辽宁省丹东市东港区第五中学2022-2023学年上学期九年级数学期末模拟测试卷

辽宁省丹东市东港区第五中学2022-2023学年第一学期九年级数学期末模拟测试卷（附答案）一．选择题（满分30分）1．下列几何体均由4个大小相同的小立方体搭成，其中主视图与左视图不同的是（）A． B． C． D．2．已知m、n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2019 B．2020 C．2021 D．20223．在今年“十一”期间，小康和小明两家准备进行徒步活动，从塘朗山、阳台山，梧桐山三个地点中分别选择一个地点，他们两家去同一地点徒步的概率是（）A． B． C． D．4．下列说法：（1）对角线互相垂直的四边形是菱形；（2）对角线相等的平行四边形是矩形；（3）对角线互相垂直平分的四边形是正方形；（4）两组对角相等的四边形是平行四边形；其中正确的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．45．若＝＝＝且b﹣3d+2f≠0，则的值为（）A． B． C． D．6．一次函数y＝ax+1与反比例函数y＝﹣在同一坐标系中的大致图象是（）A． B． C． D．7．如图，在一次数学实践活动中，小明同学要测量一座与地面垂直的古塔AB的高度，他从古塔底部点B处前行30m到达斜坡CE的底部点C处，然后沿斜坡CE前行20m到达最佳测量点D处，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，已知斜坡的斜面坡度i＝1：，且点A，B，C，D，E在同一平面内，小明同学测得古塔AB的高度是（）A．（10+20）m B．（10+10）m C．20m D．40m8．某商品现在的售价为每件35元，每天可卖出50件．市场调查反映：如果调整价格，每降价1元，每天可多卖出2件．请你帮助分析，当每件商品降价多少元时，可使每天的销售额最大，求最大销售额是（）A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元9．如图（1）所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P，Q同时从点B出发，点P沿折线BE﹣ED﹣DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒．设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2．已知y与t的函数关系图象如图（2）（曲线OM为抛物线的一部分），则下列结论：①AD＝BE＝5；②；③当0＜t≤5时，；④当秒时，△ABE∽△QBP；其中正确的结论是（）A．①②③ B．②③ C．①③④ D．②④10．如图，边长为4的正方形ABCD内接于⊙O，点E是上的一动点（不与A，B重合），点F是上的一点，连接OE，OF，分别与AB，BC交于点G，H，且∠EOF＝90°，有以下结论：①AE＝BF；②△OGH是等腰三角形；③四边形OGBH的面积随着点E位置的变化而变化；④△GBH周长的最小值为4+．其中正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（满分15分）11．若关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数解，则m的取值范围是：．12．一个不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，这些球除颜色外都相同，每次摸出1个球，进行大量的球试验后，发现摸到红球的频率在0.4附近摆动，据此估计摸到红球的概率为．13．如图，AD为Rt△ABC斜边的中线，∠ADE＝90°，BE＝4，AC＝3，则△ADE的面积为．14．如图，A、B两点是反比例函数y1＝与一次函数y＝2x的交点，点C在反比例函数y2＝上，连接OC，过点A作AD⊥x轴交OC于点D，连接BD．若AD＝BD，OC＝3OD，则k＝．15．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，ED＝EC，DE交AC于点K，若EC＝10，tan∠AED＝，则AK＝．三．解答题（满分55分）16．解下列方程：（1）2x2﹣5x+1＝0；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x．17．计算下列各题：（1）cos30°+sin45°（2）18．北京举行了第24届冬季奥林匹克运动会，成为奥运史上第一个举办过夏季奥林匹克运动会和冬季奥林匹克运动会的城市．如图分别是冬奥会两个吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”、会徽“冬梦”、会徽“飞跃”．小张制作了4张正面分别印有这四个图案的卡片（卡片的形状、大小、颜色和质地等都相同，这四张卡片分别用A，B，C，D四个字母表示），并将这4张卡片背面朝上洗匀．