行列式的展开定理

例如一、余子式与代数余子式

简化高阶行列式计算的一个重要方法就是降低行列式的阶数。第2页,共42页，2024年2月25日，星期天【定义】在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，余下的阶行列式叫做元素的余子式，记作叫做元素的代数余子式．例如第3页,共42页，2024年2月25日，星期天第4页,共42页，2024年2月25日，星期天【定理】

行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即：二、基于行列式某一行（列）的展开定理显然这些项都是D的个展开项中的某一项，第5页,共42页，2024年2月25日，星期天

因此只需证明在两端的展开式中，这些项前面的符号也相同即可。右端中的项：其中：是的一个排列。在右端的展开式中，该项前面所带的符号是：第6页,共42页，2024年2月25日，星期天该符号正好是在D的完全展开式中前面所带的符号。证毕第7页,共42页，2024年2月25日，星期天例1按第三行展开第8页,共42页，2024年2月25日，星期天第9页,共42页，2024年2月25日，星期天例2

计算解：第10页,共42页，2024年2月25日，星期天例3计算范德蒙(Vandermonde)行列式第11页,共42页，2024年2月25日，星期天按第1列展开，提取公因式得：

第12页,共42页，2024年2月25日，星期天依次下去：第13页,共42页，2024年2月25日，星期天例4计算解：第14页,共42页，2024年2月25日，星期天上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，故有：第15页,共42页，2024年2月25日，星期天例5

计算第16页,共42页，2024年2月25日，星期天第17页,共42页，2024年2月25日，星期天第18页,共42页，2024年2月25日，星期天例7

证明证：第19页,共42页，2024年2月25日，星期天由以上递推公式可得：逐个代入可得：第20页,共42页，2024年2月25日，星期天解：按第1行展开：第21页,共42页，2024年2月25日，星期天整理：由此：（请关注本题解决问题的思想！）第22页,共42页，2024年2月25日，星期天按第n列展开第23页,共42页，2024年2月25日，星期天第24页,共42页，2024年2月25日，星期天

解：利用加边法，有：第25页,共42页，2024年2月25日，星期天（请关注本题解决问题的思想！）第26页,共42页，2024年2月25日，星期天

【定理】行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即证第27页,共42页，2024年2月25日，星期天同理相同第28页,共42页，2024年2月25日，星期天关于代数余子式的重要性质：第29页,共42页，2024年2月25日，星期天2.行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.

三、小结1、余子式，代数余子式的概念重要结论：按第i行展开按第j列展开第30页,共42页，2024年2月25日，星期天习题求第一行各元素的代数余子式之和第31页,共42页，2024年2月25日，星期天第32页,共42页，2024年2月25日，星期天第33页,共42页，2024年2月25日，星期天信息系刘康泽

1-3拉普拉斯展开定理(2)第34页,共42页，2024年2月25日，星期天第35页,共42页，2024年2月25日，星期天第36页,共42页，2024年2月25日，星期天第37页,共42页，2024年2月25日，星期天第38页,共42页，2024年2月25日，星期天第39页,共42页，2024年2月