBAC=30",NBCA=90°,Nl=20°,

，N2=40°.

故选：C.

【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确掌握平行线的性质是解题关键.

6.（3分）（2019•齐齐哈尔）如图是由几个相同大小的小正方体搭建而成的几何体的主视图

和俯视图视图，则搭建这个几何体所需要的小正方体的个数至少为（）

【考点】U3：由三视图判断几何体.

【专题】55F：投影与视图.

【分析】主视图、俯视图是分别从物体正面、上面看，所得到的图形.

【解答】解：综合主视图和俯视图，底层最少有4个小立方体，第二层最少有2个小立

方体，因此搭成这个几何体的小正方体的个数最少是6个.

故选：B.

【点评】考查了由三视图判断几何体的知识，根据题目中要求的以最少的小正方体搭建

这个几何体，可以想象出左视图的样子，然后根据“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左

视图拆违章”很容易就知道小正方体的个数.

7.（3分）（2019•齐齐哈尔）“六一”儿童节前夕，某部队战士到福利院慰问儿童.战士们

从营地出发，匀速步行前往文具店选购礼物，停留一段时间后，继续按原速步行到达福

利院（营地、文具店、福利院三地依次在同一直线上）.到达后因接到紧急任务，立即按

原路匀速跑步返回营地（赠送礼物的时间忽略不计），下列图象能大致反映战士们离营地

的距离S与时间t之间函数关系的是（）

【考点】E6：函数的图象.

【专题】53：函数及其图象.

【分析】根据题意，可以写出各段过程中，S与f的关系，从而可以解答本题.

【解答】解：由题意可得，

战士们从营地出发到文具店这段过程中，S随r的增加而增大，故选项A错误，

战士们在文具店选购文具的过程中，S随着t的增加不变，

战士们从文具店去福利院的过程中，S随着/的增加而增大，故选项C错误，

战士们从福利院跑回营地的过程中，S随着/的增大而减小，且在单位时间内距离的变化

比战士们从营地出发到文具店这段过程中快，故选项8正确，选项。错误，

故选：B.

【点评】本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

8.（3分）（2019•齐齐哈尔）学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球

60元，一个3品牌足球75元.学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球（两种足

球都买），该学校的购买方案共有（）

A.3种B.4种C.5种D.6种

【考点】95：二元一次方程的应用.

【专题】34：方程思想；521：一次方程（组）及应用.

【分析】设购买A品牌足球x个，购买2品牌足球y个，根据总价=单价义数量，即可

得出关于x,y的二元一次方程，结合尤，y均为正整数即可求出结论.

【解答】解：设购买A品牌足球x个，购买B品牌足球y个，

依题意，得：60x+75y=1500,

；.y=20--x.

5

y均为正整数，

x]-5x2-10x-15Xq-20

••<，<，<，<

了1=16[y2=12[y3=8[y4=4

，该学校共有4种购买方案.

故选：B.

【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程.

9.（3分）（2019•齐齐哈尔）在一个不透明的口袋中，装有一些除颜色外完全相同的红、白、

黑三种颜色的小球.已知袋中有红球5个，白球23个，且从袋中随机摸出一个红球的概

率是工，则袋中黑球的个数为（）

10

A.27B.23C.22D.18

【考点】X4：概率公式.

【专题】543：概率及其应用.

【分析】袋中黑球的个数为无，利用概率公式得到一—=」-，然后利用比例性质求

5+23+x10

出X即可.

【解答】解：设袋中黑球的个数为X,

1

根据题意得一解得x=22,

5+23+x10

即袋中黑球的个数为22个.

故选：C.

【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率尸（A）=事件A可能出现的结果数除

以所有可能出现的结果数.

10.（3分）（2019•齐齐哈尔）如图，抛物线y=o?+bx+c（°。0）与无轴交于点（-3,0）,

其对称轴为直线x=-工，结合图象分析下列结论：

2

@abc>0；

②3o+c>0；

③当xVO时，y随x的增大而增大；

④一元二次方程cx,+bx+a=O的两根分别为为=-—,X2=—;

32

⑤卜2-4生■<（）；

4a

⑥若m,n（m<n）为方程a（x+3）（x-2）+3=0的两个根，则m<-3且〃>2,

其中正确的结论有（）

X

A.3个B.4个C.5个D.6个

【考点】AB：根与系数的关系；H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与x轴

的交点.