A“冰墩墩”B“雪容融”C“冬梦”D“飞跃”（1）小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“冰墩墩”的概率是；（2）小张从这4张卡片中任意抽出一张卡片，再从剩下的卡片中任意抽出一张卡片，请利用树状图或表格求抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物的概率．19．如图，AB是⊙O的直径，N是⊙O上一点，M是的中点，连接AN，BM，交于点D．连接NM，OM，延长OM至点C，并使∠CAN＝2∠N．AN与OC交于点E．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若DM＝10，tanN＝，求⊙O的半径．20．关于x的方程x2﹣（2k﹣1）x+k2﹣2k+3＝0有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两个实数根分别为x1、x2，存不存在这样的实数k，使得|x1|﹣|x2|＝？若存在，求出这样的k值；若不存在，说明理由．21．如图①，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B两点，与y轴交于点C（0，2），对称轴为直线x＝与x轴交于点D．（1）求抛物线的函数表达式；（2）在对称轴上是否存在一点M，使得∠AMD＝∠ACB．若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图②，过点B作直线BC的垂线交y轴交于点E．点F是直线BE上的动点，连接CF．过点F作CF的垂线段交y轴于点G．作△CFG关于直线BE的对称图形△C′FG′．直线C′G′与直线CF交于点M，直线CG与直线C′F交于点N，连接MN．当S△MEN＝2时，求线段BF的值．22．数学探究一直是数学学习的极重要的方法，新课标对此有细致阐述．小明对圆中定值与最值问题十分感兴趣，为此他做了一个简单的探究．如图，在直角坐标系中，圆心M在x轴正半轴上，点P为⊙M第一象限内的一个动点，据此：【前提条件】假若sin∠ABO＝，r＝5；【探究规律】如图1，连接DP并延长交y轴于点E，那么在P点移动过程中，是否有DP•DE为定值？若为定值，求出来定值；若不是，求出其最小值．【归纳总结】如图2，小明发现做题越来越有意思，于是作∠ADH＝2∠ABO，BH⊥DH，交x轴于点F，连接PF，OP．点G为线段OP的三等分点（OG＜OP）．以点O为圆心，以线段OG为半径作⊙O，设⊙O半径为r，在点P移动过程中，是否有r2（17﹣15cos∠FPO）为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请求出其最小值．【拓展提升】如图3，若圆心和半径大小均不固定，那么点P，A，B，C，D，M均为动点，作PT∥y轴，交动圆M于点T．Q，R两点为直线PT右侧的两个动点，并且PT＝QR．那么在点P运动过程中，是否有为定值？若为定值，求出这个定值；若不为定值，请求出其最小值．参考答案一．选择题（满分30分）1．解：选项A、选项B、选项C、选项D中的组合体的主视图与左视图分别为：其中主视图与左视图不同的是选项B中的组合体，故选：B．2．解：∵m是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的实数根，∴m2+m﹣2022＝0，∴m2+m＝2022．∵m，n是一元二次方程x2+x﹣2022＝0的两个实数根，∴m+n＝﹣1，∴m2+2m+n＝m2+m+（m+n）＝2022﹣1＝2021．故选：C．3．解：塘朗山、阳台山，梧桐山分别用A、B、C表示，根据题意画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中他们两家抽到同一地点的结果数为3，所以两家去同一地点的概率为＝，故选：B．4．解：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故（1）错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故（2）正确；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，不一定是正方形，故（3）错误两组对角分别相等的四边形是平行四边形，故（4）正确；即正确的个数是2，故选：B．5．解：∵＝＝＝，∴b＝3a，d＝3c，f＝3e．∴＝．故选：D．6．解：分两种情况：（1）当a＞0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、三象限，反比例函数y＝﹣图象在第二、四象限，无选项符合；（2）当a＜0，时，一次函数y＝ax+1的图象过第一、二、四象限，反比例函数y＝﹣图象在第一、三象限，故B选项正确．故选：B．7．