高中数学人教A版选修2-2课件2-2-2反证法1

第二章推理与证明人教版选修2-22.2直接证明与间接证明2.2.2反证法理解反证法的概念，掌握反证法的特点及证题的步骤．自主预习学案学习目标引航重点：反证法概念的理解以及反证法的解题步骤．难点：反证法的应用．重点难点展示思维导航我们在立体几何证题中曾经使用过反证法，那么反证法的定义，反证法的原理，用反证法证题的注意事项是怎样的呢？教材新知导学知识点一：反证法新知导学1．反证法的定义一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出__________，因此说明假设__________，从而证明了原命题__________，这样的证明方法叫做反证法．反证法是间接证明的一种基本方法．矛盾错误成立2．反证法证题的原理(1)反证法的原理是“否定之否定等于肯定”．(2)用反证法解题的实质就是否定结论，导出矛盾，从而说明原结论正确．3．反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾．这个矛盾可以是与__________矛盾，或与________矛盾，或与__________________、事实矛盾等．矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．已知条件假设定义、公理、定理4．反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题——否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)________以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，________的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题．结论结论牛刀小试1．应用反证法推理过程中要把下列哪些作为条件使用(

)①结论的否定，即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义等；④原结论．A．①② B．①②④C．①②③ D．②③[答案]

C[解析]由反证法的规则可知①③④都可作为条件使用，故应选C.2．(2015·郑州市登封高二期中)用反证法证明某命题时，对其结论：“自然数a、b、c中恰有一个偶数”正确的反设为(

)A．a、b、c都是奇数B．a、b、c都是偶数C．a、b、c中至少有两个偶数D．a、b、c中至少有两个偶数或都是奇数[答案]

D[解析]

“自然数a、b、c中恰有一个偶数”即a、b、c中有两奇一偶，故其反面应为都是奇数或两偶一奇或都是偶数，故选D.3．如果两个实数之和为正数，则这两个数(

)A．一个是正数，一个是负数B．两个都是正数C．至少有一个正数D．两个都是负数[答案]

C[解析]假设两个数分别为x1、x2，且x1≤0，x2≤0，则x1＋x2≤0，这与两个数之和为正数矛盾，所以两个实数至少有一个正数，故应选C.4．“任何三角形的外角都至少有两个钝角”的否定应是________．[答案]存在一个三角形，其外角最多有一个钝角[解析]

全称命题的否定形式为特称命题，而“至少有两个”的否定形式为“至多有一个”．故该命题的否定为“存在一个三角形，其外角最多有一个钝角”．5．用反证法证明：若函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，那么方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．[解析]证明：假设方程f(x)＝0在区间[a，b]上至少有两个根，设α、β为其中的两个实根．因为α≠β，不妨设α>β.又因为函数f(x)在区间[a，b]上是增函数，所以f(α)>f(β)．这与假设f(α)＝f(β)＝0矛盾，所以方程f(x)＝0在区间[a，b]上至多只有一个实数根．求证：若两条平行直线a、b中的一条与平面α相交，则另一条也与平面α相交．[分析]

直接证明直线与平面相交比较困难，故可考虑用反证法，注意该命题的反面情形不止一种，需一一驳倒，才能推出命题结论正确．典例探究学案命题方向一：用反证法证明直接证明不易入手的问题[解析]不妨设直线a与平面α相交，b与a平行，从而要证b也与平面α相交．假设b不与平面α相交，则必有下面两种情况：(1)b在平面α内．由a∥b，a⊄平面α，得a∥平面α，与题设矛盾．(2)b∥平面α.则平面α内有直线b′，使b∥b′.而a∥b，故a∥b′，因为a⊄平面α，所以a∥平面α，这也与题设矛盾．综上所述，b与平面α只能相交．[方法规律总结]

用反证法证明数学命题的步骤第一步：审题，分清命题的条件和结论；第二步：反设，做出与命题结论相矛盾的假设；第三步：归谬，由假设出发，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果；第四步：下结论，断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真．已知p3＋q3＝2，求证p＋q≤2.[解析]

假设p＋q>2，那么p>2－q，所以p3>(2－q)3＝8－12q＋6q2－q3，将p3＋q3＝2代入消去p，得6q2－12q＋6<0，即6(q－1)2<0.这与6(q－1)2≥0矛盾，故假设错误．所以p＋q≤2.[点评]本题已知条件为p、q的三次幂，而结论中只有p、q的一次幂，若直接证明，应考虑到用立方根，同时用放缩法，但很难证，故考虑采用反证法．跟踪训练命题方向二：用反证法证明“至多”、“至少”类命题[分析]