【专题】31：数形结合；535：二次函数图象及其性质.

【分析】利用二次函数图象与系数的关系，结合图象依次对各结论进行判断.

【解答】解：：抛物线y=ax2+bx+c（aWO）与无轴交于点（-3,0）,其对称轴为直线x

~2

，抛物线y=ax2+bx+c（a#0）与x轴交于点（-3,0）和（2,0）,且

由图象知：a<0,c>0,b<Q

abc>0

故结论①正确；

:抛物线y=o?+bx+c（aWO）与x轴交于点（-3,0）

9a-3b+c=0

\'a=b

・・c~~~6〃

.•・3〃+c=-3〃>0

故结论②正确；

,当尤<-L时，y随尤的增大而增大；当时，y随尤的增大而减小

22

结论③错误；

*.*cj?+bx+a=0,c>0

—x2+—x+1=0

aa

•・•抛物线》=狈2+法+。（QWO）与x轴交于点（-3,0）和（2,0）

ax,+bx+c=0的两根是-3和2

aa

x2+—x+l=O§P^I：-6，+x+i=0,解得xi=-L,%2——;

aa32

故结论④正确；

2

:当x=」时，y=4ac-b>o

24a

.•“Fc〈0

4a

故结论⑤正确；

:抛物线〉=办2+版+。QW0)与x轴交于点(-3,0)和(2,0),

2

•'•y=ax+bx+c=a(x+3)(x-2)

Vm,n(m<n)为方程〃(x+3)(x-2)+3=0的两个根

.\m,n(m<n)为方程a(x+3)(x-2)=-3的两个根

Am,n(m<n)为函数y=a(x+3)(x-2)与直线y=-3的两个交点的横坐标

结合图象得：m<-3且〃>2

故结论⑥成立；

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y^a^+bx+c(aWO),

二次项系数4决定抛物线的开口方向和大小：当〃>0时，抛物线向上开口；当〃vo时,

抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数〃共同决定对称轴的位置：当〃与人同号

时(即次?>0),对称轴在y轴左；当〃与异号时(即次?V0),对称轴在y轴右；常

数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与工轴交点个数

由△决定：△=B-4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=呈-4改=0时，抛物线

与x轴有1个交点；△=川-4吨<0时，抛物线与x轴没有交点.

二、填空题(共7小题，每小题3分，满分21分)

11.(3分)(2019•齐齐哈尔)预计到2025年我国高铁运营里程将达到38000公里.将数据

38000用科学记数法表示为3.8X1()4.

【考点】H：科学记数法一表示较大的数.

【专题】511：实数.

【分析】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为“X10”的形式，其

中lW|a|<10,”为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值.

【解答】解：38000用科学记数法表示应为3.8X1（）4,

故答案为：3.8X104.

【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为aX10〃的形式，其

中〃为整数，表示时关键要正确确定。的值以及”的值.

12.（3分）（2019•齐齐哈尔）如图，已知在△ABC和△。所中，/B=NE,BF=CE,点

B、F、C、E在同一条直线上，若使△ABC咨ADE尸,则还需添加的一个条件是48=

DE（只填一个即可）.

【考点】KB：全等三角形的判定.

【专题】553：图形的全等.

【分析】添加由8尸=CE推出BC=EF,由SAS可证△ABCgZkOEF.

【解答】解：添加

•：BF=CE,

：.BC=EF,

'AB=DE

在△ABC和△。斯中，，NB=/E，

BC=EF

:.AABC名ADEF（SAS）；

故答案为：AB=DE.

【点评】本题考查了全等三角形的判定，关键是注意：全等三角形的判定定理有SAS,

ASA,AAS,SSS,答案不唯一.

13.（3分）（2019•齐齐哈尔）将圆心角为216°,半径为5cwi的扇形围成一个圆锥的侧面,

那么围成的这个圆锥的高为

【考点】MP：圆锥的计算.

【专题】55C：与圆有关的计算.

【分析】圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等

于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2m=216兀X5,解

180

得厂=3,然后根据勾股定理计算出圆锥的高.

【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为厂，

根据题意得2政=216兀乂5,解得厂=3,

180

所以圆锥的=Q52.32=4（cm）.

故答案为4.

【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆

锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.