解：过D作DF⊥BC于F，DH⊥AB于H，∴DH＝BF，BH＝DF，∵斜坡的斜面坡度i＝1：，∴＝1：，设DF＝xm，CF＝xm，∴CD＝＝2x＝20m，∴x＝10，∴BH＝DF＝10m，CF＝10m，∴DH＝BF＝（10+30）m，∵∠ADH＝30°，∴AH＝DH＝×（10+30）＝（10+10）m，∴AB＝AH+BH＝（20+10）m，故选：A．8．解：设每件商品降价x元，每天的销售额为y元．依题意有：y＝（35﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+20x+1750＝﹣2（x﹣5）2+1800，∵﹣2＜0，∴当x＝5时，y最大，最大值为1800，∴最大销售额为1800元．故选：C．9．解：根据图（2）可得，当点P到达点E时，点Q到达点C，∵点P、Q的运动的速度都是1cm/秒，∴BC＝BE＝5，∴AD＝BE＝5，故①小题正确；又∵从M到N的变化是2，∴ED＝2，∴AE＝AD﹣ED＝5﹣2＝3，在Rt△ABE中，AB＝＝＝4，∴cos∠ABE＝＝，故②小题错误；过点P作PF⊥BC于点F，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠PBF，∴sin∠PBF＝sin∠AEB＝＝，∴PF＝PBsin∠PBF＝t，∴当0＜t≤5时，y＝BQ•PF＝t•t＝t2，故③小题正确；当t＝秒时，点P在CD上，此时，PD＝﹣BE﹣ED＝﹣5﹣2＝，PQ＝CD﹣PD＝4﹣＝，∵＝，＝＝，∴＝，又∵∠A＝∠Q＝90°，∴△ABE∽△QBP，故④小题正确．综上所述，正确的有①③④．故选：C．10．解：如图，∵∠AOB＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴＝，∴AE＝BF，故①正确，∵∠EOF+∠ABC＝180°，∴点O、G、B、H共圆，∴∠OHG＝∠ABO＝45°，∠OGH＝∠CBO＝45°，∴OG＝OH，故②正确；∵OA＝OB，OG＝OH，∠AOG＝∠BOH，∴△AOG≌△BOH（SAS），∴四边形OGBH的面积等于三角形AOB的面积，故③错误，∵△GOH是等腰直角三角形，∴当OG最小时，△GOH的周长最小，∴当OH⊥BC时，周长最小是：2OK+OK＝4+2，故④错误，故选：B．二．填空题（满分15分）11．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+4x+1＝0有实数根，∴Δ＝16﹣4（m﹣3）×1≥0且m﹣3≠0，解得：m≤7且m≠3．故答案为：m≤7且m≠3．12．解：∵每次摸出1个球，进行大量的摸球试验后，发现摸到红球的频率在0.4附近摆动，∴用频率估计概率可知：摸到红球的概率为0.4．故答案为：0.4．13．解：延长ED到点F，使得DF＝ED，连接CF，AF，如图所示：∵AD为Rt△ABC斜边的中线，∴AD＝BD＝CD，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴∠DCF＝∠B，CF＝BE，∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∴∠ACF＝90°，∵BE＝4，AC＝3，∴CF＝4，根据勾股定理，得AF＝5，∵∠ADE＝90°，DE＝FD，∴AD垂直平分线段EF，∴AE＝AF＝5，∴AB＝4+5＝9，∴△ABC的面积＝＝，∴△ABD的面积＝＝，∵AE：AB＝5：9，∴△AED的面积＝＝，故答案为：．14．解：联立方程，解得，，∴点A坐标为（﹣，﹣2），点B坐标为（，2），∵A，B关于原点对称，∴O为AB中点，又∵AD＝BD，∴点D在线段AB的垂直平分线上，∴CO⊥AB，又∵AH⊥x轴，∴∠AOH+∠OAH＝∠AOH+∠COH＝90°，∴∠OAH＝∠COH，作CE⊥x轴于点E，∵OC＝3OD，点D横坐标为﹣，∴点C横坐标为﹣3，∵tan∠OAH＝tan∠COH＝＝＝，∴CE＝OE＝，∴点C坐标为（﹣3，），∴k＝﹣3×＝，故答案为：．15．解：过点K作KM⊥EC，过D作DN∥AC，设KM＝m，∠BED＝∠α∵ED＝EC＝10，∴∠ECD＝∠EDC＝∠B+∠α，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B，∴∠ECA＝∠AED，∵tanα＝，∴CM＝2m，KC＝m，∵DN∥AC，D是BC的中点，∴ND＝AC，∠EAC＝∠END，EC＝ED，∴△EAC≌△DNE（AAS），∴AE＝ND，∵AD⊥BC，AB＝AC，∴ND＝AB＝AN＝BN，∴BN＝AN＝AE，∴BN+AN＝AN+AE，即AB＝NE，∴S△ABD＝S△EDN，又∵△NDE≌△AEC，∴S△NDE＝S△AEC，∴SABD＝S△EDN＝S△AEC＝S，∴S△EBC＝3S，∵D为BC中点，∴S△DEC＝S△EBC＝S，同理可得S△AED＝S△△EDN＝S，∴AK：CK＝S△AED：S△DEC＝S：S＝3：1，∴4AK＝AC，∵AC＝AK+CK，∴AK＝CK＝，∴K是ED的中点，∴EK＝5，在Rt△EKM中，EM＝10﹣2m，KM＝m，∴52＝m2+（10﹣2m）2，∴m＝3或m＝5（舍）∴AK＝；故答案为；三．