本题中，含有“至少存在一个”，可考虑使用反证法．[方法规律总结]

1.当命题中出现“至少……”、“至多……”、“不都……”、“都不……”、“没有……”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法．2．用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大．常用反设词如下：跟踪训练已知：一点A和平面α.求证：经过点A只能有一条直线和平面α垂直．[分析]

命题方向三：用反证法证明存在性、唯一性命题[证明]

根据点A和平面α的位置关系，分两种情况证明．(1)如图，点A在平面α内，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB、AC，那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于经过点A的一条直线ɑ.因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，a⊂α，所以AB⊥a，AC⊥a，在平面β内经过点A有两条直线都和直线a垂直，这与平面几何中经过直线上一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．(2)如图，点A在平面α外，假设经过点A至少有平面α的两条垂线AB和AC(B、C为垂足)那么AB、AC是两条相交直线，它们确定一个平面β，平面β和平面α相交于直线BC，因为AB⊥平面α，AC⊥平面α，BC⊂α，∴AB⊥BC，AC⊥BC，在平面β内经过点A有两条直线都和BC垂直，这与平面几何中经过直线外一点只能有已知直线的一条垂线相矛盾．综上，经过一点A只能有平面α的一条垂线.[方法规律总结]

1.证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个命题，即存在性和唯一性．当证明结论以“有且只有”、“只有一个”、“唯一存在”等形式出现的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以宜用反证法证明．2．若结论的反面情况有多种，则必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断结论成立．已知直线m与直线a和b分别交于A、B且a∥b，求证：过a、b、m有且只有一个平面．[解析]∵a∥b，∴过a、b有一个平面α.又m∩a＝A，m∩b＝B，∴A∈a，B∈b，∴A∈α，B∈α，跟踪训练又A∈m，B∈m，∴m⊂α.即过a、b、m有一个平面α假设过a、b、m还有一个平面β异于平面α.则a⊂α，b⊂α，a⊂β，b⊂β这与a∥b，过a、b有且只有一个平面相矛盾．因此，过a、b、m有且只有一个平面．设{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和．(1)求证：数列{Sn}不是等比数列；(2)数列{Sn}是等差数列吗？为什么？[分析]

本题(1)是否定性命题，可以尝试反证法．命题方向四：用反证法证明否(肯)定式命题(2)当q＝1时，{Sn}是等差数列．当q≠1时，{Sn}不是等差数列，否则有S1、S2、S3成等差数列．即2S2＝S1＋S3，∴2a1(1＋q)＝a1＋a1(1＋q＋q2)．由于a1≠0，∴2(1＋q)＝2＋q＋q2，q＝q2，∵q≠1，∴q＝0，与q≠0矛盾．[方法规律总结]应用反证法的注意事项1.用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少、不易入手时常用的方法．2.结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、“不存在”、“没有”等词语的否定性命题，结论的反面比较具体，适于应用反证法．3.注意否定命题时，要准确无误．4.用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法．有时在证明命题“若p，则q”的过程中，虽然否定了结论q，但是在证明过程中没有把“¬q”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法．5．用反证法证题，最后要产生一个矛盾命题，常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与已知条件矛盾；(4)与公认的简单事实矛盾．矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的．跟踪训练平面上有四个点，没有三点共线．证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形．[证明]假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D.考虑△ABC，则有点D在△ABC之内或之外两种情况．(1)如果点D在△ABC之内(图1)，根据假设以D为顶点的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个圆周角等于360°矛盾．准确写出反设已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求证：a>0，b>0，c>0.[错解]

假设a≤0，b≤0，c≤0，则a＋b＋c≤0，abc≤0与题设条件a＋b＋c>0，abc>0矛盾．∴假设不成立，∴原命题成立．[辨析]

错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误．“求证：a>0，b>0，c>0”的含义是“求证a、b、c三数都是正数”，故反设应为“假设a、b、c中至少有一个不大于0.”疑难误区警示[正解]假设a、b、c中至少有一个不大于0，不妨设a≤0，若a<0，则由abc>0，得bc<0，由a＋b＋c>0得，b＋c>－a>0，∴ab＋bc＋ac＝a(b＋c)＋bc<0，这与已知ab＋bc＋ac>0矛盾．又若a＝0，则abc＝0与abc>0矛盾．故“a≤0”不成立，∴a>0，同理可证b>0，c>0.证法2：假设a、b、c是不全为正的实数，由于abc>0，所以a、b、c中只