14.（3分）（2019•齐齐哈尔）关于尤的分式方程空亘-'=3的解为非负数，则。的取

X-11-X

值范围为aW4且.

【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式.

【专题】522：分式方程及应用；524：一元一次不等式（组）及应用.

【分析】根据解分式方程的方法和方程汩_-J_=3的解为非负数，可以求得a的取

X-11-X

值范围.

【解答】解：丝马-，=3,

X-11-X

方程两边同乘以X-1,得

2x-。+1—3（x-1）,

去括号，得

2x-a+l=3x-3,

移项及合并同类项，得

X~~4~4,

:关于x的分式方程红豆-二一=3的解为非负数，尤-1W0,

X-11-X

.[4-a>0

1（4~a）-1卉0

解得，aW4且

故答案为:°W4且aW3.

【点评】本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确解分式方

程的方法.

15.（3分）（2019•齐齐哈尔）如图，矩形ABOC的顶点8、C分别在x轴，y轴上，顶点A

在第二象限，点2的坐标为（-2,0）.将线段OC绕点。逆时针旋转60°至线段0。，

若反比例函数y=K1WO）的图象经过A、。两点，则％值为-竺史.

【考点】G4：反比例函数的性质；G6：反比例函数图象上点的坐标特征；LB：矩形的性

质；R7：坐标与图形变化-旋转.

【专题】534：反比例函数及其应用.

【分析】过点D作DELx轴于点E,由点B的坐标为（-2,0）知OC=AB=-K,由

旋转性质知。。=0C=-&、ZDOC=600,据此求得OE=OZ）cos30°=-^-k,DE=

24

OZ）sin30°=-叵k,即。（-1%代入解析式解之可得.

444

【解答】解：过点D作无轴于点E,

:点B的坐标为（-2,0）,

'.AB=-—,

2

oc=-K,

2

由旋转性质知OO=OC=-k、ZCOD=6Q°,

：.ZD0E^3Q°,

；.。£；=工。。=-4OE=ODcos30。=叵乂（-K）=-次

24224

即。（-1鼠-LB,

44

•・•反比例函数y=k（kWO）的图象经过。点，

x

:.k=（-区k）（-1左）=叵看

4416

解得：左=0（舍）或％=-吆应，

3

故答案为：-空应.

3

【点评】本题主要考查反比例函数图象上的点，解题的关键是表示出点。的坐标.

16.（3分）（2019•齐齐哈尔）等腰△ABC中，BDLAC,垂足为点。，且则等

2

腰aABC底角的度数为15°或45°或75°.

【考点】KH：等腰三角形的性质；KO：含30度角的直角三角形.

【专题】554：等腰三角形与直角三角形.

【分析】分点A是顶点、点A是底角顶点、AO在△ABC外部和在△ABC内部三种

情况，根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质计算.

【解答】解：①如图1,当点A是顶点时，

：AB=AC,AD1BC,

：.BD=CD,

：AO=J_BC,

2

；.AD=BD=CD,

在中，ZB=ZBAD=^-X（180°-90°）=45°；

②如图2,当点A是底角顶点，且在AABC外部时,

•：AD=-BC,AC=BC,

2

：.AD=^-AC,

2

：.ZAC£>=30°,

/.ZBAC=ZABC=1-X30°=15°；

2

③如图3,当点A是底角顶点，且A。在AABC内部时,

•：AD=^BC,AC=BC,

2

：.AD=^.AC,

2

AZC=30°,

：.ZBAC^ZABC=^-(180°-30°)=75

2

故答案为：15°或45°或75°.

D

【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，

30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键.

17.（3分）（2019•齐齐哈尔）如图，直线/：y=1x+l分别交无轴、y轴于点A和点4，

3

过点4作481_L/,交x轴于点8i，过点S作BI&LX轴，交直线/于点&2；过点上

作人2历，/，交无轴于点历，过点历作&轴，交直线/于点A?，依此规律…，若

图中阴影△4。21的面积为Si，阴影△山⑤比的面积为阴影△出历出的面积为Sy,

【考点】38：规律型：图形的变化类；F5：一次函数的性质；F8：一次函数图象上点的

坐标特征.

【专题】33：函数思想；38：猜想归纳；4A：面积法；533：一次函数及其应用.