解答题（满分55分）16．解：（1）2x2﹣5x+1＝0，∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×1＝25﹣8＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝；（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x，3x（x﹣1）﹣2（1﹣x）＝0，3x（x﹣1）+2（x﹣1）＝0，（x﹣1）（3x+2）＝0，x﹣1＝0或3x+2＝0，x1＝1，x2＝﹣．17．（1）解：原式＝＝＝，（2）解：原式＝＝＝．18．解：（1）小张从中随机抽取一张卡片上的图标是“冰墩墩”的概率是；故答案为：；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物的结果数为2，所以抽出的两张卡片上的图案都是吉祥物的概率＝＝．19．（1）证明：连接BN，∵AB是⊙O的直径，∴∠ANB＝90°，∴∠ABN+∠BAN＝90°，∵M是的中点，∴∠MBN＝∠ABM＝∠ANM＝∠MAN，∴∠ABN＝2∠ANM，∵∠CAN＝2∠ANM，∴∠CAN＝∠ABN，∴∠CAN+∠BAN＝90°，∴AC⊥AB，∴AC是⊙O的切线；（2）解：连接AM，∵AB是⊙O的直径，∴∠AMB＝90°，在RtADM中，DM＝10，tan∠ANM＝tan∠MAE＝＝，∴＝，∴AM＝，∵∠ABM＝∠ANM，∴tan∠ABM＝＝，∴设AM＝3k，BM＝4k，∴AB＝5k，∵AM＝＝3k，∴k＝，∴AB＝5k＝．∴⊙O的半径为．20．解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝[﹣（2k﹣1）]2﹣4（k2﹣2k+3）＝4k﹣11＞0，解得：k＞；（2）存在，∵x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2﹣2k+3＝（k﹣1）2+2＞0，∴将|x1|﹣|x2|＝两边平方可得x12﹣2x1x2+x22＝5，即（x1+x2）2﹣4x1x2＝5，代入得：（2k﹣1）2﹣4（k2﹣2k+3）＝5，解得：4k﹣11＝5，解得：k＝4．21．解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0）、与y轴交于点C（0，2）且对称轴为直线x＝，∴，解得，∴该抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+x+2.（2）存在．如图1，作BH⊥AC于点H，则∠BHC＝90°．∵点B与点A（﹣1，0）关于直线x＝对称，∴B（2，0）；∵C（0，2），∴OA＝1，OB＝OC＝2，∵∠AOC＝∠BOC＝90°，∴AC＝＝，BC＝＝2，由×BH＝（2+1），得BH＝，∴CH＝＝，∴tan∠ACB＝＝＝3；设M（，m），由ADM＝tan∠ACB＝3，得，解得m1＝，m2＝，点M的坐标为（，）或（，）．（3）如图2，点F在y轴左侧．∵OB＝OC＝2，∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°；∵BE⊥BC，∴∠OBE＝∠OEB＝45°，∴OE＝OB＝2；∴E（0，﹣2），∵线段CG与线段C′G′关于直线BE对称，∴直线CG与直线C′G′的交点在直线BE上，这个交点就是点E，∴∠BEC＝∠BEC′＝45°，∴∠MEF＝∠NEF＝45°，∴∠MEN＝90°；∵∠MCE＝∠NC′E，CE＝C′E，∠CEM＝∠C′EN，∴△CEM≌△C′EN（ASA）．∴EM＝EN．由EM•EN＝2，得EM2＝4，∴EM＝2，∴M（﹣2，﹣2）．设直线CM的函数表达式为y＝kx+2，则﹣2k+2＝﹣2，解得k＝2，∴y＝2x+2；设直线BE的函数表达式为y＝px﹣2，则2p﹣2＝0，解得p＝1，∴y＝x﹣2，由，得，∴F（﹣4，﹣6），∴BF＝＝6；如图3，点F在y轴右侧，则M（2，﹣2）．设直线CM的函数表达式为y＝rx+2，则2r+2＝﹣2，解得r＝﹣2，∴y＝﹣2x+2，由，得，∴F（，），∴BF＝＝．综上所述，BF的长为或．22．解：【探究规律】如图1，DP•DE为定值，理由如下：连接AP和BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝∠APD＝90°，∴∠BAO+∠ADB＝90°，∵OB⊥AD，∴∠AOB＝90°，∴∠ABO+∠BAO＝90°，∴∠ADB＝∠ABO，∴AB＝AD•sin∠ADB＝10•sin∠ABO＝10×＝2，∴OA＝AB•sin∠ABO＝2×＝2，∴OD＝AD﹣OA＝8，∵∠ADP＝∠ODE，∠APD＝∠DOE＝90°，∴△ADP∽△EDO，∴＝，∴DP•DE＝AD•OD＝10×8＝80；【归纳总结