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文档简介
8.5空间直线、平面的平行8.5.2平面与平面平行第1课时
知识探究
前面我们已经研究了直线与平面的平行关系,重点是研究了这种关系的判定和性质,接下来自然就应该研究平面和平面平行,同样地,还是先研究判定,再研究性质.
问题1:
我们知道,凡定义都给出了结成立的充要条件,那么用平面与平面平行的定义来判定平面与平面平行可行吗?
思考(1):
根据平面与平面平行的定义,你能得出什么结论?
因为两个平面平行,所以它们之间没有公共点.
因此一个平面内的任意一条直线都与另一个平面没有公共点,即,
如果两个平面平行,那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.
类似于研究直线与平面平行的判定,我们自然想到要把平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题,最后利用线与平面平行的知识来解决.αβ
由于我们没办法完成对平面内的“任意一条直线(或所有直线)”与另一个平面平行进行一一验证.所以这种方法用起来不方便.
而一条直线又不能确定一个平面,因此根据基本事实的推论2和推论3,我们可以试着将“任意一条直线”减少为“两条相交直线”或“两条平行直线”.αaβ结论
如果两个平面平行,那么一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行.
思考(2):
由于平面可以看成是直线组成,那么我们又该如何判定平面与平面平行呢?
如果一个平面内的任意一条直线(即所有直线)都与另一个平面平行,那么这两个平面一定平行.
思考(3):
这个方法好用吗?能将“任意一条直线”减少为的某一条直线吗?由此你想有什么简捷方法吗?
问题2:借助以下两个实例进行观察:
(1)如图a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线,它们都和桌面平行,那么硬纸片和桌面平行吗?
(2)如图,c和d分别是三角尺相邻两边所在直线,它们都和桌面平行,那么三角尺和桌面平行吗?
思考(1):归纳上述情况,你能得到什么样的猜想?并结合长方体模型进行说明。
①如果一个平面内有两条平行直线与另一个平面平行,这两个平面不一定平行。
在平面A′ADD′内画一条与AA′平行的直线EF.
AA′与EF
都平行于平面D′DCC′,但平面A′ADD′与平面D′DCC′相交.
问题2:借助以下两个实例进行观察:
(1)如图a和b分别是矩形硬纸片的两条对边所在直线,它们都和桌面平行,那么硬纸片和桌面平行吗?
(2)如图,c和d分别是三角尺相邻两边所在直线,它们都和桌面平行,那么三角尺和桌面平行吗?
思考(1):归纳上述情况,你能得到什么样的猜想?并结合长方体模型进行说明。
②如果一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行,这两个平面是平行的。
在平面A′B′C′D′内画两条相交直线A′C′
和B′D′.则
A′C′//AC,从而有A′C′//平面ABCD,
同理,B′D′//平面ABCD.
此时,平面ABCD//平面A′B′C′D′.平面与平面平行的判定定理1.内容:
如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.即2.作用:
通过直线与平面间的平行,推证平面与平面平行,即将平面与平面的平行关系转化为直线与平面的平行关系.返回思考(2):说说如何用三种语言对以上的结论②进行表述?αβabP思考(3):你能对这个定理进行证明吗?
思考(4):在实际生活中,工人师傅将水平仪在桌面上交叉放置两次,如果水平仪的气泡两次都在中央,就能判断桌面是水平的,你能说明这么做的道理吗?“将水平仪在桌面上交叉放置两次,气泡都在中央”说明:
桌面内的两条相交直线都与水平面平行.
从而桌面就平行于水平面.
思考(5):
两条相交直线和两条平行直线都可以确定一个平面.为什么可以利用两条相交直线判定两个平面平行,而不能利用两条平行直线呢?你能从向量的角度解释吗?
平面内的两条相交直线代表两个不共线向量,而平面内的任意向量都可以以它们为基底进行线性表示,从而平面内的两条相交直线可以“代表”这个平面上的任意一条直线;
而两条平行直线所表示的向量是共线的,它们不能作为平面内的任意向量的基底,用它们不能“代表”这个平面上的任意一条直线.练习1.下列说法正确的有(
)A.若平面α内的两条直线分别与平面β平行,则α与β平行.B.若平面α内有无数条直线分别与平面β平行,则α与β平行.C.一个平面α内两条不平行的直线都平行于β平面,则α与β
平行.D.若一个平面内的任何一条直线都平行另一个平面,则这
两
两个平面平行.2.判断正误(1)平行于同一条直线的两个平面平行.(
)(2)平行于同一个平面的两个平面平行.(
)(3)一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个
相交.(
)(4)一条直线与两个平行平面中的一个平行,则必与另一个
平行.(
)(5)一个平面中的两条相交直线分别与另一个平面的两条相
交直线平行,则这两个平面平行.(
)✔✔✔例1.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1,
求证:平面AB1D1//平面BC1D.证明:ABDCD1C1B1A1线线平行线面平行面面平行
思考:若P,Q,R分别是CB,CD,CC1的中点,你能证明平面AB1D1//平面PQR吗?例析练习
1.如图,在四棱锥P-ABCD中,E,F,G分别是PC,PD,BC的中点,DC//AB.
求证:平面PAB//平面EFG.∵E,G分别是PC,BC的中点,∴EG//PB.又∵EG⊄平面PAB,PB⊂平面PAB,∴EG//平面PAB,∵E,F分别是PC,PD的中点,∴EF//CD.由AB//CD得EF//AB.∵EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF//平面PAB.又∵EF∩EG=E,EF,EG⊂平面EFG,∴平面EFG//平面PAB.证明:ABDCD1C1B1A1EFMN证明:课堂小结1.平面与平面平行的判定定理的内容是怎样的,如何用三种语言来表述?2.平面与平面平行的判定定理的本质是什么?利用它证明线面平行的关键是什么?
判定定理的本质:线面平行,则面面平行。即
一个平面,如果它的任意直线(或者说所有直线)和另一个平面是平行,则这两个平面就是平行的.
利用它证明面面平行的关键:
在一个平面中找出两条相交的直线与另一个平面平行。3.在探究平面
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