【分析】由直线/：y=1+l可求出与x轴交点A的坐标，与y轴交点4的坐标，进

3

而得到OA,04的长，也可求出RtZk0441的各个内角的度数，是一个特殊的直角三角

形，以下所作的三角形都是含有30°角的直角三角形，然后这个求出Si、S2、S3、叉、……

根据规律得出Sn.

【解答】解：直线/：y=YXx+l,当x=0时，y=l；当y=0时，x=-如

3

.•.A(-V3，0)A1(0,1)

：.ZOAAi=30°

.•.ZOAiBi=30°,

在RtZ\OAiBi中，03I=1・04I=WL,

33

，Si=；OA[.OBi=g；

Z110

同理可求出：A2B1=—,B1B2=&又返

333

.•-52=1A2Bi-BtB2=7X-|X(fX^-)X(1)2:

68

依次可求出：$3=唱义仔)4；S4=^-X(y)；S5=^-X(y)……

因此：£=与义得)2n"2

【点评】考查一次函数的图象和性质、解直角三角形、三角形的面积、以及找规律归纳

总结结论的能力，由于数据较繁琐、计算量交点，容易出现错误；因此在方法正确的前

提下，认真正确的计算则显得尤为重要.

三、解答题(共7小题，满分69分)

18.(10分)(2019•齐齐哈尔)(1)计算：(工)-^712-6tan60°+|2-4代|

3

(2)因式分解：a2+1-2a+4(a-1)

【考点】2C：实数的运算；56：因式分解-分组分解法；6F：负整数指数累；T5：特殊

角的三角函数值.

【专题】512：整式.

【分析】(1)根据实数运算的法则计算即可；

(2)根据因式分解-分组分解法分解因式即可.

【解答】解：(1)(^)'+V12-6tan60°+|2-4«|=3+2«-6义日+4氏-2=1；

3

(2)a+l-2a+4(a-1)=(fl-1)2+4(a-1)=(a-1)(«-1+4)=(a-1)(a+3).

【点评】本题考查了分解因式-分组分解法，实数的运算，熟记公式和法则是解题的关

键.

19.(5分)(2019•齐齐哈尔)解方程：x-+6x=-7

【考点】A6：解一元二次方程-配方法.

【专题】523：一元二次方程及应用.

【分析】方程两边都加上9,配成完全平方式，再两边开方即可得.

【解答】解：'：x+6x=-7,

.'.^+6x+9—-7+9,即(x+3)2=2,

贝kr+3=土量，

.'.x=-3±

即尤1=-3+V2>尤2=-3-V2-

【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方

法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的

方法是解题的关键.

20.(8分)(2019•齐齐哈尔)如图，以△ABC的边BC为直径作。。，点A在。。上，点。

在线段BC的延长线上，AD=AB,/。=30°.

(1)求证：直线是O。的切线；

(2)若直径BC=4,求图中阴影部分的面积.

【考点】ME：切线的判定与性质；MO：扇形面积的计算.

【专题】559：圆的有关概念及性质.

【分析】（1）连接。4,则得出/COA=2/B=2NO=60°,可求得/04。=90°,可

得出结论；

（2）可利用△OA。的面积-扇形AOC的面积求得阴影部分的面积.

【解答】（1）证明：连接。A,则NC04=2N3,

'：AD=AB,

.../B=ND=30°,

：.ZCOA=60°,

AZOAD=180°-60°-30°=90°,

：.OA±AD,

即cr•是O。的切线；

(2)解：：BC=4,

：.OA=OC=2,

在中，。4=2,/。=30°,

/.OD=2OA=4,AD=2M，

所以S^OAD=—OA-AD=^-X2X2-J3=2-/3,

22

因为/COA=60°,

所以S扇形COA=60£；2=&,

3603

所以S阴影=Sa04D-S扇形COA=2A/5-2兀.

【点评】本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，证明切线时，连接过切点的半径

是解题的关键.

21.（10分）（2019•齐齐哈尔）齐齐哈尔市教育局想知道某校学生对扎龙自然保护区的了解

程度，在该校随机抽取了部分学生进行问卷，问卷有以下四个选项：A.十分了解；B.T

解较多：C.了解较少：D.不了解（要求：每名被调查的学生必选且只能选择一项）.现

将调查的结果绘制成两幅不完整的统计图.请根据两幅统计图中的信息回答下列问题：

(1)本次被抽取的学生共有100名;

(2)请补全条形图；

(3)扇形图中的选项“C.了解较少”部分所占扇形的圆心角的大小为108°；

(4)若该校共有2000名学生，请你根据上述调查结果估计该校对于扎龙自然保护区“十

分了解”和“了解较多”的学生共有多少名？

【考点】V5：用样本估计总体；VB：扇形统计图；VC：条形统计图.

【专题】541：数据的收集与整理.

【分析】(1)本次被抽取的学生共30+30%=100(名)；

(2)100-20-30-10=40(名)据此补全；

(3)扇形图中的选项“C.了解较少”部分所占扇形的圆心角360°X30%=108°；

(4)该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生：2000X空±%=1200

100

(名).

【解答】解：(1)本次被抽取的学生共30・30%=100(名)，

故答案为100；

(2)100-20-30-10=40(名)，

补全条形图如下：

(3)扇形图中的选项“C.了解较少”部分所占扇形的圆心角

360°义30%=108

故答案为108；

(4)该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生:

2:0+4

2000X0=1200(:名)，

100

答：该校对于扎龙自然保护区“十分了解”和“了解较多”的学生共1200名.

【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用.读懂统计图，从不同的统

计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据;

扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小.

22.（10分）（2019•齐齐哈尔）甲、乙两地间的直线公路长为400千米.一辆轿车和一辆货

车分别沿该公路从甲、乙两地以各自的速度匀速相向而行，货车比轿车早出发1小时，

途中轿车出现了故障，停下维修，货车仍继续行驶.1小时后轿车故障被排除，此时接到

通知，轿车立刻掉头按原路原速返回甲地（接到通知及掉头时间不计）.最后两车同时到

达甲地，已知两车距各自出发地的距离y（下米）与轿车所用的时间无（小时）的关系如

图所示，请结合图象解答下列问题：

（1）货车的速度是50千米/小时;轿车的速度是80千米/小时;r值为3.

（2）求轿车距其出发地的距离y（千米）与所用时间无（小时）之间的函数关系式并写

出自变量x的取值范围；

（3）请直接写出货车出发多长时间两车相距90千米.

八W科

400-------------------------P

时

【考点】FH：一次函数的应用.

【专题】533：一次函数及其应用.

【分析】（1）观察图象即可解决问题；

（2）分别求出得A、B、C的坐标，运用待定系数法解得即可；

（3）根据题意列方程解答即可.

【解答】解：（1）车的速度是50千米/小时；轿车的速度是：4004-（7-2）=80千米/

小时；1=240+80=3.

故答案为:50；80；3；

(2)由题意可知：A(3,240),B(4,240),C(7,0),

设直线0A的解析式为y=心尤(所WO),

，y=8Ox(0WxW3),

当3WxW4时，y—240,

设直线BC的解析式为>=切+6(20),

把8(4,240),C(7,0)代入得:

4k?+b=240k=-80

,解得2

7k2+b=0>560

•'•y--80+560,

’80x(04x<3)

240(3<x<4)

.-80x+560(4<x<7)

(3)设货车出发x小时后两车相距90千米，根据题意得：

50x+80(x-1)=400-90或50x+80(x-2)=400+90,

解得尤=3或5.

答：货车出发3小时或5小时后两车相距90千米.

【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法，解题的关键是熟练掌握待定系数法确

定函数的解析式.

23.(12分)(2019•齐齐哈尔)综合与实践

折纸是同学们喜欢的手工活动之一，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折

纸的过程还蕴含着丰富的数学知识.

折一折：把边长为4的正方形纸片ABCD对折，使边AB与CD重合，展开后得到折痕

EF.如图①：点、M为CF上一点,将正方形纸片ABCD沿直线DM折叠，使点C落在

EF上的点N处，展开后连接ON,MN,AN,如图②

图①图②

(一)填一填，做一做:

(1)图②中，ZCMD=75°

线段NF=4-2

(2)图②中，试判断△AND的形状，并给出证明.

剪一剪、折一折：将图②中的△AND剪下来，将其沿直线G8折叠，使点A落在点4

处，分别得到图③、图④.

(二)填一填

(3)图③中阴影部分的周长为.

(4)图③中，若NA，GN=80°,则/A，HD=40°.

(5)图③中的相似三角形(包括全等三角形)共有4对;

(6)如图④点A'落在边A©上，若耳义=皿，则幽=细旦(用含山，”的代

A'DnAH-/2n—

数式表示).

【考点】SO：相似形综合题.

【专题】152：几何综合题；553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形；556：

矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称；55D：图形的相似.

【分析】(1)由折叠的性质得，四边形是矩形，得出EE=C。，NDEF=90°,

DE=AE=^AD,由折叠的性质得出。N=CD=2Z)E,MN=CM,得出/£Z)N=60°,得

2

出/CZ)M=/NOM=15°,EN=邛DN=2M，因此NCAffl=75°,NF=EF-EN=4

-273；

(2)证明△AEN丝ZYDEN得出AN=QM即可得出是等边三角形；

(3)由折叠的性质得出A'G=AG,A'H=AH,得出图③中阴影部分的周长

的周长=12；

(4)由折叠的性质得出GH,ZAHG^ZA'HG,求出/AG8=50°,

得出/A"G=NA'HG=70°,即可得出结果；

(5)证明△NGMSZ\A'NMS丛DNH,即可得出结论；

(6)=cz,则AN=a相，A'D^an,证明△?!'GH^^HA1D,得出A^_2_=

AyDnA'H

设AG=AG=x,A'H=AH=y,贝！JGN=4-x,DH=4-y,得出三

DHA7Dy4-y

=4-x解得.),,彳导出AG=airrf~4=airrl~airman=2iirHi

an4+anAH4+anairH-an+annri-2n

【解答】解：(1)由折叠的性质得，四边形CL出方是矩形，

：.EF=CD,ZDEF=90°,DE=AE=^-AD,

2

:将正方形纸片ABC。沿直线。M折叠，使点C落在£尸上的点N处，

：.DN=CD=2DE,MN=CM,

:.NEDN=60°,

/.ZCDM=ZNDM=15°,EN=§DN=20

：.ZCMD=15°,NF=EF-EN=4-2禽;

故答案为：75°,4-273；

(2)△AN。是等边三角形，理由如下：

'AE=DE

在4AEN与ADEN中，，ZAEN=ZDEN=90°，

,EN=EN

:AAEN”二DEN(SAS),

：.AN=DN,

■:NEDN=6S,

.,.△AND是等边三角形;

(3):将图②中的△ANZ)沿直线GW折叠，使点A落在点A'处，

；.A'G=AG,A'H=AH,

...图③中阴影部分的周长=的周长=3X4=12；

故答案为：12；

(4),・,将图②中的△AND沿直线G”折叠，使点A落在点A'处，

AZAGH=ZA'GH,ZAHG=ZAfHG,

VZA'GN=80°,

AZAGH=50°,

ZAHG=ZA'HG=70°，

：.ZA'HD=180°-70°-70°=40°；

故答案为：40；

(5)如图③，

=60°,

ZNMG=ZA'MN,ZA'NM=ZDNH,

:.ANGMsAA'NMsADNH,

VAAGH^AA7GH

图③中的相似三角形(包括全等三角形)共有4对，

故答案为：4；

(6)设卢—电=四=。,则AN=a〃z,AD—an,

A'Dn

；NN=/D=NA=NA'=60°,

AZNA'G+ZA'GN=/NA'G+ZDA'H=120°,

；.NA'GN=/DA'H,

：.AAZGHsD,

.A7G_A7N_GN

"AyHDHh'D’

设A'G=AG=x,A'H=AH=y,则GN=4-x,DH=4-y,

•.•-x--_--a-m-_-4---x-,

y4力an

解得：片理&,

4+an

・AG_airri-4_airH-airH-an_2irrl-n

・・——-----------------------——二―；

AH4+anairri-an+anirri-2n

故答案为：生也.

nH-2n

图③

【点评】本题是相似形综合题目，考查了相似三角形的判定与性质、折叠变换的性质、

正方形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性

质等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形相似是解题的关键.

24.（14分）（2019•齐齐哈尔）综合与探究

如图，抛物线y=/+6x+c与无轴交于A、8两点，与y轴交于C点，。4=2,OC=6,

连接AC和BC.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点。在抛物线的对称轴上，当△AC£＞的周长最小时，点。的坐标为（[，-5）.

（3）点E是第四象限内抛物线上的动点，连接CE和BE.求△BCE面积的最大值及此

时点E的坐标；

（4）若点M是y轴上的动点，在坐标平面内是否存在点M使以点A、C、M、N为顶

点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

【考点】HF：二次函数综合题.

【专题】153：代数几何综合题；2C：存在型；32：分类讨论；521：一次方程（组）及

应用；533：一次函数及其应用；535：二次函数图象及其性质；554：等腰三角形与直角

三角形；556：矩形菱形正方形；558：平移、旋转与对称.

【分析】（1）由。4=2,OC=6得至I]A（-2,0）,C（0,-6）,用待定系数法即求得抛

物线解析式.

（2）由点。在抛物线对称轴上运动且A、2关于对称轴对称可得，AD=BD,所以当点

C、D、B在同一直线上时，△ACD周长最小.求直线BC解析式，把对称轴的横坐标代

入即求得点。纵坐标.

（3）过点E作EG±x轴于点G,交直线BC与点F,设点E横坐标为t,则能用t表示

EF的长.△8CE面积拆分为所与△（7跖的和，以Eb为公共底计算可得S^BCE=—EF

2

•02,把含f的式子代入计算即得到SMCE关于r的二次函数，配方即求得最大值和r的

值，进而求得点E坐标.

(4)以AC为菱形的边和菱形的对角线进行分类画图，根据菱形邻边相等、对边平行的

性质确定点N在坐标.

【解答】解：(1)'：OA=2,0C=6

：.A(-2,0),C(0,-6)

抛物线y=x+bx+c过点A、C

,,4-2b+c=0解得：产-1

10+0+c=-6Ic=-6

...抛物线解析式为y=x2-x-6

(2),当y=0时，x-x-6=0,解得：xi=-2,尤2=3

：.B(3,0),抛物线对称轴为直线苫=心也以-

22

点D在直线x=L上，点A、B关于直线x=2■对称

22

.'.X£>=—,AD=BD

2

当点3、D、C在同一直线上时，CAACD=AC+AO+CO=AC+BO+CO=AC+BC最小

设直线BC解析式为y=kx-6

•9.3k-6=0,角军得：k=2

・,・直线3C：y=2x-6

.\yo=2X—-6=-5

2

：.D(1，-5)

2

故答案为：(工，-5)

2

(3)过点E作EGLx轴于点G,交直线8C与点尸

设E(3?-/-6)(0<?<3),贝1］尸(32/-6)

：.EF=2t-6-(?-/-6)=-f+3t

:•SABCE=SABEF+SACEF=LEF・BG+LEF，OG=LEF(BG+OG)=1所・。2=1X3(-

22222

P+3力=-—(?--)2+—

228

.•.当r=W时，△BCE面积最大

2

._/3\23乙—21

.>yE=（―）———6=—-

224

...点E坐标为（工，-2L）时，△BCE面积最大，最大值为生.

248

(4)存在点N,使以点A、C、M.N为顶点的四边形是菱形.

VA(-2,0),C(0,-6)

,1-AC=V22+62=2V10

①若AC为菱形的边长，如图3,

贝|JMN〃AC且，W=AC=2V10

:.NI(-2,2丁五),M(-2,-2^/15)，N3(2,0)

I

②若AC为菱形的对角线，如图4,贝JAN4〃CM4,AN4=CN4

设N4(-2,n)

_n=^22+(n+6)2

解得：〃=-妆

3

：.N4(-2,一4

3

综上所述，点N坐标为(-2,2^/10)>(-2,-2A/10),(2,0),(-2,-妆).

3

V

图1

【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，轴对称求最短路径，一次函数的图象与性

质，一次方程（组）的解法，菱形的性质，勾股定理.第（4）题对菱形顶点存在性的判

断，以确定的边AC进行分类，再画图讨论计算.

考点卡片

1.相反数

（1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.

（2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互

为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等.

（3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“-”号结果为负，有偶数个“-”

号，结果为正.

（4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“-如。的相反

数是-a,的相反数是-（机+"）,这时机+〃是一个整体，在整体前面添负号时，要用

小括号.

2.科学记数法一表示较大的数

（1）科学记数法：把一个大于10的数记成aX10"的形式，其中a是整数数位只有一位的

数，〃是正整数，这种记数法叫做科学记数法.【科学记数法形式：oXIO",其中lWa<10,

〃为正整数

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数

位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数加

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用

此法表示，只是前面多一个负号.

3.平方根

（1）定义：如果